Existe-t-il un homéomorphisme tel que...

pourexemple · July 2016

Bonjour,

Soit $K$ compact simplement connexe de E un $\R$-espace vectoriel normé de dimension fini, tel que l'intérieur de $K$ connexe, l'adhérence de l'intérieur vaut $K$. Existe-t-il un homéomorphisme $f$, et un convexe $C$ de E tel que $f(C)=K$ ?

Bonne journée.

Algèbre · July 2016

Salut, as tu un contexte ou s'inscit se problème?

Parce que ainsi poser.

christophe c · July 2016

Fais un effort bon sang, tu seras le premier à y gagner. L'intérieur de $K$ est $K$ sans autre précision et en lisant ton énoncé.

pourexemple · July 2016

Salut,

@Algèbre : Ce n'est pas un problème particulier, c'est juste un énoncé que je soumet à votre sagacité...

Sinon cette question vient de là.

Bonne journée.

christophe c · July 2016

Peu importe d'où vient la question, qu'est-ce que ça te coûterait de poster des énoncés qui ont un sens? Pourquoi tu ne le fais pas?

pourexemple · July 2016

J'ai corrigé, si tu vois d'autre mauvaise formulation n'hésite pas.

christophe c · July 2016

Maintenant ça a beaucoup plus de sens. Je ne suis pas expert, mais la sphère n'est-elle pas simplement connexe?

gimax · July 2016

message modifié ; je n'avais pas compris l'intervention de Christophe...

pourexemple · July 2016

Ok, et pourquoi la sphère ne pourrait être déformé continue-ment et de manière inversible en un convexe ?

gimax · July 2016

message modifié, j'avais pas compris...

remarque · July 2016

contrexemple écrivait:

> Ok, et pourquoi

Parce que : https://fr.wikipedia.org/wiki/Homologie_singulière

pourexemple · July 2016

C'est possible, mais ici on ne travaille pas avec une sphère, car $K$ est d'intérieur non vide dans l'espace vectoriel de dimension finie n.

pourexemple · July 2016

Il y a une autre manière de l'énoncé :
Existe-il une dimension finie où la boule unité sans son centre est homéomorphe à la boule unité ?

Bonne journée.

christophe c · July 2016

Pour respecter ta question de départ, mieux vaut que tu parles de $B_1\setminus int(B_2)$, où chaque $B_i$ est une boule fermée de centre $0$, $B_2$ ayant un rayon strictement plus petit que $B_1$, mais à ta décharge, j'ai tapé vite avec sphère (flemme de parler de "sphère épaisse"). Remarque t'a répondu. Ce n'est pas si simple de caractériser la "convexité à homéomorphisme près", si c'est ça ton but.

pourexemple · July 2016

Je dispose d'une "propriété simple" et il me semble peut utiliser, et j'aurais aimé l'habiller du plus joli énoncé.

Si tu veux m'aider je t'envoie par M.P. cette "propriété simple".

pourexemple · July 2016

Par énoncé joli j'entends le plus court possible et le plus facilement compréhensible c'est à dire avec le moins possible de pré-requis.

pourexemple · July 2016

C'est le plus joli que j'ai trouvé :

Existe-il une dimension finie où la boule unité fermée sans un diamètre rayon est homéomorphe à la boule unité fermée ?

PS : la boule unité privée d'un diamètre en dim 4, est bien simplement connexe ?

pourexemple · July 2016

La complétude est-elle topologique ?

C'est à dire si E et F 2 espaces métriques homéomorphe, alors si E est complet alors F l'est aussi.

Merci.

pourexemple · July 2016

J'ai ma réponse avec $\R$ et $]0,1[$.

Magnolia · July 2016

Bonjour

Réponse à la dernière question:

$]-\pi/2,\pi/2[$ et $\R$ sont métriques (avec la métrique usuelle de $\R$), homéomorphes, (par exemple la fonction tangente réalise un homéomorphisme) mais il y a un complet et un non complet.

Je n'avais pas vu que tu avals déjà la réponse!

pourexemple · July 2016

Merci, quand même.

pourexemple · July 2016

Si on pouvait m'expliquer pourquoi ce qui marche avec la sphère (le lien de Remarque parle de sphère), marche aussi avec la boule unité fermé privée d'une petite boule ouverte en son centre.

GaBuZoMeu · July 2016

Parce que la sphère épaisse se rétracte par déformation sur la sphère pas épaisse : les deux ont donc la même homologie.

pourexemple · July 2016

J'ai compris.

Merci.

pourexemple · July 2016

Voilà la propriété dont je parlais :
Si C est homéomorphe à un convexe compact, alors toutes fonctions continues de C dans C admet un point fixe.

Je me demandais si la réciproque était vrai.

PS : l'énoncé proposé se résout en utilisant la fonction opposée, qui n'a pas de point fixe sur la sphère épaisse centré en 0.

christophe c · July 2016

Non plus, si ma mémoire ne me trompe pas $S_2$ (la sphère de $\R^3$) a la propriété de point fixe. Avoir la propriété de point fixe est trop faible comme demande.

Mais qu'est-ce que tu cherches exactement? A caractériser "être homéomorphe à un convexe d'un $\R^n$"?

gimax · July 2016

Non la sphère $S^2$ n'a pas la propriété du point fixe. Prends l'antipodie par exemple, ou une rotation.

