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Deux densités égales

Envoyé par Code_Name 
Deux densités égales
il y a trois semaines
avatar
Bonjour, si deux v.a. à densité suivent la même loi, est-ce que leurs fonctions densité sont égales?
Re: Deux densités égales
il y a trois semaines
Non. Seulement égales presque partout : $1_{[0,1]}$ et $1_{]0,1[}$ sont les densités de deux variables uniformes de même loi.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Deux densités égales
il y a trois semaines
Soient $f,g$ deux fonctions de $L^1(\R)$. Soit $A:=\{x\in R \mid f(x) > g(x)\}$. Alors $A = \bigcup_{n\in \N} A_n$ où $A_n:=\{x\in \R \mid f(x)-g(x) \geq 2^{-n}\}$ et $\mu(A_n)\leq 2^n \int_{A_n} f(x)-g(x)dx$ par l'inégalité de Markov/Bienaymé-Tchebychev.

Si $\int_B f = \int_B g$ pour toute partie mesurable $B$ (ce qui est le cas si $f$ et $g$ sont des densités de V.A. égales en loi), alors $\mu(A_n)=0$. Donc $\mu(A)=0$. Donc $f\leq g$ pp.
En changeant l'inégalité par symétrie, $f \geq g $ pp et donc $f=g$ pp.
Re: Deux densités égales
il y a trois semaines
Il y a deux manières de répondre à cette question :

  1. avoir fait en sorte que la densité d'une variable à densité soit un objet bien défini, dans ce cas, la réponse est évidemment "oui".
  2. considérer qu'une variable à densité a plein plein de densités, mais dans ce cas-là, la question n'a aucun sens, car pour $X,Y$ à densité, on ne peut pas parler de "leurs" fonctions densités respectives.
Re: Deux densités égales
il y a trois semaines
Enfin, en tout cas, sous cette hypothèse, toute densité de l'une est une densité de l'autre !

Pensez vous, pour $u,v\in \C^*$, qu'on a l'implication : $$u = v \Longrightarrow \ln(u) = \ln(v) \quad ?$$
Re: Deux densités égales
il y a trois semaines
avatar
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