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$A\cup B =E \implies \overline A\subset B$

Envoyé par Educ 
$A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bonjour

Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$

J'ai essayé de construire un contre-exemple pour la réciproque : $$A\cup B =E \implies \overline A\subset B $$
je désigne par $\overline A=\mathcal{C}_{E}^{A}=\{ x\in E \mid x\notin A \}$ complemantaire de A dans E
Donc j'ai donné :
$E=\{ 1,2,3,4,5 \},\quad A=\{ 2; 5\},\quad \overline A=\{ 1,3,4 \},\quad B=\{1,3,4,5\}$ donc on a $\overline A \subset B$ mais $A\cup B=E$ est vérifié.
Je voudrais trouver un contre-exemple simple.
Merci beaucoup.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Educ.
Re: A\cup B =E \implies \overline A\subset B
il y a cinq années
En général, A avec une barre au dessus désigne l'adhérence de A. Donc il faudrait que tu précises ce qu'elle signifie dans ton contexte particulier. Si c'est $E\setminus A$, alors l'énoncé est un théorème évident: si $x\notin A$ alors $x\in B$ (sous l'hypothèse $A\cup B=E$ et $x\in E$)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bonjour


c'est pas La topologie mais plutot la theore des ensembles et je désigne par A barre le complémentaire de A dans E

Merci d'avance
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bonjour,

je voudrais montrer qu'on a pas l’équivalence c'est a dire que la proposition suivante


$$\overline A\subset B \implies A\cup B =E$$

est fausse. Merci d'avance



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Educ.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Tu auras du mal. Dans un topos, peut-être ...
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Si $A$ et $B$ sont deux parties de $E$, tu peux toujours passer au complémentaire dans la relation $A \cup B = E$.

Bruno
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bonjour,


j'ai mis a jour mon pose

Merci de me corriger
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
$(A\vee B)\iff ((\neg A)\to B)$ est un théorème (de logique classique), ie c'est une tautologie. Ce n'est par contre pas un théorème intuitionniste**. Mais je ne pense pas que tu aies envie d'aller sur ce terrain-là (tu sembles avoir bien des choses à faire avant)

** seul $(A\vee B)\to ((\neg A)\to B)$ est démontrable de manière intuitionniste. La réciproque pour tous $A,B$ est carrément un axiome qu'il suffit de rajouter à la logique intuitionniste pour obtenir la logique classique.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Lundi : des patates. Mardi : des patates...

Avec tes notations, Educ, si $X$ et $Y$ sont de parties de $E$, et si $X \subset Y$, comment sont liées $\overline{X}$ et $\overline{Y}$ ?
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Merci pour vos réponses mais peux-t-on voir ca via diagramme de Venn


Peux-t-on considère le diagramme de Venn une preuve mathématique pour démontrer des proposition dans la théorie des ensembles

Merci d'avance
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Jolie la figure, mais ce n'est pas $\overline A \subset \mathbf E$ que l'on étudie. D'autre part, pourquoi as-tu choisi $B = \overline A$ ?

Bruno
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bonjour,

@bruno

Merci et voila j'ai rectifie la figure



Merci d'avance
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
On ne s'est pas compris . $E = A \cup \overline A$ , mais $B$ n'est pas $E$ comme le suggère ton dessin. Encore un petit effort et tu vas y arriver smiling smiley.

Bruno
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bonjour,

je pense que j'ai deux possibilité pour B afin de dessiner le diagramme de Venn $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$ :

Soit $B=\overline A$ soit $ B=E$

$B=\overline A\quad $ ($A\cup B=A\cup \overline A =E \implies \overline A\subset B$ )

$B=E\quad $ ($A\cup B=A\cup E =E \implies \overline A\subset B$ )
n'est ce pas ou bien je dois essayé

Merci d'avance



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Educ.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Voici un diagramme type :

$\bf A$ est le disque rouge limité par le cercle rouge et $\bf B$ est la couronne vert claire limitée par les deux cercles bleus.

