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Sur la complétude

Envoyé par topalg 
Sur la complétude
il y a quatre semaines
Bonjour
J'ai quelques questions.

1) Quand je cherche à savoir pourquoi $\C$ est complet un livre me dit que c'est parce que $\C$ est un produit d'espaces complets. Est-ce qu'on pourrait me préciser c'est le produit de quels espaces complets ?

2) Comment on prouve que $\C^{*}$ n'est pas un fermé de $\C$ ?

3) Je ne comprends pas pourquoi $\N$ est fermé dans $\R$, je veux dire $\N$ est l'union des singletons $\{0\} \cup \{1\} \cup\ldots$ et un singleton est un fermé mais cette union est dénombrable.

4) Pour justifier que $Q^{n}$ n'est pas fermé dans le complet $\R^{n}$ un livre me dit que
$\overline{Q^{n}}= \overline{Q}^{n} = \R^{n}$. Je ne connaissais pas cette formule de l'adhérence d'un produit cartésien, est-ce qu'elle est valable (je demande cela car cette formule n'est pas dans mon cours de topologie) ?
Merci d'avance.

[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, pas seulement quelques termes. winking smiley AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
1) $\C = \R\times\R$ en tant qu'espaces, par définition

2) Tu peux montrer que $0$ est dans son adhérence

3) Soit $(x_n)$ une suite d'entiers convergente. Elle est alors de Cauchy, de sorte qu'à partir d'un certain rang, ses termes sont à une distance $< 1$. Donc...

4) Oui, pour tout produit $X\times Y$ et $A\subset X, B\subset Y$, $\overline{A\times B} = \overline A\times \overline B$. Une inclusion devrait être facile; pour l'autre inclusion tu peux utiliser le complémentaire et la définition des ouverts de $X\times Y$

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Merci Maxtimax mais excuse moi dans le 3) je n'arrive pas à voir comment à partir de ton raisonnement tu arrives à prouver que $\N$ est fermé dans $\R$.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Je n'ai pas fini le raisonnement, je t'ai laissé la fin winking smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
La limite de ta suite $(x_{n})$ va appartenir à l'adhérence de $\N$. Il faudrait montrer que l'adhérence de $\N$ c'est $\N$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par topalg.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Maxtimax tu ne peux pas m'aider? Je n'y arrive pas.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Connais-tu beaucoup d'entiers $n$ et $m$ tels que $|n-m| < 1$ ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Non il n'y en pas donc on aboutit à une contradiction.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Une contradiction à partir de quoi ? Il y a bien de tels entiers. Tu peux écrire ça plus clairement, tu verras !

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Il n'y a aucune contradiction. Essaye de faire la preuve en entier, en isolant précisément ce que tu souhaites montrer. C'est comme ça qu'on apprend. Le plus dur t'a été prémâché par Max.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Ça veut dire qu'une hypothèse de départ est fausse. J'ai pensé a dire "alors ça entraîne qu'il n'existe pas de suite d'entiers naturels convergentes" mais c'est faux car il existe des suites d'entiers naturels convergentes.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Moi je connais beaucoup d'entiers $n$ et $m$ tels que $|n-m| < 1$.

Tu réponds en mode automatique topalg ou tu réfléchis vraiment aux questions posés ? Il aurait pu demander "Connais-tu beaucoup de réels plus grands que $\pi$ ?" et tu aurais répondu qu'il n'y en a pas juste à cause de la tournure de la question ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Chalk.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Topalg, tu as écrit "on aboutit à une contradiction"
Maxtimax t'a répondu "Il y a bien de tels entiers" et Poirot "Il n'y a aucune contradiction".

Cordialement.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
D'accord il n'y a pas de contradiction.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Je vais peut être dire une bêtise mais je ne connais pas d'entiers n et m tels que $|n-m|<1$.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
S'il vous plaît, ne vous moquez pas de moi j'essaie vraiment de réfléchir aux questions posées.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Peut-être que c'est la tournure qui te perd. Soit $m, n \in \mathbb N$. Si $|m-n| < 1$ alors...?
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Personne ici ne se moque de toi, on essaie au contraire de t'aider

Prenons $n=2$. Connais-tu beaucoup d'entiers $m$ tels que $|m-2|<1$ ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Chalk quand tu dis que tu connais beaucoup d'entiers m et tels que $|m-n|<1$ tu peux me donner un exemple?
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
A ta question Maxtimax je dirais que ça entraine que $m=2$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par topalg.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Pardonnez moi mais je reste stupéfait par ce qu'a dit Chalk " Moi je connais beaucoup d'entiers n et m tels que
|n-m|<1"
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Du coup je me demande s'il se moque de moi ou s'il est vraiment sincère quand il dit ça.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Chalk est sincère: il y a tous les couples $(n,n)$.
Et comme tu le remarques "ça entraîne que $m=2$", il n'y a que ceux-là. Peux-tu essayer de conclure maintenant ? ce n'est pas une preuve par contradiction

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Ça veut dire que la suite $(x_{n})$ est stationnaire à partir d'un certain rang c'est-à-dire que la limite de la suite $(x_{n})$ va être un entier naturel donc $\N$ est fermé dans $\R$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
AAAAAAaaaaahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh!!!!!!!!!!!

Je me suis mis à trembler à partir d'une dizaine de posts avant le présent en espérant secrêtement que personne ne lui spoilerait les couples $(m,n)$ tels que $m=n$.

Mais ta jeunesse Max, entrainant tes générosités et empathie, t'a fait lui lâcher le morceau. Snif pour son réseau de neurones. Il allait vivre un truc très intense à T+1jour si tu ne lui avais pas dit, et ça aurait changé sa vie mathématique...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Bon, je précise que je spécule, bien évidemment, je ne suis pas expert mondial en psychiatrie. Mais mon expérience...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Citation
CC
je ne suis pas expert mondial en psychiatrie

Pourtant, à t'entendre parfois... grinning smiley
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
grinning smiley grinning smiley J'ai dû faire des progrès récemment pour tout dire, mais je reste un amateur plus déséquilibré qu'équilibrant.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Christophe quand vous avez écrit: "Je me suis mis à trembler à partir d'une dizaine de posts" vous m'avez fait rire.
Ma mère m'a dit qu'elle me trouve bizarre ce soir, elle m'a dit que j'ai l'air pas content, si seulement elle savait ce que j'ai appris aujourd'hui lol.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
J'ai envoyé un message privé à Maxtimax, il a dû bien rire depuis sa chambre à Copenhague.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Christophe : topalg avait trouvé, en disant que ça implique $m=2$. J'aurais pu attendre encore, mais n'étais pas sûr de l'intérêt

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
topalg écrivait : [www.les-mathematiques.net] point 3)
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Fais un dessin : le graphe une fonction continue et affine par morceaux de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ qui s'annule exactement sur les entiers. $\mathbb{N} =f^{-1}(\lbrace 0\rbrace)$ est un ... ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Si $\mathbb{C}^*$ était fermé de $\mathbb{C}$ complet il serait complet. La suite de terme $1/n$ est de Cauchy dans $\mathbb{C}^*$, converge-t-elle dans $\mathbb{C}^*$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AlainLyon.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Non la suite de terme $1/n$ ne converge pas dans $\C^{*}$ donc $\C^{*}$ n'est pas un fermé de $\C$.
Pour ta première question je ne sais pas.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par topalg.
Re: Sur la complétude
il y a quatre semaines
Pour $\mathbb{Q}^n$ : il n'est pas égal à son adhérence $\mathbb{R}^n$
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