Rappel de points célèbres
N'étant pas autorisé en écriture dans les autres rubriques, même math, du forum, il m'arrive cependant de m'y balader. Il a été question récemment de compacité.
Je me rends compte que c'est peu couteux, de mettre les informations "académiques" habituelles en les prouvant dans un fil de cette rubrique (quand elles sont dépendantes d'une manière sensible des axiomes), donc avant de me déconnecter je le fais.
J'essaierai de le faire chaque fois que je croiserai des demandes dans des fils de maths où la littérature n'est pas forcément "immédiatement disponible" et si ça ne me prend pas trpo de temps. Là, en l'occurrence j'attends une réponse sur un autre site internet pour un problème matériel personnel de finance, donc, je m'occupe.
Je vais rappeler les idées générales des preuves des deux théorèmes suivants:
Théorème1: les deux énoncés suivants sont équivalents.
T1) l'axiome du choix
T2) Tout produit d'espaces quasicompacts est quasicompact
Théorème2: sans axiome du choix, le produit de DEUX espaces quasicompact est quascompact
Je rappelle aussi une trivialité: l'image directe par une application continue d'un quasicompact dans un espace topologique quelconque est quasicompacte.
Je ne prouve que deux choses, sans rappeler les définitions (un post ultérieur répondra à tout si quelqu'un demande), dans la suite:
a) que T2 => T1 (la réciproque est ultrapubliée partout)
b) Le théorème2.
a) Soit $i\in J\mapsto E_i$ une famille d'ensembles non vides, tous inclus dans $F$ et $a\notin F$. On dote chaque $F_i:= E_i\cup \{a\}$ de la topologie $T_i$ dont les ouverts sont $F_i; \emptyset; \{a\}$, le produit des $F_i$ étant noté $G$. Pour chaque $i\in J: $ on note $U_i:=\{h\in G \mid h(i) = a\}$. L'ensemble $\{X\mid \mid \exists i\in J: X=U_i\}$ est un recouvrement ouvert sans recouvrement fini de $G$ ou sinon, le produit des $E_i$ n'est pas vide.
b) Soient $E,F$ deux espaces quasicompacts et $P$ leur produit. Soit $R$ un recouvrement ouvert de $P$. Soit $S$ l'ensemble des ouverts $U$ de la topologie mise sur $E$ tels que pour tout $y\in F$, il existe un ouvert $X\in R$ et $V$ ouvert pour $F$ tel que $U\times V\subset X$. Alors $S$ recouvre $E$ par compacité de $F$, donc admet un sous-recouvrement fini par compacité de $E$, donc...
Le fil où il est question de ça est un fil où un intervenant demande de prouver (on est dans le cadre des espaces vectoriels topologiques) que si $K$ est sous-espace compact d'un evt alors la réunion des segments dont les extrémités sont dans $K$ est elle-même compacte. La dimension n'intervient pas.
A noter que de façon générale, l'enveloppe convexe d'un compact est rel-compacte (mais c'est plus facile à voir en dimension finie).
Question: est-ce que l'énoncé $<<$l'enveloppe convexe d'un compact est toujours d'adhérence compacte (dans un EVT complet)$>>$ implique l'axiome du choix?
Je me rends compte que c'est peu couteux, de mettre les informations "académiques" habituelles en les prouvant dans un fil de cette rubrique (quand elles sont dépendantes d'une manière sensible des axiomes), donc avant de me déconnecter je le fais.
J'essaierai de le faire chaque fois que je croiserai des demandes dans des fils de maths où la littérature n'est pas forcément "immédiatement disponible" et si ça ne me prend pas trpo de temps. Là, en l'occurrence j'attends une réponse sur un autre site internet pour un problème matériel personnel de finance, donc, je m'occupe.
Je vais rappeler les idées générales des preuves des deux théorèmes suivants:
Théorème1: les deux énoncés suivants sont équivalents.
T1) l'axiome du choix
T2) Tout produit d'espaces quasicompacts est quasicompact
Théorème2: sans axiome du choix, le produit de DEUX espaces quasicompact est quascompact
Je rappelle aussi une trivialité: l'image directe par une application continue d'un quasicompact dans un espace topologique quelconque est quasicompacte.
