Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
210 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

"Il est facile de" 2

Envoyé par christophe c 
Re: "Il est facile de" 2
l’an passé
Citation
Calli
n'est-il pas vrai que toute image réciproque continue d'un ensemble Baire-négligeable est Baire-négligeable ?

Première nouvelle pour moi, je n'ai rien en mémoire à ce propos. Mais je vais y réfléchir pour le coup, merci pour cette remarque (j'ai tout de même des doutes, mais sait-on jamais).

Et je précise aux lecteurs que je vais corriger une coquille, j'ai oublié de préciser que la fonction doit être injective, sinon IR est image réciproque de n'importe quel singleton et la propriété demandée ne force rien du tout.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
l’an passé
Question 1120


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
l’an passé
avatar
Ah je n'avais pas vu ton message Christophe.

Si je ne me trompe pas, un Baire-négligeable, c'est un ensemble maire, i.e. une union dénombrable de fermés d'intérieurs vides. Là où je suis sûr de m'être trompé c'est que j'ai pris la propriété topologique $f^{-1}(\overset{\circ}F) \subset \overbrace{f^{-1}(F)}^\circ$ dans le mauvais sens et j'ai cru que l'image réciproque d'un fermé d'intérieur vide est aussi d'intérieur vide ! Donc les maigres ne sont pas stables par prise d'image réciproque continue.

Néanmoins, si tu ne regardes que les applications continues injectives $\Bbb R\to \Bbb R$, alors l'image réciproque d'un fermé d'intérieur vide est bien d'intérieur vide par le théorème de la bijection. Et donc l'image réciproque d'un maigre est tout aussi maigre. Mais peut-être que tu regardes tous les $X\to\Bbb R$, avec $X$ un espace topologique quelconque ? Dans ce cas, l'image de tout sous-ensemble [édit] non vide de $\Bbb R$ (en particulier s'il est maigre) par $$\mathrm{id} : (\Bbb R,\text{topologie discrète})\longrightarrow(\Bbb R,\text{topologie usuelle})$$ est d'intérieur non vide, et donc non maigre.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Calli.
Re: "Il est facile de" 2
l’an passé
En tout cas, je te remercie, car j'ai beau ne pas être réputé un béotien en topologie ce truc m'avait TOTALEMENT ÉCHAPPÉ AU COURS DE MA LONGUE VIE. Je vais donc le vérifier de près et te remercier une deuxième fois quand ce sera fait !!!!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
l’an passé
En plus ça semble n'être rien d'autre que le TVI: si $U$ est un ouvert, une injection $f$ l'enverra sur un ensemble d'intérieur non vide. Donc oui, tu as raison, c'est même caricatural:

$A$ d'intérieur vide => $f^{-1}(A)$ aussi, sans même rien supposer sur la maigreur de $A$

Alors, bon, il faut que je précise quand-même, mais je vais relire la question que j'ai posée: quand je pose ce genre de question, c'est "évidemment" dans l'espace $\N^\N$ (doté de la produit de la discrète), avec une intention coupable de faire de la théorie descriptive des ensembles et non de me laisser piéger par la connexité de $\R$.

Mais je referai des questions avec des numéros nouveaux pour préciser ce but.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
l’an passé
Et comme promis, à nouveau un grand merci !!!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Question 1121


c'est une "question -exemple" et légèrement vague qui m'est inspiré par un fil du genre où j'ai l'habitude de ne jamais m'aventurer, mais comme on a évoqué récemment la constante de Bloch, je "bats le fer de l'actualité" tant qu'il est chaud.

Soit $A$ l'ensemble, disons des applications $C^2$ de $]0,3[$ dans $\R^+$, telles que $f'(1)=f'(2)=0$.

Je note $\phi(f):=$ la borne supérieure des $f''(x)$ quand $x$ parcourt $[1,2]$.

Sait-on trouver "facilement" (je veux dire algorithmiquement pour ce genre de problème) la borne inférieure des $\phi(f)$ quand $f$ parcourt $A$?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
1121) Ici on ne peut avoir $M:=\sup f'' = \max f'' <0$ sur $[1,2]$ sans quoi on aurait $0 = f'(2) - f'(1) =\int_1^2 f'' \leq \int_1^2 M <0$. D'autre part la fonction nulle fournit un exemple avec le max de sa dérivée seconde nulle. Donc l'inf en question vaut $0$.
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Olala, merci foys, j'ai oublié de mettre une condition qui écarte les constantes, je suis bon pour une 1122winking smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Citation
christophe c
Olala, merci foys, j'ai oublié de mettre une condition qui écarte les constantes
Ca ne change rien, on prend une fonction $g$ telle que $g'(1)=g'(2)=0$, que se passe-t-il avec $ag$ ($a\in \R\backslash \{0\}$) quand $a\to 0$ ?
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Question 1122


c'est une "question -exemple" et légèrement vague qui m'est inspiré par un fil du genre où j'ai l'habitude de ne jamais m'aventurer, mais comme on a évoqué récemment la constante de Bloch, je "bats le fer de l'actualité" tant qu'il est chaud.

