problème ouvert
Bonjour,
Voici le sujet d'un problème ouvert trouvé le site de l'académie d'Amiens :
On coupe de façon aléatoire un "spagheti" en trois, quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec ces trois morceaux"
voici le début de mon raisonnement : on se place dans l'espace et on trouve l'intersection de tous ces objets géométriques :
Condition de base : x+y+z=20, et x, y, z >0 ( cela doit donner une surface finie dont on peu calculer l'aire A)
Condition qui marche : x<y+z, y<x+z, z<x+y, ce qui donne x+y, x+z, y+z>10 et x,y,z<10, on calcule l'aire de cette surface a,
ensuite pour la probabilité on fait le rapport a/A
Par contre j'ai un petit problème : comment trouver la surface obtenue après intersection, quel logiciel peut le faire ?
Merci par avance
Voici le sujet d'un problème ouvert trouvé le site de l'académie d'Amiens :
On coupe de façon aléatoire un "spagheti" en trois, quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle avec ces trois morceaux"
voici le début de mon raisonnement : on se place dans l'espace et on trouve l'intersection de tous ces objets géométriques :
Condition de base : x+y+z=20, et x, y, z >0 ( cela doit donner une surface finie dont on peu calculer l'aire A)
Condition qui marche : x<y+z, y<x+z, z<x+y, ce qui donne x+y, x+z, y+z>10 et x,y,z<10, on calcule l'aire de cette surface a,
ensuite pour la probabilité on fait le rapport a/A
Par contre j'ai un petit problème : comment trouver la surface obtenue après intersection, quel logiciel peut le faire ?
Merci par avance
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
"Pouvoir former un triangle avec les 3 morceaux" signifie bien que la somme des longueurs des 2 plus petits morceaux est supérieure à la longueur du plus grand ?
ce n'est pas 1/4 ?
Il est vrai que je ne supposais pas le spaghetti de longueur imposée.
C'est vrai qu'il existe plusieurs réponses possibles suivant la manière de couper le spaghetti en trois.
Mais, suivant la méthode de l'énoncé, la réponse est 1/4 ( non ?)
Bonne journée.
tout ne s'est pas écrit dans mes conditions : x+y, x+z, y+z>10
tout cela vient des trois inégalités triangulaires necessaires pour construire un triangle :
x+y<z
x+z<y
y+z<x
pour Yop, j'étais déjà partie sur ces inéalités pour trouver mes conditions, mais comment se ramener à deux dimensions ?
pour BS problème ouvert signifie juste qu'il n'y a pas de méthode imposée pour le résoudre, il n'y a pas de rapport avec la topologie .
Mon raisonnement est-il faux ? Et si non, peut-on trouver l'aire de ces surfaces à l'aide d'un logiciel comme dérive ?
Merci encore
marlène
-->pour toi: "problème ouvert" signifie juste qu'il n'y a pas de méthode imposée pour le résoudre.
pour moi, "problème ouvert" signifie qu'il n'y a pas de solution connue pour le résoudre à ce jour;
-->Une méthode: Tu dessines un triangle équilatéral et son triangle médian. Tu vas considérer un point successivement dans chacun des quatre triangles obtenus,et réféchir comment relier ceci avec ton problème initial,... pour trouver 1/4.
Méthode proposée par Martin Gardner dans son article "Probability and Ambiguity" du Scientific American ,d' Octobre 1959.
[Complément pour modérateur: ce sujet est plutôt orienté vers les probas]
[Certes mais comme il a été mis dans Arithmétique, je ne peux plus le changer
Bonne journée
merci pour l'astuce, c'est vrai qu'il faut définir le vocabulaire de base, le mien est relatif à une pédagogie collège et lycée.
Sinon, je vais réfléchir à ton idée, j'avoue que ce ne sera pas tout de suite car avec trois enfants en bas age et le repassage qui m'attends je fais comme je peux et pas forcemment comme je le voudrais...
Merci encore pour l'astuce
heura
de tout point M à l'intérieur du grand triangle équilatéral, en abaissant les trois perpendiculaires sur les côtés de ce grand triangle, on a MK+ML+MN=h hauteur de ce triangle.
