Existe-t-il un homéomorphisme tel que...
dans Topologie
Bonjour,
Soit $K$ compact simplement connexe de E un $\R$-espace vectoriel normé de dimension fini, tel que l'intérieur de $K$ connexe, l'adhérence de l'intérieur vaut $K$. Existe-t-il un homéomorphisme $f$, et un convexe $C$ de E tel que $f(C)=K$ ?
Bonne journée.
Soit $K$ compact simplement connexe de E un $\R$-espace vectoriel normé de dimension fini, tel que l'intérieur de $K$ connexe, l'adhérence de l'intérieur vaut $K$. Existe-t-il un homéomorphisme $f$, et un convexe $C$ de E tel que $f(C)=K$ ?
Bonne journée.
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Réponses
Parce que ainsi poser.
@Algèbre : Ce n'est pas un problème particulier, c'est juste un énoncé que je soumet à votre sagacité...
Sinon cette question vient de là.
Bonne journée.
> Ok, et pourquoi
Parce que : https://fr.wikipedia.org/wiki/Homologie_singulière
Existe-il une dimension finie où la boule unité sans son centre est homéomorphe à la boule unité ?
Bonne journée.
Si tu veux m'aider je t'envoie par M.P. cette "propriété simple".
Existe-il une dimension finie où la boule unité fermée sans un diamètre rayon est homéomorphe à la boule unité fermée ?
PS : la boule unité privée d'un diamètre en dim 4, est bien simplement connexe ?
C'est à dire si E et F 2 espaces métriques homéomorphe, alors si E est complet alors F l'est aussi.
Merci.
Réponse à la dernière question:
$]-\pi/2,\pi/2[$ et $\R$ sont métriques (avec la métrique usuelle de $\R$), homéomorphes, (par exemple la fonction tangente réalise un homéomorphisme) mais il y a un complet et un non complet.
Je n'avais pas vu que tu avals déjà la réponse!
Merci.
Si C est homéomorphe à un convexe compact, alors toutes fonctions continues de C dans C admet un point fixe.
Je me demandais si la réciproque était vrai.
PS : l'énoncé proposé se résout en utilisant la fonction opposée, qui n'a pas de point fixe sur la sphère épaisse centré en 0.
Mais qu'est-ce que tu cherches exactement? A caractériser "être homéomorphe à un convexe d'un $\R^n$"?
EDIT : Oh mince, je laisse toujours mes onglets ouverts trop longtemps sans les réactualiser. Désolé !
Peut-être l'ensemble des droites vectorielles de $\R^3$ muni de la topologie qu'on devine a-t-il la prop du point fixe :-S ?
Tous les participants sont d'accord avec cette propriété, sinon j'explicite pourquoi elle serait correcte
Je ne vois pas en quoi un convexe compact dans un Banach constituerait un contre-exemple à la réciproque.
Or pour tout $n$ l'ensemble $K_n:=\{x \in K|\forall k \geq n:x_k=0\}$ est homéomorphe à $\prod_{k=0}^{n-1} [\frac{-1}{k+1},\frac{1}{k+1}]\subseteq \R^n $ qui contient l'ouvert $\prod_{k=0}^{n-1} ]\frac{-1}{k+1},\frac{1}{k+1}[$. Ainsi, par le théorème d'invariance du domaine, il n'existe aucun $d$ tel que $\R^d$ contienne une partie homéomorphe à $K$ ($\R^d$ ne pouvant pas contenir de partie homéomorphe à $K_{d+1}$).
Merci beaucoup, pour ta réponse suffisamment détaillée, pour que je puisse la comprendre (ou plus précisément croire la comprendre).
Aurais-tu, aussi, un contre-exemple pour la réciproque de la propriété ?
Sinon une croix, symétrique en 0, dans la plan a-t-elle la propriété de point fixe, ?
Si oui, alors on a un contre-exemple plus simple.
Autant pour moi, une forme "T" dans le plan, je viens de comprendre.
Quelle propriété utilises tu pour dire qu'un "T" admet un point fixe ?
J'en profite pour remercier les participants pour l’intérêt qu'ils ont porté à ce fil.
Bonne soirée.