Soit $A$ l'ensemble, disons des applications $C^2$ de $]0,4[$ dans $\R^+$, telles que $f'(1)=f'(3)=0$ et $f(2)=1$

Je note $\phi(f):=$ la borne supérieure des $f''(x)$ quand $x$ parcourt $[1,3]$.

Sait-on trouver "facilement" (je veux dire algorithmiquement pour ce genre de problème) la borne inférieure des $\phi(f)$ quand $f$ parcourt $A$?

ET MERCI A FOYS pour son intervention!!!!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Question 1123


Je note $E$ l'ensemble des applications de $J:=[0,1]$ dans $\R$ doté de la norme $$(f,g)\longmapsto sup_{x\in J} \ |f(x)-g(x)|$$ Certaines peuvent avoir une norme infinie, mais pas les continues.

Soit $f\in E$. On calcule son niveau ordinal de dérivabilité comme suit:

Si $f$ admet une dérivée, $D(1,f):=f'$ et de manière générale $D(a+1,f):=$ la dérivée, si elle existe de $D(a,f)$.

Calcul de $D_a(f)$ pour un ordinal limite $a$. S'il en existe on choisit une fonction dans

$$ \{ g\mid \forall b<a: g\in adh(\{h \mid \exists u: b<u<a \ et\ h\in D(u,f) \}) $$

On dit qu'une fonction est "terriblement" dérivable quand ce processus rend $D(a,f)$ défini pour tout ordinal $a$, pour au moins un bon choix quand un choix est à faire.

Existe-t-il des fonctions terriblement dérivables qui ne sont pas analytiques?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
avatar
Question 1123 : Oui.
Soient $g\in{\cal C} ^\infty([0,1],\Bbb R)$ non identiquement nulle telle que $g_{|[0,1/2]}=0$ et $\|g\|_\infty <1$, et $f\in{\cal C }^\infty([0,1],\Bbb R)$ non nulle telle que $f'=gf$. Alors $f^{(n)} = g^n f $ converge uniformément vers $0$, donc la dérivée d'ordre $\omega$ de $f$ existe et est nulle. Ainsi $f$ est terriblement dérivable. De plus, $f'$ est nulle sur $[0,1/2]$ mais pas sur $[0,1]$ donc $f$ n'est pas analytique.


Édit : J'ai fait une erreur.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par Calli.
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Merci quand-même! (Bien joué le gris clair).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Question 1124


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
La question 1124 a été résolue par JLT ce matin

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Question 1125


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Question 1126: est-ce que tout espace topologique connexe localement métrisable est métrisable?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
avatar
1126 : Non. Contre-exemple : la longue droite $[0,\omega_1[\times [0,1[$.
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Cher Calli,

Bravo!


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Question 1127


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Bravo et merci à foys et maxtimax pour la 1127

Voici une forme plus réfléchie de question sans axiome du choix.

Questions 1129 et 1130


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a onze mois
Comme je démarre une série de questions sur un même thème, je passe une dizaine (que j'essairai de combler) et commence à 1140.


Question 1140


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a dix mois
Dans la même thématique:

Question 1141


A noter que la 1140 a été résolue brillamment par un primo-inscrit pseudoté B.O.L. sur le même fil (post au dessus de la 1141)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par christophe c.
Re: "Il est facile de" 2
il y a dix mois
Question 1131 (numérotation comblée pour les misceanellous).

On ne suppose pas l'axiome du choix. Voici un énoncé $E$.

Pour toute partie $A$ de $\R^2$, il existe une réunion dénombrable $X$ d'images $C^\infty$ de $[0,1]$ dans $\R^2$ et un ensemble $Y$ qui s'obtient en partant des ouverts et en itérant passage au complémentaire, réunions dénombrables et images directes par continues tels que:

$$\forall x\in \R^2: [\ [(x\in A)\iff (x\in Y)] \ ou \ [x\in X]\ ) $$


L'énoncé $E$ est-il consistant avec $ZF+CD$?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a dix mois
Question 1132


Rappel pour moi-même: je dispose des numéros 1133 à 1139. Après il faudra sauter à 1150, à cause de la série prévue des 1140 à 1149.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a neuf mois
Question 1133:

soit $G$ un groupe moyennable et non trivial. Existe-t-il forcément dans $G$ un élément qui n'est pas conjugué à son carré?

