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Homéomorphisme entre connexes

Envoyé par Gasoil 
Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
Bonsoir à toutes et à tous,

J'aurais une question de topologie à vous poser :

Soient $(X,d_X)$ et $(Y,d_Y)$ deux espaces métriques connexes et homéomorphes, et $f$ une application bijective continue entre ces deux espaces, est-il toujours vrai que $f$ est un homéomorphisme ?

Merci par avance pour vos réponses.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Gasoil.
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
Tu peux prendre par exemple l'application $t \mapsto \exp(it)$ de $[0, 2\pi[$ dans $\mathbb S^1$ munis de leurs topologies usuelles.
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
Toutes mes excuses pour cette réponse tardive. J'ai en fait oublié de préciser que $(X,d_X)$ et $(Y,d_Y)$ sont homéomorphes !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Gasoil.
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
avatar
Bonjour

Ce topic m'a intriguée, j'ai eu du mal et finalement j'ai demandé de l'aide à des amis moins rouillés que moi, qui m'ont mise sur la voie et que je remercie si jamais ils passent par ici. Donc voici un exemple, avec des indications. Si ça intéresse encore quelqu'un je peux mettre des détails.

Préliminaires: Soit $A=\N\cup\{1/m\mid m\geq 2\}.$ Soit $\varphi:A\to A$ définie par \begin{align*}
\varphi(0)&=0\quad\text{et }\ \varphi(1)=1 \\
\varphi(2n)&=1/(2n)\ {\rm si}\ n\geq 1\\
\varphi(2n+1)&=n+1\ {\rm si}\ n\geq 1 \\
\varphi(1/q)&=1/(2q-1) \ {\rm si}\ q\geq 2
\end{align*} Cette fonction est bijective de $A$ sur $A$ et pour tout $a\in A$ on a $\varphi(a)\leq a.$

Espace $X.$ On se place dans $\R^2$ euclidien. On pose
$S_0=\{0\}\times [0,1]$ et pour tout $a\in A$ tel que $a>0$, on pose $S_a=\{x+ay=a\mid 0\leq x\leq a\}$

Dans tous les cas, $S_a$ est le segment d'extrémités $(0,1)$ et $(a,0)$. Enfin, $$ X=\bigcup_{a\in A}S_a,$$ $X$ est connexe.

Définition de $f:X\to X.$
$f(0,y)=(0,y)$ Si $x>0,$ il existe un et un seul $a\in A$ tel que $x\in S_a,$ c'est-à-dire tel que $x=a(1-y)$. On pose $f(x,y)=(\varphi(a)(1-y),y)$ et dans tous les cas $f(S_a)\subset S_{\varphi(a)}$ donc $f$ va bien de $X$ dans $X.$

Propriétés de $f$:
$f$ est bijective : On vérifie facilement que pour $(x',y')\in S_b$ on a $f^{-1}(x',y')=(\varphi^{-1}(b)(1-y'),y')$.

$f^{-1}$ n'est pas continue. On utilise le fait que $(1/(2n),0)\rightarrow (0,0)$ et que $f^{-1}(1/(2n),0)=(2n,0)$.

$f$ est continue. Là il y a du boulot ! On montre que l'image de chaque suite convergente de $X$ converge. On prend une suite $(x_n,y_n)$ qui tend vers $(x,y)$ et on traite séparément les cas $x>0$ et $x=0.$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
avatar
On peut également extraire un contre-exemple à partir de l'idée de Poirot.

Soit $X$ une somme pointée d'une infinité (dénombrable) de $[0,2\pi[$ et de $\mathbb{S}^1$. Maintenant, on prend $f : X \to X$ qui envoie identiquement les $[0,2\pi[$ sauf un sur tous les $[0,2\pi[$ de l'image, qui envoie identiquement tous les $\mathbb{S}^1$ sur les $\mathbb{S}^1$ de l'image sauf un, et enfin qui envoie le $[0,2\pi[$ restant dans le domaine de définition sur le $\mathbb{S}^1$ restant dans l'image via $t \mapsto e^{it}$.
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
avatar
Bonjour Seirios.


Ton exemple est indiscutable, mais je me pose une question: cet $X$ est-il plongeable dans un $\R^n$?
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
Comme ça, en empilant les segments d'un côté et les « cercles » de l'autre côté ?


Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
Une question naïve : les deux exemples sont-ils métriques (comme la question initiale le demandait) ?
Avec le plongement de Math Coss j'ai l'impression que la métrique induite de $\mathbf{R}^2$ ne donne pas la topologie voulue.

Au passage, l'exemple de Serios est vraiment astucieux !
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
avatar
Une somme pointée $Z$ de deux espaces métriques $(X,x,d_X)$ et $(Y,y,d_Y)$ peut naturellement être munie d'une métrique de la manière suivante : si $a,b \in X \subset Z$, pose $d_Z(a,b)=d_X(a,b)$ ; de même, si $a,b \in Y \subset Z$, pose $d_Z(a,b)= d_Y(a,b)$ ; finalement, si $a \in X$ et $b \in Y$, pose $d_Z(a,b)=d_X(a,x)+d_Y(y,b)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Seirios.
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
Si un énoncé comme ça était vrai alors une application linéaire bijective continue d'un espace vectoriel normé dans lui-même serait toujours un homéomorphisme. Soit $E$ l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang, muni de la norme $x \mapsto \|x \|_{\infty}:= \sup \{ |x_p| : p \geq 0\}$ et soit $\varphi: (x_n)_{n \in \N} \mapsto \left ( \frac{1}{n} x_n \right )_{n \in \N}$.
Alors $\varphi$ fournit un contre-exemple à l'énoncé de départ.
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
avatar
@Foys
Bravo!
Re: Homéomorphisme entre connexes
il y a deux années
Oui évidemment tu as raison Seirios, merci.
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