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espace topologique produit

Envoyé par YousAk 
espace topologique produit
il y a quatre années
Bonjour,
comment on montre que chaque espace facteur d'un espace topologique est séparé si on a l'espace est séparé.
merci
Re: espace topologique produit
il y a quatre années
Par contraposée :

Tu suppose que l'un des facteurs n'est pas séparé, et tu montre qu'il existe des éléments de l'espace produit qui n'ont pas des voisinages disjoints (par exemple, en les construisant à partir de deux éléments du facteur non séparé qui n'admettent pas de voisinage disjoints). L'espace produit n'est donc pas séparé. On en déduit que si l'espace produit est séparé, alors tout ses facteurs le sont
Re: espace topologique produit
il y a quatre années
merci ,je vais voir est ce que je peux refaire ceci :)!
Re: espace topologique produit
il y a quatre années
Ou tout simplement en revanant à la définition du produit d'espace.
Re: espace topologique produit
il y a quatre années
Si $F$ est une famille non vide d'espace topologiques non vides, dont $P$ est le produit, supposé séparé et $E$ est un facteur et si $a,b$ sont dans $E$ et différents, il existe $u,v$ dans $P$ tels que $p_E(u)=a$ et $p_E(v)=b$ (axiome du choix). Soient $X,Y$ des ouverts de $P$ qui séparent $u,v$, alors $p_E(X), p_E(Y)$ sont ouverts et séparent $a,b$. En notant $p_E$ la projection de $P$ sur $E$. Exercice: justifie les étapes sautées.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: espace topologique produit
il y a quatre années
Merci bien ,mais pourquoi $P_E(X),P_E(Y)$ séparent $a,b$ ?
Re: espace topologique produit
il y a quatre années
Très bonne remarque de ta part (qui montre que tu as regardé le truc avec attention), tu as parfaitement raison, le post que je t'ai dressé était inutile, on peut très bien avoir $U\cap V=\emptyset$ et $p_E(U)\cap p_E(V)\neq \emptyset$. C'est évidemment "trivial" à réparer, mais est-ce que je te laisse le faire ou pas???

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: espace topologique produit
il y a quatre années
Y a pas eu un posts similaires y quelque semaine?
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