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Grands nombres au lycée

Envoyé par Magnéthorax 
Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Bonjour

Une remarque qui n'a pas vraiment d'intérêt sur le plan mathématique. Elle provient d'une situation rencontrée en classe : au lycée (cf. paragraphe concentration, loi des grands nombres des programmes), et sans doute au delà, il me paraît plus difficile de faire interpréter correctement $\left|x-\mu\right|\geq r$ que $x\in \left]\mu-r,\mu+r\right[$, même si cela fait partie des choses enseignées en seconde. À votre avis, pourquoi la plupart des manuels ne présentent-ils pas la loi faible des grands nombres sous la forme : pour tout réel $r$ strictement positif
$$
\lim_{n\to \infty} P\left(\frac{M_n}{n}\in \left]\mu-r,\mu+r\right[\right)=1 \qquad\text{ou}\qquad \lim_{n\to \infty} P\left(\mu-r<\frac{M_n}{n}<\mu+r\right)=1 \qquad ?
$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Parce qu'il est facile de voir quand on n'est pas aveugle que ce sont les mêmes représentations.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Bonjour,

J'en conclus que pour AlainLyon, beaucoup d'élèves, et pas que de seconde, sont aveugles.

Cordialement,

Rescassol
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Je n'ai pas les programmes sous les yeux, mais est-ce que quelqu'un peut dire explicitement quelle formulation on souhaite comparer à quelle autre ?
Dom
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Rappel : il n’existe plus dans les programmes de collège les « manipulations » avec des inégalités.
Ainsi, un intervalle étant défini avec des inégalités, « tout est nouveau » et aucune pratique n’est acquise.
C’est partie en 2016. Avant les inéquations étaient au programme et quelques automatismes (on fait ce qu’on peut) existaient encore.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
En plus, des fois, ça tient à peu de choses.

Par exemple, utiliser la lettre Mu $\mu$, c'est parfois éliminatoire, alors que le collègue ne pensait pas à mal.

Donc, oui, tout ça est extrêmement subtil. Si on a une question plus précise, c'est plus facile de se prononcer.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
avatar
Un grand nombre en lycée, c’est 30 ? grinning smiley

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Heu .. en statistiques, souvent oui, c'est la taille d'échantillon souvent préconisée pour l'approximation gaussienne.

Cordialement.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Re bonjour
Je tombe surtout sur des formulations : pour tout réel $r$ strictement positif,
$$
\lim_{n\to \infty} P\left(\left|M_n-\mu\right|\geq r\right)=0.

$$ D'expérience, le travail avec la valeur absolue est casse binette et la distance qu'elle induit n'est pas un truc maîtrisé en terminale (programme de seconde). La formulation d'un résultat (notamment les notations) peut induire un obstacle infranchissable pour un élève lambda. Et le faire passer à côté du cœur du résultat. Prenant acte de cet état de fait (mais le déplorant quand même), je trouve qu'une version "positive" avec intervalle (proba que $M_n$ soit dans n'importe quel intervalle symétrique autour de $\mu$ tend vers $1$) est plus simple à exposer et retenir qu'une version "négative" avec valeur absolue (proba que $M_n$ soit à une distance de $\mu$ supérieure à $r$ tend vers $0$).

Et la question est : pourquoi les collègues qui écrivent des bouquins s'escriment-ils à proposer une présentation potentiellement source de difficultés faciles à contourner ?



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
avatar
Citation
gerard0
Heu .. en statistiques, souvent oui, c'est la taille d'échantillon souvent préconisée pour l'approximation gaussienne.

Oui, et c’est le sel de la blague qui faisait aussi référence à certains déclinistes pour qui les élèves décrochent quand les nombres deviennent trop grands.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Bravo, nicolas.patrois, pour la référence que je soupçonne, mais, le document est de plus en plus difficile à trouver, donc je le re-partage !
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - perrin.pdf (233.1 KB)
Dom
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Depuis quelques années, le « théorème faux » n’est plus dans les programmes officiels.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
avatar
Pour Rescassol,
Les 2 écritures à comparer : $|x-x0| < \epsilon$ et $x_0- \epsilon < x < x_0+ \epsilon$

Je pense que dans son 1er message, Magnéthorax a confondu $\ge$ et <. La question est sur l'utilisation des valeurs absolues pour désigner un intervalle centré autour de $x_0$

L'écriture avec les Valeurs absolues est plus condensée, sans être non plus trop condensée, ça me paraît une bonne raison pour préférer cette écriture : On a 3 nombres uniquement, $x$, $x_0$ et $\epsilon$, chacun de ces 3 nombres apparaît une fois et une seule... c'est propre.

Comme marsup, je pense que l'utilisation de lettres grecques crée un blocage, en particulier dès qu'on utilise des lettres grecques autres que les 4 ou 5 les plus connues.

Dans la formule proposée au départ, si on sait que $\mu$ se prononce mu, on retrouve le son m, et donc la notion de moyenne... mais la lettre $r$ n'est pas très explicite.
Dans cette formule, c'est plus le choix de $\mu$ et $r$ qui est problématique, que le choix de passer par des valeurs absolues.

Paradoxalement, $\epsilon$ au lieu de $r$, et la formule devient un peu plus claire.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
@lourran : non, je voulais bien dire $\left|x-x_0\right|\geq \varepsilon$, écriture qui semble la plus courante dans la loi des grands nombres. La question n'est pas de savoir quelle est la formulation optimale "dans l'absolu", mais plutôt quelle est la formulation optimale avec tel public. Par ailleurs, je doute que les élèves comprennent d'eux-mêmes que le choix de $\varepsilon$ revoie à "erreur", donc le choix de cette lettre ne me paraît pas plus adéquat que $r$ pour "rayon". Quitte à évacuer le problème grec, autant le faire en entier non ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Magnéthorax.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Bonjour,

Citation
Lourrran
Je pense que dans son 1er message, Magnéthorax a confondu $\ge$ et <. La question est sur l'utilisation des valeurs absolues pour désigner un intervalle centré autour de $x_0$.
C'est bien ce que j'avais compris et à quoi je répondais. J'avais repéré la typo de Mgnéthorax.
Le problème est que la valeur absolue n'est maitrisée nulle part au lycée et donc que les élèves n'ont pas besoin d'être aveugles pour avoir du mal avec sa compréhension.

Cordialement,

Rescassol
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
@Rescassol : pas de typo. Dans le premier message, je ne dis pas que les deux trucs sont équivalents.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Magnéthorax.
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
Bonjour,

Ok, Magnéthorax, ça ne change rien à ce que j'en dis après.

Cordialement,

Rescassol
Re: Grands nombres au lycée
il y a trois semaines
avatar
$r$ pour rayon ... ok ; j'avais cherché quel mot commençant par $r$ pouvait correspondre, et je n'avais pas pensé à rayon.
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