Je ne prouve que deux choses, sans rappeler les définitions (un post ultérieur répondra à tout si quelqu'un demande), dans la suite:
a) que T2 => T1 (la réciproque est ultrapubliée partout)
b) Le théorème2.
a) Soit $i\in J\mapsto E_i$ une famille d'ensembles non vides, tous inclus dans $F$ et $a\notin F$. On dote chaque $F_i:= E_i\cup \{a\}$ de la topologie $T_i$ dont les ouverts sont $F_i; \emptyset; \{a\}$, le produit des $F_i$ étant noté $G$. Pour chaque $i\in J: $ on note $U_i:=\{h\in G \mid h(i) = a\}$. L'ensemble $\{X\mid \mid \exists i\in J: X=U_i\}$ est un recouvrement ouvert sans recouvrement fini de $G$ ou sinon, le produit des $E_i$ n'est pas vide.
b) Soient $E,F$ deux espaces quasicompacts et $P$ leur produit. Soit $R$ un recouvrement ouvert de $P$. Soit $S$ l'ensemble des ouverts $U$ de la topologie mise sur $E$ tels que pour tout $y\in F$, il existe un ouvert $X\in R$ et $V$ ouvert pour $F$ tel que $U\times V\subset X$. Alors $S$ recouvre $E$ par compacité de $F$, donc admet un sous-recouvrement fini par compacité de $E$, donc...
Le fil où il est question de ça est un fil où un intervenant demande de prouver (on est dans le cadre des espaces vectoriels topologiques) que si $K$ est sous-espace compact d'un evt alors la réunion des segments dont les extrémités sont dans $K$ est elle-même compacte. La dimension n'intervient pas.
A noter que de façon générale, l'enveloppe convexe d'un compact est rel-compacte (mais c'est plus facile à voir en dimension finie).
Question: est-ce que l'énoncé $<<$l'enveloppe convexe d'un compact est toujours d'adhérence compacte (dans un EVT complet)$>>$ implique l'axiome du choix?
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Cette discussion a été fermée.
Réponses
c'est quoi ta/tes définition(s) :
1. d'espace ?
2. d'espace quasicompact ?
(compact pour moi c'est une abréviation de fermé et borné).
?
Espace: synonyme d’ensemble quand ce dernier a des propriétés pas loin de l’espace géométrique je pense, c’est plutôt un mot consacré pour faire un peu « bien » :-D (c’est un peu stylé comme jargon faut être honnête) et pour abréger dans le contexte le mot espace topologique ou parfois espace uniforme ou parfois encore espace métrique ou espace vectoriel etc. Un ensemble « où il se passe des choses de nature géométrique ou potentiellement géométrique » de ce que je comprends de l’utilisation de ce mot c’est assez flou mais après c’est que mon avis perso peut-être qu’il y a réellement une def officielle.
Espace quasi compact: en fait ferme borne <=> compact c’est (au moins ?) pour les evn de dim finie mais en vrai compact c’est un espace topologique séparé (au sens T2) tel que pour tout ensemble d’ouverts tel que l’union est égale à l’espace entier il existe un sous-ensemble de ce dernier de cardinal fini tel que l’union est égale à l’espace entier (qu’on résume par de tout recouvrement quelconque d’ouverts il existe un sous-recouvrement fini).
Quasi-compact c’est compact sans être T2 (juste l’histoire des recouvrements)
Espace vectoriel, espace métrique...
Édit: arf j’y aurais jamais pensé à rajouter un a extérieur pour le 2=>1 ... je cherchais bêtement avec les Ei à disposition et la topo grossière en tournant en rond comme un cretin .....
La question, cela dit, ne se pose jamais en analyse ou dans les matières "traditionnelles" des maths, car les espaces sont toujours séparés.
Pour répondre à la question de samok concernant la définition : Un sous-ensemble $K \subset V$ d'un espace topologique $V$ est dit (quasi)-compact si chaque fois qu'on a une famille $U_i$ d'ouverts indicée sur un ensemble $I$ quelconque telle que $$K \subset \cup_{i\in I} U_i$$ alors on peut trouver un nombre fini de $U_i$ (disons $U_{i_1},... U_{i_n}$) tels que $$K \subset U_{i_1} \cup ... \cup U_{i_n}.$$ On abrège ça en une phrase "un ensemble est compact si de tout recouvrement ouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini."
Dans $\R^n$, avec la topologie usuelle, un ensemble est compact (au sens de la définition ci-dissus) SI ET SEULEMENT SI il est borné et fermé. Ce théorème est le théorème d'Heine-Borel si ma mémoire ne me joue pas des tours.
En dimension finie il s'agit d'un résultat très géométrique au fond, exploitant pleinement la dimension de l'espace ambiant.
Je rappelle l'ingrédient clé:
Soit $E$ un espace affine sur le corps des réels.