Question 1134:

soit $G$ un groupe moyennable et non trivial. Existe-t-il forcément dans $G$ un élément qui n'est pas conjugué extérieurement à son carré?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a neuf mois
S'il y a un élément d'ordre deux, c'est râpé, non ? C'est quoi, "non trivial" ? Et "conjugué extérieurement" ça veut dire "il existe un automorphisme du groupe qui envoie le truc sur son carré" ?
Re: "Il est facile de" 2
il y a neuf mois
Oui tu as bien deviné pour l'adverbe "extérieurement".

Soit $G$ un groupe, $a\in G$ et $J(a)$ le jeu suivant:

$Bob$ propose $u,v$ tels que $uva=vu$ et Lea choisit $x \in \{u;v\}$, et on continue comme ça, récursivement avec les règles de $J(x)$.

$G$ est dit faiblement résoluble quand pour tout $a\in G$, Lea a une stratégie pour forcer qu'apparaisse un moment ou un autre l'élément neutre ou pour forcer Bob à ne pas pouvoir respecter les règles. .

Question 1135: tout groupe compact qui est faiblement résoluble est-il résoluble?

De la même manière, vous pouvez définir une notion de "faiblement nilpotent". Je le ferai ultérieurement en éditant.

Question 1136: tout groupe compact faiblement nilpotent est-il nilpotent?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par christophe c.
Re: "Il est facile de" 2
il y a neuf mois
Question 1137


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a neuf mois
Question 1138


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a neuf mois
Question 1139


(Pour moi: ne pas oublier de passer à la 1150 ensuite, la plage 1140-1149 étant prise pour un autre projet)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a sept mois
Question 1150:

un merci tardif, 14ans après à [www.les-mathematiques.net]

Soit $E$ doté d'une distance $d$. On suppose que tout ensemble inclus dans $E$ qui est borné est contenu dans au moins une boule minimale en rayon à le contenir. Est-ce qu'alors forcément $E$ est complet ?

Précision : je n'ai même pas regardé si la complétude est suffisante, je le ferai plus tard et publierai éventuellement une question si je ne trouve pas.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par AD.
Re: "Il est facile de" 2
il y a sept mois
1150:
Non quand $E:= ]0,1]$ (soit $F\subseteq E$ et $I$ un intervalle fermé de $\R$ de longueur minimale contenant $F$ distinguer les cas où le centre de $F$ est dans $]0,1]$ et ceux où il ne l'est pas -ce qui est impossible...).
Re: "Il est facile de" 2
il y a sept mois
Merci et bravo Foys. Une fois comme des millions de fois on (enfin je mais ne suis probablement pas le seul) oublié que la complétude moral est pas la complétude mathématique.

Faudra que je consacre du temps à donner une définition de la complétude morale qui ne soit pas trop proche de "metrisable via distance complète qui est topologique.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a sept mois
Bin du coup, je me donne quand-même la peine de publier la question "intentionnelle", même si je ne l'aime pas des masses, dites comme ça.

Question 1151

Soit $E$ doté d'une distance $d$. On suppose que tout ensemble inclus dans $E$ qui est borné est contenu dans au moins une boule minimale en rayon à le contenir. Est-ce qu'alors forcément $E$, comme espace topologique, est complet pour au moins une métrique lui donnant sa topologie ? (je crois qu'on prononce aussi "complètement métrisable", mais ça fait bizarre).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a sept mois
-On munit $\Z$ de la distance $p$-adique: $d(x,y):= p^{-n}$ où $n$ est le plus grand entier tel que $p^n$ divise $x-y$.
Muni de cette distance, $\Z$ est sans point isolé (pour tout $k\in \Z$, la suite $n\mapsto k+p^n$ converge vers $k$). Comme il est dénombrable, il n'est pas de Baire et donc n'est complet pour aucune distance définissant la même topologie.

-Si $r>0$ et $x\in \Z$, les boules fermées $\overline B(x,r)$ et $\overline B(x,p^{-(m+1)})$ sont identiques lorsque $m$ désigne l'unique entier tel que $p^{-(m+1)} \leq r < p^{-m} $.