Bon courage
pour l'égalité MK+ML+MN=h cela se démontre facilement à l'aide d'une égalité d'aire, donc pour revenir au problème on prend une hauteur égale à h ( dans mon cas 20) et choisir trois morceaux aléatoirement revient à prendre un point M dans ce triangle. on veut ensuite que chaque "mini" hauteurs soit inférieur à la somme des deux autres, cela implique que MK< h/2, de même pour MH et ML, cela revient donc à se placer dans le triangle médian, d'ou la probabilité de 1/4 mais qui a eu cette idée là ? Ce n'est pas évident de penser à ça, non ?
En tout cas merci !
heura
Par contre, je ne comprends toujours pas pourquoi 1/4 serait la seule réponse possible.
heura: Qui a eu cette idée là ? : je n'en sais rien, mais ce n'est pas moi. (Voir la référence de l'article).
gb: Si maintenant on coupe de façon aléatoire un "spaghetti" en deux, que l'on choisisse au hasard un des deux morceaux, et que l'on coupe de façon aléatoire ce morceau en deux, alors, la probabilité de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux obtenus devient 1/6 .
Une autre méthode aboutit à ... 1/4 .
Possible que Grosbill arrive...
Amicalement.
mais, dans l'article ,le mot "uniformly" est effectivement utilisé.
Michal
J'avoue que je dois être en dessous de beaucop d'entre vous au niveau de mes connaissances, surtout en probabilité, dans la mesure où je ne comprends pas cette phrase : " l'hypothèse que, sur ces triplets, la probabilité a une densité uniforme. ".
Je suis professeur certifiée (capes obtenu après la licence, car , je le repète, dans la vie on fait ce qu'on peut et par toujours ce qu'on veut), et pour les personnes qui ont répondu à cette question, quel est votre niveau et votre fonction ?
Merci encore
j'avais écrit un message avec plusieurs réponses, et il s'est volatilisé ... par ma faute. Cette fois, je vais donc morceler.
--> Si maintenant on coupe de façon aléatoire un "spaghetti" en deux; si l'on choisit au hasard un des deux morceaux, et que l'on coupe de façon aléatoire ce morceau en deux, alors, la probabilité de pouvoir former un triangle avec les trois morceaux obtenus devient 1/6 , [le tout, avec une densité uniforme ].
Preuve :
Si on "tombe" sur le petit morceau, pas de triangle possible.
Si on "tombe" sur le grand morceau, on a 1/3 de chance [ exercice ] de former un triangle.
D'où: p= 1/2 x 1/3 = 1/6
-->"Une autre méthode aboutit à ... 1/4" = erreur.
J'ai lu trop vite...
Par contre , une autre méthode aboutit à [2ln(2)-1]/2.
Si l'un d'entre vous est intéressé, j'écrirai la preuve en anglais.
Amicalement.
[objet de la modif: Ami modérateur, il est donc possible de basculer de thème ? merci ]
[Il semble en effet, mais je ne connais pas la méthode
j'apporte un point de vue pragmatique à ton problème.
Si, au niveau théorique, tu n'es pas sûr de ta méthode et de ton résultat, tu peux modéliser le problème à l'ordinateur (par exemple ici avec un tableur) et vérifier si les statistiques obtenues corroborent tes conclusions.
Je détaille un peu :
couper un spaghetti (de longueur 1, sans perte de généralité, grâce à une homothétie) en trois, c'est choisir deux nombres aléatoires (abscisses des points de coupe) entre 0 et 1, en A1 et B1. { formule : =alea() }
en C1, on écrit donc =min(A1:B1) qui sera la longueur du premier segment.
en E1, on écrit =1-max(A1:B1) qui sera la longueur du troisième segment.
en D1, on écrit =1-(C1+D1) qui sera la longueur du deuxième segment.
Il faut maintenant vérifier s'il s'agit des côtés d'un triangle :
en F1, on écrit =SI(2*max(C1:E1)-somme(C1:E1)<0;"Triangle";"NON")
{la formule calcule en fait max-(somme-max) donc max-(somme des 2 plus petits)}
Et on réitère l'expérience 1000 ou 10000 fois, puis on calcule le taux de triangle réalisés.
Je viens de le faire, ça donne des fluctuations de 0,245 à 0,260 soit environ 1/4, ce qui confirme les résultats annoncés.
Pour BS, problème ouvert ne signifie pas nécéssairement non résolu. C'est un problème, dans le contexte de l'enseignement secondaire, pour lequel plusieurs démarches sont possibles, mais non indiquées. Et en général, il vaut mieux que la solution en ait été trouvée... pour pouvoir le poser en examen.