Soit $A\subseteq E$ et $x$ dans l'enveloppe convexe de $A$. Soit $B\subseteq A$ une partie finie telle que $x$ est dans l'enveloppe convexe de $B$ et $B$ est de cardinal minimal. Alors $B$ est affinement libre (i.e. il existe $u \in B$ tel que $B_u:=(\vec {uy})_{y \in B \backslash \{u\}}$ est vectoriellement libre dans $\vec E$. Noter que cela entraîne que quel que soit $v\in B$, $B_v=(\vec {vy})_{y \in B \backslash \{v\}}$ est également libre-exo facile).
Preuve par l'absurde: soit $B=\{b_1,...b_n\}$ minimal tel qu'il existe $\tau_1,...,\tau_n\geq 0$ tels que $\tau_1+... + \tau_n=1$ et $x=\sum_{i=1}^n \tau_i b_i$ (en coordonnées barycentriques i.e. pour tout $z \in E$, $\vec{zx}= \sum_{i=1}^n \tau_i \vec{zb_i}$).
S'il existe $\alpha_1,...,\alpha_{n-1}$ réels non tous nuls tels que $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \vec{b_n b_i}=\vec{0}$,on va pouvoir "ajuster" les masses de la relation barycentrique comme suit: on peut supposer sans perte de généralite (remplacer les coefficients par leurs opposés), que $\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \leq 0$ $(*)$. Comme on a $\sum_{i=1}^{n-1} \tau_i \vec{b_nb_i}=\vec{b_nx}$, on a aussi pour tous $s \in \R$, $$\vec{b_n x}=\sum_{i=1}^{n-1}(s\alpha_i+\tau_i) \vec{b_n b_i}=\sum_{i=1}^{n-1}(s\alpha_i+\tau_i) \vec{b_n b_i} + \left [-s \left (\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \right ) \right]\vec{b_n b_n} \tag{**}$$.
Posons pour tout $s \in \R$, $\gamma_{i,s}:=\tau_i+s\alpha_i$ si $i\leq n-1$ et $\gamma_{n,s}:=-s\left (\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i \right )$. L'application $\theta (s)\in \R_+ \mapsto \min\{\gamma_{i,s}\mid 1 \leq s \leq n\}$ est continue et $\theta(0)\geq 0$. L'hypothèse $(*)$ entraîne que l'un au moins des $\alpha_i$ est négatif, par suite $\theta(s) < 0$ pour $s$ assez grand. On en déduit immédiatement via le théorème des valeurs intermédiaires, l'existence de $s'\in \R_+$ tel que $\theta(s')=0$ et donc de $k \in \{1,...,n\}$ tel que $\gamma_{k,s'}=0$ et $\gamma_{i,s'}\geq 0$ pour tout $i\neq k$, autrement dit, puisque $(**)$ entraîne que $x=\sum_{i=1}^n \gamma_{i,s} b_i$ pour tout $s\in \>R$:
$$x=\sum_{i \in \{1,...,n\} \backslash \{k\}} \gamma_{i,s'} b_i \tag{***}$$ avec $\sum_{i \in \{1,...,n\} \backslash \{k\}} \gamma_{i,s'}=1$, ces termes étant positifs. Cela contredit la minimalité de $n$, d'où le résultat.
Puisque dans $\R^n$ vu comme espace affine, une famille affinement libre possède toujours au plus $n+1$ éléments, on a immédiatement le lemme de Carathéodory(****):
Pour toute partie $A\subseteq \R ^n$ et tout $x$ dans l'enveloppe convexe de $A$, il existe $y_1,...,y_{n+1} \in A$ et $t_1,...,t_{n+1} \in \R_+$ tels que $\sum_{i=1}^{n+1} t_i=1$ et $x=\sum_{i=1}^{n+1}t_i y_i$.
Si $A$ est en plus compact, $conv(A)$ va l'être aussi pour des raisons désormais évidentes.
[size=x-small](****) pour les gens qui font de l'analyse fonctionnelle: le lemme de Carathéodory et le résultat plus haut qui a permis de le montrer sont les analogues dans le cadre affine du lemme de Farkas pour les formes linéaires, qui se prouve quasiment de la même façon[/size].
Soit $A$ une partie de $E$ et $S(A)$ la réunion des segments dont les extrémités sont éléments de $A$. En faisant quelques figures dans le plan, on observe que souvent $S(A) $ est l'enveloppe convexe de $A$.
Si $A$ est connexe par arcs, je n'ai pas trouvé de contre-exemple. Et même si $A$ est la réunion de deux cercles disjoints, ou même de deux « haricots » disjoints, mais pas forcément de trois, selon une remarque de GaBuZoMeu.