Donc pour toute partie bornée $F$ non vide et non réduite à un point (i.e. de rayon non nul), si $r$ est la borne inférieure des $s$ tels que $F$ est dans une boule fermée de rayon $s$, en considérant l'unique $k\in \N$ tel que $p^{-(k+1)} \leq s <p^{-k} $ et en recouvrant $F$ par une boule de rayon $r$ avec $s\leq r < p^{-k}$, on peut remplacer le rayon de cette boule par $p^{-(k+1)}$ (et donc en fait $s=p^{-(k+1)}$ et la boule est minimale pour l'inclusion).

Donc non à nouveau.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Foys.
Re: "Il est facile de" 2
il y a sept mois
Bravo Foys!! (Et merci)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
En l'honneur du problème discuté dans [www.les-mathematiques.net]

Question 1152 : soit $n$ un entier $\geq 1$ et $A$ une partie bijection de $n$ dans $n$. Soit une matrice $M$ que je considère comme une application de $n^2$ dans un corps algébriquement clos $K$. Alors est-ce que forcément il est possible d'obtenir une matrice nilpotente à partir de $M$ en remplaçant uniquement les cases de $M$ qui sont indicées par un élément de $A$?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
Question 1153


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
Question 1154:

construire un triplet $(n,f,K)$ avec:

1/ $n$ est un entier $\geq 2$.

2/ $f$ est une urjection application continue de $\R^n\to \R^n$

3/ $K$ est un compact et convexe de $\R^n$

4/ $frontiere(K) \subset Im(f)$

5/ $K$ n'est pas inclus dans $Im(f)$


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par christophe c.
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
avatar
$\def\im{\mathop{\rm Im}}$Donc tu veux $\im f=\Bbb R^n$, $K\subset \Bbb R^n$ et $K\not\subset \im f$. Mm mm...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Calli.
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
Aaaahhhhhh merci. Ma langue a fourché je pensais à un autre fil en même temps. APPLICATION et non pas "surjection". MERCI!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
avatar
Soit $n=2$, on identifie $\R^2$ à $\C$. Soit $K=B(0,1)$ la boule unité fermée. $f(x+iy)=e^{x+iy}$. Alors $\mathrm{Im} f$ contient $U(1)$ la frontière de $K$, mais pas $0 \in K$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par marco.
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
avatar
Dans ce cas, prends $n=2$, $K=\overline B(0,1)$ et $f:(x,y)\mapsto (\cos(x),\sin(x))$.

Edit : Presque en même temps que marco, et presque la même réponse !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Calli.
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
.
.

Merci et bravo à vous 2 !!!!!


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
Question 1155:

construire un triplet $(n,f,K)$ avec:

1/ $n$ est un entier $\geq 2$.

2/ $f$ est une application continue de $\R^n\to \R^n$

3/ $K$ est un compact et convexe de $\R^n$

4/ $frontiere(K) \subset Im(f)$

5/ $K$ n'est pas inclus dans $Im(f)$

6/ $f$ tend vers l'infini en l'infini (autrement dit
pour tout $a>0$,
il existe $b>0$,
pour tout $||x||>b: ||f(x)||>a$)


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
avatar
$\def\i{{\rm i}}$Même principe Christophe : $n=2$, $\Bbb R^2\cong \Bbb C$, $K=\overline B(0,1)$ et $$f:x+\i y\mapsto \left\{ \begin{array}{cl}
e^{|x|+\i y} &\text{si }|y|\leqslant\pi\\
-e^{|x|+|y|-\pi} &\text{si }|y|>\pi
\end{array}\right.$$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Calli.
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
Merci beaucoup Calli et BRAVO A TOI (je t'ai mis une couleur que tu aimes bien). Bon, je ne vais pas faire le pacha et ajouter une version plus sévère, j'ai une certaine éthique dans ce fil. La morale de cette histoire et qu'il faut (pour obtenir l'inexistence) que j'aille ou bien vers de la quasi-injectivité ou bien vers de la différentiabilité violente. Mais ça nécessite un peu de temps.




Question 1156


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: "Il est facile de" 2
il y a cinq mois
avatar
Salut Christophe, désolé d'intervenir dans ton "temple" grinning smiley.
Je t'ai envoyé un mp sur un exo sur les ultraproduits tapé en latex que je n'arrive pas à commencer, ni rien, je me suis noyé. S'il est facile pour toi pas besoin de le mettre ici, sinon pourquoi pas, je veux pas ouvrir de fil pour cela.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 229, Messages: 1 507 001, Utilisateurs: 27 661.
Notre dernier utilisateur inscrit ibra.


Ce forum
Discussions: 2 517, Messages: 51 078.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page