Cordialement,
Sébatiduroc.
On coupe de façon aléatoire un "spagheti" en trois
Première question : quelle est la méthode utilisée pour cette découpe ?
Pour Sébatiduroc, des méthodes différentes conduiront à des modélisation différentes, et donc à des résultats différents. Je te conseille d'essayer avec la méthode de bs : tu coupes en deux, tu choisis un des morceaux que tu recoupes en deux ; tu devrais effectivement trouver des résultats qui fluctuent autour de 0,1666 et non 0,25.
pour la probabilité on fait le rapport a/A
Pourquoi le rapport des aires fournirait-il la probabilité voulue ?
Cela suppose que "toutes les longueurs de morceaux aient la même probabilité", c'est-à-dire, en termes rigoureux, que "la densité de probabilité soit uniforme" (ce que suppose effectivement Martin Gardner dans son article, mais en le disant).
Techniquement, le fait d'avoir à prendre le "spaghetti" en main pour le couper, diminue nettement la probabilité d'un "petit morceau" au bout. Il suffit de faire l'expérience pratique.
On retrouve tous les ingrédients du paradoxe de Bertrand.
Tout à fait d'accord, et la modélisation que je propose repose sur une uniforme répartition des points de coupure sur le spaghetti.
Mais si l'intérêt du problème est seulement de savoir comment on peut couper un spaghetti en trois, c'est couper les cheveux en quatre !
Je fait donc "naturellement" l'hypothèse d'uniformité. On me contestera que le mot "naturellement" est inadapté, d'après la remarque de gb sur la façon pratique de casser un spaghetti, mais bon, si je le laisse tomber, et que je ne retiens que les spaghettis qui se cassent en 3 morceaux, c'est une brisure aussi naturelle que si je le tiens dans la main.
Cordialement,
Sébatiduroc.
Comme je l'ai dit, je l'ai beaucoup utilisé lorsque je m'occupais de la prépa agreg.
Pour moi, l'intérêt de ce problème "ouvert", est qu'il laisse libre choix pour modéliser la situation, tant dans la définition des événements considérés, que dans la définition de la probabilité (et c'est en ce sens qu'il est ouvert). Une fois ces choix faits, le calcul de probabilité est (presque) immédiat. Et je ne voudrais pas contester les choix proposés dans les réponses précédentes.
Il est à mon avis important de montrer aux élèves que l'on est amené à faire des choix, même si ces choix paraissent naturels, intuitifs, évidents, ... et que ces choix doivent être explicitement déclarés.
--> Merci Sébatiduroc et heura, n'étant pas enseignant, j'ignorais cette appellation contrôlée de "problème ouvert".
\lien{http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/nx/n51_6.htm}
--> Sébatiduroc, dans la seconde méthode , tu dois trouver 1/6, et non 1/4, effectivement.
--> oui gb, la suite de l'article est consacrée au paradoxe de Bertrand.
Bonne nuit.
Je me suis déjà posé ce problème.
Il s'agit de se mettre d'accord sur qu'est-ce que "couper en trois morceaux de façon aléatoire".
Mon modèle était le suivant:
On considère que le spaghetti est de longueur unitaire et il s'agit de placer deux cassures de façon aléatoire dans l'ensemble $[0;1]$
on pourra alors faire un tiangle si et seulement si aucun des trois morceaux n'est plus long que $0,5$
Mes variables ne seront donc pas les longueurs des morceaux, mais les positions de cassures que je noterai $x$ et $y$ (voir simulation EXCEL prooposée par Sébatidoroc)
L'existence du triangle est alors équivalente à :
[ ( $x<0,5$ et $0,5<y<x+0,5$ ) ou ( $x>0,5$ et $0,5<y<0,5$ ) ]
pour en revenir à mon interprétation dans l'espace du problème du spacheti :
on trace bien le plan d'équation x+y+z=20, il passe par trois points A(10,10,0) B(0,10,10) et C ( 10,0,10), le triangle ABC est équilatèral et correspond à la section de ce plan par les parties de l'espace : 0<x, 0<y, 0<z. Il correspond donc à l'univers de notre espace probabilisé.