Quelqu'un a-t-il quelque chose à ce sujet ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
En dimension $d>3$, si on prend une courbe continue paramétrée par $|0,1]$ non contenue dans un hyperplan, son enveloppe convexe sera de dimension $d$ mais la réunion des segments à extrémités sur la courbe sera de dimension au plus $3$.
-en dimension 2, toute droite coupant un segment joignant deux points d'une courbe coupe aussi cette courbe, ce qui devrait permettre de bricoler une preuve pour le cas des connexes par arcs,
-en général ta construction marche pour l'union de deux convexes,
-les deux points ci-dessus permettent de montrer que ça marche pour l'union de deux connexes par arcs dans le plan.
En utilisant le lemme de Caratheodory rappelé par Foys (et bien connu des agrégatifs), on peut répondre à la question : dans un espace affine réel de dimension $n$, quel est le nombre minimum d'itérations de $S$ qui suffit pour construire l'enveloppe convexe de tout compact ?
C'est juste un résultat connu qui figure en exercice dans plein de circonstances, même si je crois qu'initialement, il y a un nom attaché à lui.
Ca se prouve en utilisant la complétude (supposée, j'avais oublié de le mettre) de l'espace ambiant, je pense, et en établissant seulement la précompacité de l'enveloppe convexe. Il me semble que c'est plutôt routinier, mais je te réponds sans y avoir réfléchi.
Il est évident que la complétude (ou quelque chose de ce genre) est indispensable (penser à l'espace des suites de nombres réels de support fini (doté de la norme $\infty$) et aux suites $u(p):= [n\mapsto$ if $n\neq p$ then $0$ else $1/p]$ qui forment un compact dont l'enveloppe convexe n'est à l'évidence pas relativement compacte).
Rappel: soit $E$ espace métrique complet. Soit $A$ une partie de $E$. Alors $A$ est fermé et précompact SSI $A$ est compact.
1/ un espace topologique est quasicompact SSI tout ses ultrafiltres ont au moins une limite
2/ un espace topologique est séparé SSI tout ses ultrafiltres ont au plus une limite
3/ un espace compact est un espace à la fois séparé et quasicompact
4/ un espace uniforme est de précompact ssi tous ses ultrafiltres ont un "diamètre nul", ie pour tout ouvert U, il existe un "translaté" de U qui est élément de l'ultrafiltre
5/ un espace uniforme est complet ssi tous ses ultrafiltres de diamètre nul ont au moins une limite
6/ Conséquence évidente: précompact et complet => quasicompact.
Ceux qui veulent progresser et pourqui ces énoncés ne sont pas évidents devraient en priorité les faire puisque tout en découle ensuite facilement hors topologie algébrique (et analyse sans axiome du choix).
Dans le cas des EVT séparés j'ai vaguement l'impression que sans l'hypothèse
il doit être très difficile de prouver que l'enveloppe convexe de tout ensemble compact est d'adhérence compacte. Je n'en sais rien.
Par contre, le fait d'utiliser Caratheodory en dimension finie me parait plus pédagogique que pertinent car la dimension finie n'y est pas pour grand chose. En gros, on peut retenir le slogan suivant, pour les evt "localement convexe", ie qui ont des voisinages de 0 "au moins un peu ronds":
Slogan: dans tout evt séparé, tout ultrafiltre qui contient comme élément un compact est "de Cauchy" (évidemment, il ne converge pas forcément, sauf si l'espace ambiant est complet).
dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1618290,1618364#msg-1618364
les participants ressentent que la "récurrence" est "inévitable" disent-ils. Encore faut-il le prouver: je rappelle que la preuve de ce point de type "reverse" est bien plus triviale que les preuves d'autres équivalence, mais les gens ne sont tout simplement pas habitués.
Le programme de PREMIERE ES (pour STMG, c'est à vérifier) affirme officiellement, sans le dire, l'axiome de récurrence, en donnant comme admis l'énoncé suivant: <<toute suite arithmétique de raison nulle est constante>>, qui implique l'axiome de récurrence (dont je rappelle qu'il dit que toute partie de IN qui n'est pas vide a un minimum)
Je rappelle quelques exos que j'ai signalés cet été:
Exercices utiles peut-être pour certains matheux: prouver que le programme de 1ES entraine:
1/ l'axiome de récurrence (voir ci-dessus)
2/ que toute partie majorée de IR admet une borne sup
3/ que IR est complet
4/ Le théorème de Rolle
5/ le TVI
6/ que toute continue sur un intervalle fermé et borné de IR atteint ses bornes
Par programme de 1ES j'entends l'énoncé A et B où :
A:= la DISJONCTION (je dis bien "ou") d'un des énoncés qui donne le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique ou bien l'énoncé affirmé au premier post (avec les quantificateurs bien mis) du fil en lien.