Bruno


Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bonjour,

Merci ben si j'ai bien compris le voila :




mais on ne peux pas considérer le diagramme de Venn comme une preuve mathématique n'est ce pas

Merci d'avance

P.S: il ya pas vert que jaune



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Educ.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Bonsoir,

> mais on ne peux pas considérer le diagramme de Venn comme une preuve mathématique n'est ce pas

Bien sûr que si !!!

Cordialement,

Rescassol
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bonsoir,

non je pense pas car :



Reference

Un dessin peut vraiment aider à illustrer l'idée impliquée, mais il ne expliquent pas toujours la connexion à la logique que vous travaillez au sein. Il y a aussi un énorme inconvénient de prouver les choses par diagramme de Venn: vos idées préconçues visuels peuvent vous tromper en faisant une erreur. Cela ne peut se produire (ou arrive à un bien moindre degré) lorsque vous travaillez dans la langue de la théorie des ensembles.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Bonsoir Educ.

Je ne comprends pas pourquoi tu t'obstines à prendre des "patates" concentriques. Il te suffit de prendre une patate pour A, une autre pour B; avec une partie commune et des parties distinctes, puis de traduire ton hypothèse en faisant apparaître E (qui est $A\cup B). On voit alors très bien la conclusion apparaître.

Cordialement.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Citation
Rescassol

Citation
educ
mais on ne peux pas considérer le diagramme de Venn comme une preuve mathématique n'est ce pas

Bien sûr que si !!!

Bien sûr que non!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Bonne nuit,

Exemple ?

Cordialement,

Rescassol
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Bonne nuit,

CC, qu'as tu contre ça ?

Cordilement,

Rescassol
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Je ne pense pas qu'un diagramme de Venn (ou Euler-Venn) soit une démonstration, tout au plus une "monstration" comme dans les mathématiques chinoises anciennes, où l'auteur faisait une figure et disait : "vois !". Le diagramme peut être utile pour trouver, comme une figure en géométrie, mais ne saurait se substituer au raisonnement.

Voir la discussion sur Stackexchange :
[www.stackprinter.com]
qui cite l'article de Ian Stewart dont Educ a donné un extrait, et que j'aimerais bien avoir in extenso

De plus, la confection pratique du diagramme de Venn devient compliquée dès qu'on a plus de trois ensembles. Déjà les patates circulaires ne suffisent plus car pour $n>3$ des cercles en nombre $n$ ne partagent plus le plan en $2^n$ régions.
Il faut des convexes dont les frontières se coupent en plus de deux points, mais quatre points suffisent-ils ? Sinon, il faudrait des patates non convexes, ce qui compliquerait au lieu de simplifier.

Je joins une photo (1969) d'un professeur (que certains reconnaîtront peut-être) qui utilise des patates rectangulaires.
Voir aussi :
[en.wikipedia.org]
pour cinq patates ovales, pas si simple...

J'avais remarqué ceci dans le fil sur l'associativité de la différence symétrique mais je n'avais pas eu le loisir d'intervenir. Une propriété observée sur un diagramme de Venn peut se traduire au moyen d'une table de vérité, ou bien au moyen de fonctions caractéristiques (resp. indicatrices). Ce sont deux façons de prouver la propriété en question.

Bonne journée.
F. Ch.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Chaurien.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - patat_carr.pdf (251.4 KB)
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
@Chaurien : Qui est-ce ? Waru ?

Bruno
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
@Rescassol: je n'ai rien contre, ce n'est juste pas une preuve. Après, tu peux redéfinir le mot "preuve" et lui donner un sens où ton dessin (convaincant?) entrera dedans.

Je rappelle la définition du mot "preuve": c'est une suite finie $<u_0,..,u_n>$ d'énoncés telle que pour tout $i\leq n$ l'énoncé $(u_0\wedge u_1\wedge ..\wedge u_{i-1}) \to u_i$ est un axiome* (on peut appeler aussi ça un "admis", si tu veux étendre la communauté des gens qui échangent des arguments de maths).

Le symbole $\wedge$ veut dire "et". $(H_1\wedge H_2\wedge ..\wedge H_n) \to C$ abrège $H_1\to (H_2\to (H_3\to ...\to (H_n\to C))))...)$***

Remarque: on n'écrit rarement des preuves correctes, parce qu'on abrège ou commet des abus de langage.