Ensuite on impose 10<x+y 10<x+z 10<y+z, x<10 y<10 z<10 et cela ne m'étonnerait pas de voir que l'ensemble solution est le triangle médian, d'où la solution du triangle équilatéral ?
Qu'en pensez-vous ?
heura
Je n'ai compris la méthode exposée par bs qu'après avoir posté mon calcul.
J'admire cette méthode,tout en m'interrogeant encore sur l'iterprétation de de la densité de proba uniforme pour les points du triangle.
On pourrait aussi prendre un triangle de côté 1 (spaghetti) et projeter le point sur les côtés à 60° au lieu de la proj. orthogonale
En revanche , je ne comprends pas les réponses 1/6 avec l'autre règle du jeu:
bs dit:->"Si on "tombe" sur le grand morceau, on a 1/3 de chance [ exercice ] de former un triangle."
Je ne suis pas d'accord:
Si la règle du jeu est de recasser systématiquement le pls grand morceau, je noterai $x$ la longueur du petit. Il s'agit alors de placer $y$ dans l'intervalle $[0; 1-x ]$ de sorte que $y<0,5$ et $(1-x)-y<0,5$
c'est à dire $0,5-x<y<0,5$
La probabilité de réeussir cet exercice sera
$p_x = \frac {x}{1-x}$ puisqu'on peut choisir y dans un intervalle d'amplitude $x$ sur le morceau de longueur $1-x$.
La valeur moyenne de cette proba est alors: $$P =\frac {\int_{0}^{0,5} \frac {x}{1-x} dx}{0,5}$$
$$P =2 \int_{0}^{0,5} \frac {x}{1-x} dx$$
$$P =2 \int_{0}^{0,5} (-1+ \frac {1}{1-x}) dx$$
$$P =2 [ln(2)-0,5] = 0,386...$$
Si on joue d'abord à pile ou face pour décider si on va recasser le grand ou le petit morceau, cette probabilité sera divisée par 2 soit: $0.193...$ c'est voisin de $1/6$ mais pas égal.
Aurais-je fait une faute?
Cordialement.
jacquot
Je suis désolé de polluer ton fil par mes gros calculs.
Je pense qu'il est bien possible que l'interprétation géométrique que tu proposes se ramène au triangle équilatéral médian de bs.
à voir.
oui, il s'agit bien du triangle des milieux, dont l'aire est le quart de l'aire du triangle initial.
Sébatiduroc.
Est-ce que l'on peut trouver quelque part sur le net l'article de Gardner auquel fait référence bs ? J'aimerais y jeter un coup d'oeil. Ou bien : est-ce que quelqu'un a cet article chez lui et peut me l'envoyer, le scanner. Ou bien : est-ce que quelqu'un sait comment trouver cet article ?
Merci d'avance, Michal
-->Oui jacquot, ton dernier résultat est juste: il correspond à celui que je mentionnais dans le message du 28/01 à 20h36 [ je l'ai corrigé, ayant mal recopié le livre ]
-->"bs dit:->"Si on "tombe" sur le grand morceau, on a 1/3 de chance [ exercice ] de former un triangle."; l'article ne dit pas pourquoi, et ce doit être faux, car un lecteur de la revue l'a écrit plus tard en reprenant ton calcul.
--> il doit exister de la littérature française sur ce sujet.
Bonne journée.
1) On dit un spaghetto et des spaghetti;
idem pour un confetto et des confetti.
2) lorsqu'on casse un spaghetto en le tenant par les extrémités: il se casse toujours au moins en trois parties, jamais en deux .
Voir ici pour l'explication physique du phénomène:
\lien{http://www.procrastin.fr/blog/index.php?2005/11/11/53-un-spaghetto-des-spaghetti}
Remarque : j'ai essayé avec des Panzani, parfois ils se coupent en deux...
-->pour heura: je suis un ingénieur en préretraite qui a repris des études de math.
merci sebatiduroc pour le fichier geospace qui est très clair je trouve et fiasable en lycee !
et merci bs et jacquot pour toutes ces pistes !
heura
à part bs qui m'a répondu, que font les autres personnes ayant partucipé à cette résolution et quel est leur niveau en maths.
Merci d'avance
heura
L'article de M.Gardner se trouve également dans " The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles § Diversions ", Chapitre 19.
Je ne possède pas de scan; certainement un investissement incontournable!
Par l'intermédiaire d'amis, vais essayer de le mettre en ligne si personne ne possède cet article.
