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Distance entre deux ensembles

Envoyé par Nora-math 
Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Bonjour
comment montrer que si $A\cap B\neq \emptyset$ alors $d(A,B)=0$ ?
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: distance entre deux ensembles
il y a six semaines
En appliquant la définition de $d(A,B)$. Quelle est la borne inférieure d'un ensemble de nombre positifs qui contient $0$ ? Pourquoi ?
Re: distance entre deux ensembles
il y a six semaines
$d(A,B)=\inf\{d(x,y)\mid x\in A,\ y\in B\}$

Pour la question
Quelle est la borne inférieure d'un ensemble de nombre positifs qui contient 0
je ne sais pas.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Si ce n'est pas évident, c'est qu'il faut revoir le cours sur les bornes inf et sup. Qu'est ce qu'une borne inférieure ? Définition, propriétés équivalentes ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Chalk.
Re: distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Je connais la definition par epsilon

$\forall \varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in A ,\ y_{\varepsilon}\in B,\ d(A,B)\leq d(x_{\varepsilon},y_{\varepsilon})<d(A,B)+\varepsilon$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Inutile de réciter si tu ne comprends pas de quoi on parle. Mais maintenant que tu as écrit ça, commence à penser à ton énoncé : Que peux-tu choisir intelligemment comme $x_{\varepsilon}$ et $y_{\varepsilon}$ ?

Mais un jour ou l'autre, il faudra que tu comprennes le lien entre "un minimum" et "une borne inférieure". Tu gagneras beaucoup de temps.

Cordialement.
Re: distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Ce que tu donnes est une définition possible. Une autre, équivalente bien sûr, c'est de dire que c'est le plus grand des minorants (certes il faudrait prouver qu'il existe un minorant plus grand que tous les autres pour que cette définition fasse sens), ce qui est beaucoup plus parlant que la définition epsilonesque dans un premier temps.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Chalk.
Re: distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Objection ! Il manque la moitié de l'information. Si on prend $A=B=\{0,1\}$, alors $1$ satisfait à la contrainte donnée par Nora-maths : \[\forall \varepsilon>0,\ \exists x_{\varepsilon}\in A,y_{\varepsilon}\in B,\quad 1\leq d(x_{\varepsilon},y_{\varepsilon})<1+\varepsilon.\]
Re: distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Bien vu Math Coss, c'est bien que la définition n'est pas maîtrisée grinning smiley
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Bonjour que manque-t-il dans ma définition de l'info je ne vois pas.
[mathonline.wikidot.com]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
C'est pourtant marqué, l'inf doit être un minorant.
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
oui c'est vrai, mais en quoi ca aide pour démontrer que $d(A,B)=0$?

comment je peux justifier le fait de prendre $x_\varepsilon, y_\varepsilon$ de $A\cap B$?
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Si $x=y \in A \cap B$, que vaut $d(x,y)$ ? Que peux-tu en déduire quant à la borne inférieure de l'ensemble $\{d(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$ ?
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Si $x=y\in A\cap B$ alors $d(x,y)=0$

je ne sais pas quoi déduire
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
La distance entre A et B est la borne inférieure des distances entre un élément de A et un élément de B. Peut-elle être inférieure à 0 ? Donc ...

Il est temps pour toi d'arrêter de prendre le maths pour des méthodes d'écriture, de comprendre de quoi on parle. De comprendre que la borne inférieure de [2,3] est évidente parce que la borne inférieure est le plus grand des minorants (des nombres qui sont inférieurs ou égaux à ceux de [2,3]) et donc que c'est évidemment ...

Remue-toi les méninges, ton exercice est résolu en 2 lignes.
.
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
J'ai compris merci
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
avatar
Et la réciproque ? winking smiley
Zig
Re: Distance entre deux ensembles
il y a six semaines
Pour aider Nora-math à répondre à la question de Chaurien ...
Donner un exemple de deux parties non vides $A$ et $B$ d'un espace métrique telles que $A\cap B=\emptyset$ et $d\left(A,B\right)=0$.
Donner un exemple de deux parties non vides fermées $F$ et $G$ d'un espace métrique telles que $F\cap G=\emptyset$ et $d\left(F,G\right)=0$.
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