B:= la DISJONCTION (je dis bien "ou") d'un des énoncés qui relie signe de la dérivée et variation.
Exercice subsidiaire (pour les gens patients, c'est moins évident): prouver que B=>A.
(Remarque: on sait qu'il n'est pas prouvable que A=>B).
Au premier post il y a un pdf où j'avais tapé un "discours". Et je pense que dans le cours du fil, il doit y avoir un lien vers le fil précédent évoqué qui a conduit à l'ouvrir.
Un point qui n'a pas été abordé et qui a son importance, au moins d'un point de vue logique, est la rivalité:
En effet, le débat fait chauffer une discussion qui admet tacitement la géométrie synthétique pour paradigme alors que personne au lycée ne s'amuse aujourd'hui à faire bouger des vecteurs (ou à les fonder) en n'utilisant pas le fait que le plan est mis en isomorphisme avec $\R^2$.
L'absence de démonstrations dans le secondaire interdit de s'amuser à prouver le théorème de Désargues***** (qui est d'ailleurs un peu plus général que ce qui est nécessaire) pour obtenir déductivement ce qui est ensuite utilisé.
Comme je l'ai dit 11261 fois sur le forum,
1/ $\overrightarrow{AB}$ est une abréviation de $\{(X,Y) \in Plan^2\mid ABYX$ est un parallélogramme$ \}$
1bis/ $<<u$ est un vecteur$>>$ abrège $<<$ il existe $A,B$ tels que $u=\overrightarrow{AB}$
2/ $u+v$ est (quand la personne qui lit considère que $u,v$ sont des vecteurs) une abréviation de $\{(X,Y) \in Plan^2\mid \exists Z\in Plan : (X,Z)\in u$ et $(Z,Y)\in v\}$
3/ $au$ (quand la personne qui lit considère que $a\in \R$ et $u$ est un vecteur) est une abréviation de etc
4/ Et évidemment, la translation de vecteur u est la même chose que le vecteur u (à noter que le pédagogisme n'a pas volontairement caché ça, il ne le ... savait pas (si si))
Cette approche fait que l'exposant "devrait prouver" (dans un monde bien fait) pas mal de trucs (en fait pas tant que ça, mais peu importe), comme la stabilité de l'ensemble des vecteurs par $+$ et $u\mapsto au$, ainsi que les propriétés de $+$ et $.$, en remarquant que $+$ n'étant rien d'autre que $\circ$, l'associativité est donnée, etc.
Je pense que personne ne fait comme ça dans "le monde pédagogo" actuel (bien que ça ne pose pas de soucis, des abréviations sont des abréviations et des preuves n'ont d'intérêt in fine, qu'écrites et données généreusement à des collectionneurs qui peuvent y revenir quand bon leur semble)
Les gens disent plutôt qu'un vecteur est caractérisé par un couple de nombres***, une fois qu'on muni le plan d'un repère et blablabla. Comme geogebra rend tout ça "vivant" et dynamique (et segpa-accessible)...
Et, "sans le dire", la plupart des enseignants présentent ... $(\R^2,+,ProduitExterne)$. Enfin me semble-t-il d'expérience.
A noter qu'en 1S, les gens sont souvent plus maladroits. Au lieu de faire les choses correctement **** de manière repérée**, ils s'enlisent de manière ubuesque dans des considérations imbitables pour présenter le produit scalaire. Mais je pense que c'est dû aux manuels qui font les choses n'importe comment.
*** Le vecteur caractérisé par $(a,b)$, c'est juste $(x,y)\mapsto (x+a,y+b)$.
** Attention, je ne suis pas opposé à la géométrie synthétique, loin de moi cette idée. Mais il peut y avoir certaines hiérarchies:
si on peut --> synthétique, sinon
si on peut repérée, sinon -->
par défaut --> admission des choses
Par ailleurs on peut "in some sense" considérer la géométrie repérée comme ... synthétique. Il suffit de prouver une fois pour toute les fondements des repères (et faire ça, ce n'est jamais par exemple que prouver qu'une droite dans un plan peut être munie d'une structure de corps à l'aide des axiomes d'incidence, après tout, c'est séduisant (je ne parle pas d'école) et je ne pense pas que les synthéticiens détestent cette découverte agréable)
**** En définissant $PS(R,(x,y),(u,v)) := xu+yv$ et en remarquant 14mn plus tard que cetet définition est telle que le ps ne dépend pas de R ( que deux repères ont le même ps quand ils ont la même vision des distances), à cause du fait que $2uv = (u+v)(u+v) - uu-vv$ (ou $4uv = (u+v)^2-(u-v)^2$ si on a droit qu'à deux longueurs) et Pythagore qui dit que uu est le carré de la longueur des flèches de u.
