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Réalisation de la distance à une partie

Envoyé par xif 
xif
Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Bonjour, je me pose la question suivante : est-il vrai, en général, que pour une partie non vide $A\subset E$ d'un espace métrique $(E,d)$ et pour $x\in E$,
\[ \exists a\in\bar{A} : \operatorname{dist}(x,A)=d(x,a) \]

Lorsque $A$ est compact, la chose est facile à montrer :
Par caractérisation de la borne inf, on a $(d_n)_n\in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ telle que
\[ d_n = d(x,a_n) \xrightarrow[n\to\infty]{} \operatorname{dist}(x,A) \quad\text{ avec } a_n \in A \]
Par compacité de $A$, on extrait alors $(a_{\varphi(n)})_n$ convergente, et on a trouvé notre $a=\lim_{n\to\infty}a_{\varphi(n)}$.


Maintenant, si $E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie, il me semble que l'on peut facilement adapter l'argument :
puisque $d(x,a_n)$ tend vers une valeur finie, alors $(a_n)_n$ est forcément bornée pour $d$, donc elle est à valeur dans une partie bornée $A'$.
Donc est elle à valeur dans le fermé-borné $\bar{A'}$, donc compact car on est en dimension finie.


Maintenant, en EVN de dimension infinie, je n'ai aucune idée. J'ai cherché un contre-exemple en prenant la distance à la boule unité (qui n'est pas compacte par le théorème de Riesz), mais à chaque fois je trouve un point de $\bar{B}(0,1)$ réalisant la distance $d(x,\bar{B}(0,1))$...

Des idées de contre-exemples ? Ou une démonstration si c'est vrai en général ? Merci d'avance.
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
avatar
Bonjour

Prends dans $\R^2$ l'hyperbole $H$ d'équation $xy=1$ et regarde $d((0,0),H)$
xif
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
On a $d((0,0),H)=\sqrt{2}=d((0,0),(1,1))$ donc ça marche bien, non ?
Le point n'est pas unique ($(-1,-1)$ marche aussi) mais je ne vois pas en quoi c'est un contre-exemple ?
De toute façon, comme je l'ai dit, en dimension finie ça m'a l'air d'être toujours vrai.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
avatar
Oui, tu as raison, c'est un contrexemple pour la distance entre deux fermés qui n'est pas atteinte (en prenant H et la réunion des deux axes).

Je réfléchirai à ta question!
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Bonjour,

Tu peux prendre $l^{\infty}$ avec sa norme habituelle $\Vert\cdot \Vert_{\infty}$ et la suite $u_n=(0,\ldots,0,1+1/n,0,\ldots).$

Si on pose $U:=\{u_n,n\ge 0\}$ alors $U$ est fermé borné, $d(0,U)=1$ mais...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Krokop.
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Un exemple un peu crétin consiste à choisir un sous-espace vectoriel dense dans un espace de dimension infinie et un vecteur hors de ce sous-espace. Par exemple, dans $E=\mathscr{C}^0\bigl([0,1]\bigr)$ muni de la norme infinie ou la norme $1$ ou la norme $2$ ou..., prendre pour $A$ l'espace des polynômes et pour vecteur une fonction non polynomiale comme le sinus ou l'exponentielle ou...

Ce n'est pas très convaincant parce qu'on peut mimer cet exemple en dimension finie en prenant pour $A$ le disque unité fermé privé de $(1,0)$ et pour point, disons, $(2,0)$.

Tout ça pour dire qu'il faut au moins supposer $A$ fermée.

Edit : je n'avais pas fait attention à la petite barre sur le $A$ dans « $\exists a\in \bar{A}$ » du premier message. Ce post est donc inutile.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Math Coss.
xif
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Citation
Krokop
Tu peux prendre $l^{\infty}$ avec sa norme habituelle $\Vert\cdot \Vert_{\infty}$ et la suite $u_n=(0,\ldots,0,1+1/n,0,\ldots).$

Je n'ai pas bien compris ce que je peux faire avec cette suite de suites ?

Dans le fond, je cherche un point $x$ de $E$ (par exemple $\ell^{\infty}$) tel qu'il n'existe pas de $y\in \bar{B}(0_E,1)$ tel que $\operatorname{dist}(x,\bar{B}(0_E,1))=d(x,y)$ (par exemple, ou toute autre partie fermée non compacte).
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Même exemple que Krokop, à peu près :
$E=\mathbb R[X]$ avec comme norme le maximum des valeurs absolues des coeffcients, $A=\{ 2^{-n}X^n\mid n\in \mathbb N\}$, $x=0$.
xif
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Citation
Math Coss
Un exemple un peu crétin consiste à choisir un sous-espace vectoriel dense dans un espace de dimension infinie et un vecteur hors de ce sous-espace [...]

Mais alors il y a une suite de ce sous-espace dense qui tend vers ce vecteur, donc la limite de cette suite est bien une réalisation de la distance pour l'adhérence.

Citation
Math Coss
Tout ça pour dire qu'il faut au moins supposer $A$ fermée.

En fait, je cherche un point dans l'adhérence de $A$ qui réalise la distance, donc ça revient au même car $\operatorname{dist}(x,A)=\operatorname{dist}(x,\bar{A})$.
xif
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Citation
GaBuZoMeu
$E=\mathbb R[X]$ avec comme norme le maximum des valeurs absolues des coeffcients, $A=\{2^{-n}X^n\mid n\in \mathbb N\}$, $x=0$.

$\Vert 0 - 2^{-n}X^n \Vert = 2^{-n} \xrightarrow[n\to \infty]{} 0$ donc $\operatorname{dist}(0,A)=0$ et alors $0\in\bar{A}$ réalise bien la distance, non ?
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Oui au temps pour moi, je reviens à l'exemple de Krokop : $A=\{(1+2^{-n})X^n\mid n\in \mathbb N\}$, $x=0$.
xif
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Ha oui en effet, ça fonctionne, merci ! J'avais mal lu le post de Krokop, désolé...
xif
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Tant que j'y suis, quelqu'un a-t-il un argument élégant pour montrer que $A$ est fermée dans l'exemple donné ci-dessus ? Ça fonctionne à la main avec des suites, mais c'est assez moche.
Re: Réalisation de la distance à une partie
il y a deux années
Si $P\not\in A$, alors $d(P,A)>0$.
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