Si ce n'est pas évident, c'est qu'il faut revoir le cours sur les bornes inf et sup. Qu'est ce qu'une borne inférieure ? Définition, propriétés équivalentes ?
Inutile de réciter si tu ne comprends pas de quoi on parle. Mais maintenant que tu as écrit ça, commence à penser à ton énoncé : Que peux-tu choisir intelligemment comme $x_{\varepsilon}$ et $y_{\varepsilon}$ ?
Mais un jour ou l'autre, il faudra que tu comprennes le lien entre "un minimum" et "une borne inférieure". Tu gagneras beaucoup de temps.
Ce que tu donnes est une définition possible. Une autre, équivalente bien sûr, c'est de dire que c'est le plus grand des minorants (certes il faudrait prouver qu'il existe un minorant plus grand que tous les autres pour que cette définition fasse sens), ce qui est beaucoup plus parlant que la définition epsilonesque dans un premier temps.
Objection ! Il manque la moitié de l'information. Si on prend $A=B=\{0,1\}$, alors $1$ satisfait à la contrainte donnée par Nora-maths : \[\forall \varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in A,y_{\varepsilon}\in B,\quad 1\leq d(x_{\varepsilon},y_{\varepsilon})<1+\varepsilon.\]
La distance entre A et B est la borne inférieure des distances entre un élément de A et un élément de B. Peut-elle être inférieure à 0 ? Donc ...
Il est temps pour toi d'arrêter de prendre le maths pour des méthodes d'écriture, de comprendre de quoi on parle. De comprendre que la borne inférieure de [2,3] est évidente parce que la borne inférieure est le plus grand des minorants (des nombres qui sont inférieurs ou égaux à ceux de [2,3]) et donc que c'est évidemment ...
Remue-toi les méninges, ton exercice est résolu en 2 lignes.
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Pour aider Nora-math à répondre à la question de Chaurien ...
Donner un exemple de deux parties non vides $A$ et $B$ d'un espace métrique telles que $A\cap B=\emptyset$ et $d\left(A,B\right)=0$.
Donner un exemple de deux parties non vides fermées $F$ et $G$ d'un espace métrique telles que $F\cap G=\emptyset$ et $d\left(F,G\right)=0$.
Réponses
Pour la question
Quelle est la borne inférieure d'un ensemble de nombre positifs qui contient 0
je ne sais pas.
$\forall \varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in A ,\ y_{\varepsilon}\in B,\ d(A,B)\leq d(x_{\varepsilon},y_{\varepsilon})<d(A,B)+\varepsilon$.
Mais un jour ou l'autre, il faudra que tu comprennes le lien entre "un minimum" et "une borne inférieure". Tu gagneras beaucoup de temps.
Cordialement.
http://mathonline.wikidot.com/epsilon-definition-of-the-supremum-and-infimum-of-a-bounded
comment je peux justifier le fait de prendre $x_\varepsilon, y_\varepsilon$ de $A\cap B$?
je ne sais pas quoi déduire
Il est temps pour toi d'arrêter de prendre le maths pour des méthodes d'écriture, de comprendre de quoi on parle. De comprendre que la borne inférieure de [2,3] est évidente parce que la borne inférieure est le plus grand des minorants (des nombres qui sont inférieurs ou égaux à ceux de [2,3]) et donc que c'est évidemment ...
Remue-toi les méninges, ton exercice est résolu en 2 lignes.
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Donner un exemple de deux parties non vides $A$ et $B$ d'un espace métrique telles que $A\cap B=\emptyset$ et $d\left(A,B\right)=0$.
Donner un exemple de deux parties non vides fermées $F$ et $G$ d'un espace métrique telles que $F\cap G=\emptyset$ et $d\left(F,G\right)=0$.