--> il doit exister de la littérature française sur ce sujet.
PS. Je viens d'essayer avec les spaghs : sur 5 essais - 3 fois 3 morceaux, 1 fois 4 morceaux et 1 fois 2 morceaux.
Retour des courses: cette fois , j'ai acheté des spaghetti "Alpina Savoie".
Sur 6 spaghetti cassés: 5 fois 3 morceaux, et 1 fois 4 morceaux.
Mieux que les Panzani qui parfois se coupent en deux morceaux.:)
A suivre...
Lors de mes "expériences", le(s) morceau(x) du milieu est(sont) toujours très petit(s) , donc pas possible de construire un triangle !
As-tu essayé ?
Amicalement.
Comme toi (?), j'aime bien les math applicables ou palpables.
Dans ce sens, les modèles étudiés plus haut sont contestables (gb l'avait déjà souligné): la densité de proba de la position des cassures n'est pas uniforme sur la longueur du spagh. du fait qu'on le saisit par les extrémités pour le casser.
En revanche, j'avais procédé à une simulation à la Sébatiduroc sur EXCEL pour vérifier la justesse du calcul de la probabilité pour le cas où on recasse le grand morceau. Ainsi j'ai rapidement eu la confirmation qu'elle était supérieure à 1/3..
Amitiés. jacquot
Le problème n'est pas ouvert !
La solution 1/4 a été proposée dès la mise en ligne de ce problème, puis expliquée en détails de 2 façons différentes au moins. Voir pages 1 & 2.
Une petite discussion sur le sens de la locution "problème ouvert" a eu lieu parallèlement.
As-tu lu les posts précédents?
Si tu estimes que ta méthode de résolution est différente ou si tu veux relancer le débat sur le deuxième point, il serait bon que tu développes ta contribution.
Cordialement.
jacquot
Michal
Je m’étonne que vous trouviez une proba du genre 1/3 ou ¼ ou 1/6 car le pb, à mon avis met en jeu des cas dont les totaux ne sont pas des nb simples.
Ma nouille mesure 1000 unités de longueur. Je casse un morceau il doit avoir au maxi 499 unités il a donc une proba de donner naissance à un triangle par la suite de 499/1000.
Le 2ème morceau doit avoir une longueur maxi de 499 à casser sur un morceau qui mesure 1000-x il a donc une proba de donner un triangle 499/(1000-x).
Les 2 cassures donne la proba composée de (499/1000)*(499/(1000-x)) de donner un triangle. La proba dépend donc de la longueur x. Ai-je raison ?
On cherche la somme des probas pour x variant de 1 à 499 par exemple au moyen de DERIVE ( fonction sigma) on trouve 175.221 pour 499 triangles soit en moyenne pour un triangle: 175.221 / 499 = 0.345
J’avais fait en premier le calcul avec une longueur de 100 et je trouvais p = 0.339.
Cordialement
Koniev
Amicalement.
Je crois que tu prends un peu le train en marche.
Il y a bien {\bf deux modèles} mathématiques qui ont été étudiés:
a) On choisit de façon aléatoire et indépendante les lieux des 2 cassures sur la longueur du spaghetto. Alors la proba pour qu'on puisse former un triangle est exactement 1/4 (voir les différentes solutions rpoposées page 2)
b) On choisit de façon aléatoire la position de la 1ère cassure sur le spaghetto, puis on recasse le plus grand des deux morceaux.
Avec cette façon de procéder, la proba est $2ln(2) -1$, soit environ $0,386$.
La proba que tu obtiens avec ta méthode est sans doute un peu moindre parce que tu raisonnes sur un nombre de cas fini et tu t'interdis le cas du triangle plat.
J'ai donné une solution avec calcul d'intégrales, parce que dans ce cas-là, le référentiel est continu.
(Voir mon calcul du 29 janvier 8h 38)
Les solutions 1/3 et 1/6 ont été invalidées au cours de notre discussion.
Cordialement.
jacquot
Je n'ai pas trouvé les démo dont tu parles et qui donnent soit 1/4 soit 0.386. Il faut exclure je crois le cas du triangle plat.Peux-tu me les préciser ? Merci.
Pour l'aire moyen n'est-il pas compris entre (0 aire du triangle plat) et celui du triangle équilatéral ? La moyenne convient-elle ?
Cordialement
Koniev