Georges Abitbol · July 2016

Euh, et l'antipodie, christophe ?

EDIT : Oh mince, je laisse toujours mes onglets ouverts trop longtemps sans les réactualiser. Désolé !

christophe c · July 2016

ola oui, pardon, suis-je bête!!!!! Mince alors, il me semblait me rappeler qu'elle avait pourtant un truc s'en rapprochant... (Et je ne parle pas du théorème de la boule chevelue, enfin je ne crois pas, il y avait autre chose).

Peut-être l'ensemble des droites vectorielles de $\R^3$ muni de la topologie qu'on devine a-t-il la prop du point fixe :-S ?

pourexemple · July 2016

J'aurais aimé savoir si la réciproque de la propriété que j'ai mentionné est correcte.

Tous les participants sont d'accord avec cette propriété, sinon j'explicite pourquoi elle serait correcte

christophe c · July 2016

Bin je t'ai répondu que ta réciproque est fausse (même si je t'ai donné un exemple qui ne marche pas :-D ) pour une raison très simple et non mathématique: sinon (si c'était oui ou inconnu) ce serait un des problèmes ouverts les plus célèbres. Bon, il peut y avoir 0.2% de chance que je me trompe cela dit... Par ailleurs, ce n'est pas grave, mais ton énoncé (de réciproque) est faux pour des raisons qu'on a tous corrigé automatiquement, puisque les convexes compacts des Banach ont la prop de point fixe (mais on peut considérer que tu demandes si prop PF => homeo à un convexe quelque part, fusse dans un evt juste séparé)

pourexemple · July 2016

Tu es sûr que tu n'as pas raté la propriété en question c'est ici.

Je ne vois pas en quoi un convexe compact dans un Banach constituerait un contre-exemple à la réciproque.

christophe c · July 2016

Non, j'avais bien compris et tu as retiré "dans un ev de dim finie" et tu as eu raison, comme ça ta demande est plus réaliste (mais elle est toujours fausse :-D ). Au hasard, un [size=x-large]"T"[/size] a-t-il la prop du point fixe? Est-il homéomorphe à un convexe?

pourexemple · July 2016

Je ne sais pas ce que tu veux dire par "T", et je sais encore moins si un "T" est homéomorphe à un convexe.

pourexemple · July 2016

Et même pourquoi un compact convexe dans un Banach, n'est pas toujours homéomorphe à un convexe de $\R^n$, tu as un exemple ?

Foys · July 2016

Soit $ \ell_{\infty} $ l'ensemble des suites bornées de réels muni de la norme infinie. Soit $K:=\{x \in \ell_{\infty} | \forall n \in \N, |x_n| \leq \frac{1}{n+1}\}$. Alors $K$ est compact (vérifier que les topologies des convergences simple et uniforme sont les mêmes sur $K$) et bien sûr convexe.
Or pour tout $n$ l'ensemble $K_n:=\{x \in K|\forall k \geq n:x_k=0\}$ est homéomorphe à $\prod_{k=0}^{n-1} [\frac{-1}{k+1},\frac{1}{k+1}]\subseteq \R^n $ qui contient l'ouvert $\prod_{k=0}^{n-1} ]\frac{-1}{k+1},\frac{1}{k+1}[$. Ainsi, par le théorème d'invariance du domaine, il n'existe aucun $d$ tel que $\R^d$ contienne une partie homéomorphe à $K$ ($\R^d$ ne pouvant pas contenir de partie homéomorphe à $K_{d+1}$).

GaBuZoMeu · July 2016

Un "T" a bien la propriété du point fixe puisque c'est un complexe simplicial fini contractile. Et je ne connais pas beaucoup de convexes compacts dont le complémentaire d'un point a trois composantes connexes.

pourexemple · July 2016

@Foys :
Merci beaucoup, pour ta réponse suffisamment détaillée, pour que je puisse la comprendre (ou plus précisément croire la comprendre).

Aurais-tu, aussi, un contre-exemple pour la réciproque de la propriété ?

pourexemple · July 2016

@GaBuZoMeu : ok, merci.

Sinon une croix, symétrique en 0, dans la plan a-t-elle la propriété de point fixe, ?
Si oui, alors on a un contre-exemple plus simple.

Autant pour moi, une forme "T" dans le plan, je viens de comprendre.

GaBuZoMeu · July 2016

Je ne vois pas en quoi un "+" est plus simple qu'un "T". M'enfin, si ça peut te faire plaisir ... Tu peux prendre ausi un "H" un "$*$" ...

pourexemple · July 2016

Oui, je n'avais pas compris ce que voulais dire "T".

Quelle propriété utilises tu pour dire qu'un "T" admet un point fixe ?

GaBuZoMeu · July 2016

Non, un "T" n'admet pas de point fixe, mais toute fonction continue d'un "T" dans lui-même admet un point fixe, et j'ai déjà écrit pourquoi : parce qu'un "T", comme les autres exemples que j'ai donnés, est un complexe simplicial fini contractile. L'existence de points fixes pour toute application continue dans lui-même est, si l'on veut, une conséquence du théorème du point fixe de Lefschetz.