***** qui est une évidence psychologique dès lors qu'on se force à voir les triangles comme non coplanaires.
La définition de fonction n'existant pas (à des élèves), non un Vecteur n'est pas une translation.
Un vecteur est un ensemble et une translation n'est pas un ensemble au lycée.
Une fonction n'est pas un ensemble dans le secondaire.
Aussi, même en PRO, ne peut-on pas définir une fonction de plusieurs manières ?
Un fil a été consacré à cela (plusieurs même...).
Et si, ça ne pose aucun problème de donner la définition de fonction de le secondaire. Ca a plusieurs avantages:
1/ Ca évite les idioties circulaires du genre "une fonction est une ... fonction"
2/ Ca préserve les gamins contre la suite (s'ils croisent un pédago qui ne sait pas lui-même ce qu'est une fonction et qui fait des moulinets de bras)
3/ La "tendance" depuis quelques années est... le lecture graphique. Je passe mon temps à marteler qu'une fonction est sa courbe aux gamins (ce qui est "légèrement fautif", puisque la courbe n'est pas la partie de $\R^2$ abstraite) mais qui est très salvateur comme opposition à la terrible faute consistant à confondre $f$ et $f(x)$, dont je vois encore récemment (pourtant de la part d'élèves qui ont attrapé le virus et m'écrivent tout le temps car effectuent un travail perso) les ravages (ils ne s'en sortent pas justement à cause du $<<x>>$.
Je te cite un extrait que j'ai eu à traiter pas plus tard qu'il y a ... une heure:
Je ne sais pas de quel fil tu parles, je ne vais plus beaucoup sur le forum et quand j'y vais c'est en LetF. Mais de ma part transmets à ceux qui ont prétendu connaitre des définitions alternatives qu'ils devraient candidater pour le prix Nobel, car ils ont résolu un problème vieux de plusieurs millénaires :-D (sans la notion première d'ensemble).
Les notions de fonctions et d'ensembles sont équi-définissables*** ou plus précisément de même niveau de premièrité :-D (un ensemble est une fonction (définie sur tout l'univers, c'est ça l'avantage) à valeurs dans $ValeursDePhrases$) et une fonction (la définition officielle est mauvaise) devrait être vue non pas comme un truc qu'on définit à partir des ensembles, mais comme un banal ensemble: c'est juste l'expression <<image de a par b>> qui serait à changer (ne pas prendre "unique éventuel $x$ tel que $(a,x)\in b$, qui a l'inconvénient d'être ambigu mais $\{x\mid (a,x)\in b\}$ )
*** mais, et ce n'est pas moi qui l'ai décidé, ce sont les graphes "qu'on visionne" (c'est à dire des ensemble). La définition (pas retenu par l'histoire des sciences) ci-dessus est plus conforme à l'attendu (et pas de problème d'ensemble de définition).
Que dire de cette définition (sans relancer un débat dessus, ce n'est pas l'objet de ce fil...enfin...ce fil n'a pas d'objet si j'ai bien compris). Aussi, épargnons-nous le dilemme « application ou définition », par pitié :-?
Définition :
Soient $E$ et $F$ deux ensembles tels que quel que soit $x\in E$ on note $f(x)$ un élément de $F$.
On dit que $f$ est une fonction de $E$ dans $F$, lorsque : quel que soit $x\in E$ il existe un unique $y\in F$ tel que $y=f(x)$.
Ne riez pas, c'est juste pour me rappeler des arguments clés des détracteurs.
- le langage courant induit le langage formel.
Or le système langage courant est verolé donc le langage formel hérite de cette faiblesse.
S
En fait ce que les pros ou pedagos ou etc ont du mal à comprendre c'est que ce qu'ils maitrisent avec l'habitude et l'entraînement n'existe pas chez leurs interlocuteurs béotiens. Ils ont du mal à se mettre à la place de l'autre TECHNIQUEMENT (et croient que l'essentiel est de comprendre sa souffrance). Alors que c'est l'opposé qui est vrai: soulager l'autre est le trahir. Lui donner une définition qu'il ne comprend pas (enfin qu'il prétend ne pas comprendre vu que comprendre ne veit rien dire) mais qui est correcte (île non circulaire ni ambiguë) c'est ça qui est réglo ET EFFICACE: si la personne prétend ne pas capter AU MOINS elle a un truc à faire. Et si elle comprend tant mieux.