* en admettant que si $(\wedge_{i\in J} A_i) \to B$ est un axiome alors $(\wedge_{i\in K} A_i) \to B$ en est un aussi quand $J\subset K$

Exemple d'étapes dans une preuves:

.
.
.
.
$A\to B$
$A$
$B$
.
.
.

via l'axiome $((A\to B)\wedge A)\to B$ lui-même abréviation (selon ***) de $(A\to B)\to (A\to B)$ que tout le monde admet.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par christophe c.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Bonjour,

Je suis bien d'accord pour convenir que ce n'est pas très commode au delà de $3$ sous ensembles, bien qu'il ait été démontré que c'était toujours dessinable avec des patates connexes (mais non convexes) quand il y a $n$ sous ensembles (quel que soit n).
Quant à l'aspect démonstratif de la chose, c'est un symbolisme qui en vaut un autre, à condition de disposer du vocabulaire (ou dictionnaire, ou lexique) convenable.
Par exemple, sur la figure dont j'ai déjà donné le lien (et que je redonne):
$1$ signifie $A\cap B\cap C$.
$2$ signifie $A\cap \overline{B} \cap \overline{C}$
$3$ signifie $A\cap B \cap \overline{C}$
$5$ signifie $A\cap \overline{B} \cap C$
$A=1235$ signifie$A=(A\cap B\cap C)\cup (A\cap \overline{B} \cap \overline{C})\cup (A\cap B \cap \overline{C})\cup (A\cap \overline{B} \cap C)$ et ainsi de suite.

Il n'y aurait pas de preuves dans le livre "Proofs without words" ?

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Rescassol.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
Bravo Bruno !
En 1961, André Warusfel publie son petit livre "Les nombres et leurs mystères", qui exprime son enthousiasme de jeune homme pour les mathématiques, dans la collection Microcosme-Seuil, qui est encore réédité jusqu'à ce jour.
En 1969 il publie dans la même collection "Les mathématiques modernes", qui a moins de succès. En page 2 de ce dernier il y a la photo en question. En couverture, Venn-rectangles à 4 ensembles.
Bonne santé et longue vie à André Warusfel.
Bonne journée.
F. Ch.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - math_mod.pdf (335.7 KB)
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
Bonjour,

Et également, "Structures algébriques finies".
Et il était à mon jury d'oral d'agreg, il y a un certain temps.

Cordialement,

Rescassol


Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
avatar
"Les nombres et leurs mystères". Voilà un bouquin qui m'a poussé vers ma carrière smiling smiley. Je n'ai jamais osé le dire à Waru quand nous étions au jury de Capes.

Bruno
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
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Moi aussi, j'ai lu ce livre quand j'avais seize ans. Je pense qu'il a eu beaucoup d'influence sur des vocations mathématiques.
J'ai rencontré plusieurs fois André Warusfel quand il était professeur. Un jour il m'a dit qu'il tenait beaucoup à ce livre (parmi tout ce qu'il a pu écrire), et qu'il s'était toujours refusé à apporter la moindre modification à ses éditions successives, même si on lui signalait une erreur de détail.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
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Moi aussi j'ai lu et aimé "les nombres et leurs mystères" même si j'ai été conquis par l'aventure des nombres de Gilles Godefroy.

Sinon "un diagramme de Venn est une preuve" : oui s'il constitue un contre-exemple à une propriété fausse!!!

Bien amicalement,

F.D.
Re: $A\cup B =E \implies \overline A\subset B$
il y a cinq années
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Question de dénomination : je préfère parler de diagramme d'Euler-Venn. En effet ces diagrammes apparaissent dans les "Lettres à une princesse d'Allemagne", qui était la princesse d'Anhalt-Dessau, nièce du roi Frédéric II de Prusse. Écrites en français par Euler de 1760 à 1762, publiées à Saint-Pétersbourg en 1768 (3 vol. in-8), ces lettres sont un brillant exemple de vulgarisation scientifique pour lecteurs non spécialisés.
Voir ici :
[www.e-rara.ch]
tome second, à partir de la p. 103 (14 février 1761 et après).
Bonne journée.
F. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Chaurien.
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