Mais declencher un "je suis d'accord" pavlovien en proposant une tautologie (une fonction est une fonction) est terriblement trahissant. L'interlocuteur faible se fera avoir car il confondra son accord avec une info.
Quoiqu'elle vaille toute bonne définition d'un mot comme "fonction" doit provoquer dans un premier temps le rejet et l'incompréhension. C'est le signe qu'elle ne roule personne et transmet une info non vide.
Pour le reste, tu fais du @cc, puisque c'est toi :-)
Tu supposes déjà définie la notion "associer à tout $x$ un $f(x)$" pour définir la notion de fonction ?
Je ne comprends pas trop pourquoi tu te donnes la peine de définir les fonctions dans ce cas-là !
Je trouverais mieux de "parler" de ce que "fait" une fonction, de comment elles peuvent être introduites et décrites, et des exemples de trucs auxquels faire attention (une et une seule image par antécédent, notamment).
Après, appeler ça une "définition", reconnais que c'est abusif.
C'est bancal je ne le nie pas.
C'est le point de vue "ça ne veut rien dire" qui, en fait, est une phrase tellement fourre tout que je ne m'en satisfais pas.
Mais oui, justement, le fait pour chaque $x$ de $E$ de noter $f(x)$ un élément de $F$ est tricher mais de là à dire que "ça ne veut rien dire", je trouve cela trop facile, voire malhonnête dans certains cas (pas ici, je n'irai(s) pas jusque là).
1°) Cette définition est la plus courte de toutes.
2°) Elle est parfaitement précise (au contraire d'autres qui introduisent des concepts annexes imprécis, voire bancals: si
on commence à parler de "procédés"- ce qui ne veut rien dire on finit par se poser des questions comme "si $(u_n)_{n \in \N}$ est la liste de tous les procédés de $\N$ dans $\N$ et si $v(n)=0$ lorsque $u_n(n)$ est défini et vaut $1$ et $1$ dans tous les autres cas, $n \mapsto v(n)$ est-il un procédé?". Pour un autre exemple issu de la physique. Soit $d$ un entier assez grand, $L:\R^d \times \R^d \times \R$ une célèbre fonction $C^2$ convexe en son deuxième jeu de variables. Soit une application différentiable $f:\R \to \R^d$ telle que $\frac{\partial L}{\partial x} \left(f(t),f'(t),t\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial y} \left(f(t),f'(t),t\right)\right)$ pour tout $t$.
$f$ est-elle un procédé? Noter qu'en général les solutions d'équations différentielles ordinaires ne sont pas exprimables à l'aide des fonctions usuelles).
3°) Quand $p$ et $q$ sont des entiers, $E=\{1,...,q\}$ et $F=\{1,...,p\}$ sont des ensembles finis, le nombre de fonctions de $E$ dans $F$ est avec cette définition,exactement égal à $p^q$ (ce qui explique pourquoi les gens ont choisi de noter $A^B$ l'ensemble des applications de $B$ dans $A$).
4°) Les applications de $\R$ dans $\R$ définies par $x\mapsto 3x^2+6x+3$ et $x \mapsto 3(x+1)^2$ sont-elles égales(*)?
Quid des applications $t\mapsto \exp(t^3)$ et $s\mapsto \exp(s^3)$?
Au lycée les gens ne font pas d'alpha-équivalence (serait-ce seulement possible, je n'y crois pas trop à vrai dire ) ce qui veut dire que la définition par "procédés" va être nécessairement incomplète, à charge de l'élève de comprendre l'agitation de mains qui la remplace. Les "mais monsieur onkomprenrien" et autres "mais qui est $x$" ne sont vraiment pas dûs au hasard.
Bref, autant éviter de rajouter de la graisse à prétention ontologique.
[size=x-small](*) Certains logiciens pensent que non. Mais il s'agit de problématiques plus avancées, issues notamment de l'informatique. Effectivement, les programmes informatiques correspondants ne sont pas les mêmes. Effectivement l'égalité extensionnelle de fonctions n'est plus valide dans ce paradigme (l'énoncé qui dit que deux applications $f,g$ de $A$ dans $B$ sont égales ssi $f(x)=g(x)$ pour tout $x\in A$)-le théorème de Rice l'empêche. Mais par exemple si on refuse l'égalité extensionnelle des fonctions, un résultat aussi fondamental que le théorème de Cauchy Lipschitz devient faux (pour sa partie unicité-le caprice de définir les fonctions par des procédés finit d'achever le volet existence). [/size]
Dans le contexte de l'autre discussion il s'agit du secondaire.
Les approches sont intuitives : l'âge de quelqu'un, la masse d'un objet etc.
Puis, "le résultat donné de ce programme de calculs lorsque $x$ est le nombre choisi", etc.
Tout cela n'est vraiment pas important, à mon sens.
Tout le monde a vécu avec un mot "fonction" qui n'a jamais été défini sans aucun problème.
On peut exiger d'écrire cette définition dans un cahier de cours, bien sûr.
Une interrogation, si quelqu'un le sait : que donnait-on comme définition à l'époque dite des "maths modernes" ?
Je le répète : cette définition (la vraie) me va bien.
Un bémol (juste pour la discussion, pour pointer les réticences des plus adeptes du "formel"):
Par abus de langage, "tout le monde" préfère dire "fonction" à la place de "graphe de fonction".
Est-ce étrange ? N'y a-t-il pas de question à se poser ?
Le graphe de la fonction $f$ est-il la fonction $f$ ? Est-on d'accord que la réponse est NON ?
Un vecteur n'est alors pas une translation, mais son graphe, si l'on veut du formel...
Pour revenir à la discussion.
Si une fonction n'est pas par nature son graphe, qu'est-ce alors qu'une fonction?
Je me trompe ?
Je pensais que la fonction était le triplet (E, F, G) et que G était le graphe.
Heu...:-S J'ai dit une co____rie ?
Enfin, tu parles d'identifier deux choses, ça ne sentirait pas l'entourloupe tout ça ?
(pardon, ce n'est pas agressif, je suis fatigué et ne trouve plus mes mots 8-)).
Peux-tu donner la définition que tu préconises ?
Oui c'est
Je comprends mieux tes propos alors.
dom, tu es pris en flagrant délit de ne pas lire les multiples répétitions (au moins 50 fos je dirais) du forum où j'ai systématiquement et exhaustivement redonné toutes les définitions, y compris les deux versions (celle de Bourbaki et celle ensembliste).
Tu as deux versions, différentes et non équivalentes, mais pas 3, quant à la différence des deux elles est sans intérêt.
La définition officielle est celle donnée par foys. La définition Bourbakiste est <<a est une fonction>> abrège <<il existe un triplet (E,F,G) tel que G est une fonction au sens officiel et dom(G) inclus dans E et Im(G) inclus dans F>>
Dans les deux cas, de toute façon, on est dans une nuance qui n'a rien à voir "avec les jeunes" (l'une n'est pas meilleure que l'autre pour eux, elles sont de même nature). Par ailleurs, je pense que quand on dispose d'une définition formelle, IL FAUT la diffuser (ça compense les fois où on ne peut vraiment pas, par exemple la distance en école primaire, ou l'addition des réels)
Encore une fois, à te** lire ou à lire certains fils, il y a quand-même une vague impression qui se dégage qu'à mon sens il faut démentir, même si elle est dévalorisante pour certaines personnes: en te** lisant on pourrait se laisser aller à penser que les gens qui expriment parfois leur désaccord face à cette définition la connaissent et expriment une opinion "respectable". Il n'en est en fait bien sûr rien!!! Ce sont tout bêtement des personnes (souvent un peu agée, au moins 25 ou 30ans), qui ont réussi à décrocher des diplômes avec des stratégies un peu bachotées, et qui ont juste du mal à découvrir assez tard dans leur vie qu'ils n'ont pas été capables de donner une bête et méchante définition, donner en les deux sens: deviner et transmettre. C'est tout. Alors ils s'essaient à faire dans la contestation opinionnelle pour relativiser, essaient de répandre la vague idée que "définir le mot fonction serait dur", etc, afin de transformer une pure et simple ignorance qu'ils refusent d'avouer en "débat philosophique".
Ce que j'écris est peut-être un peu dur, mais je pense qu'il y a des fois, éviter la politesse est nécessaire. Parce que transformer une bête erreur de maths en question d'opinion est préjudiciable pour beaucoup de personnes.
Ca n'enlève pas qu'il peut exister une très petite minorité érudite qui connait la définition du mot fonction et qui "la refuse", je ne prétends pas qu'elle est réduite à 0 personne, mais il faut être très prudent, elle est vraiment très très petite (je veux dire qui refuse les deux la bourba et l'officielle).
Encore une fois, je conseille à tous les gens, même professionnels, de s'exprimer avec simplicité, par exemple: << msieurs-dames, ne riez pas, je ne connais pas la définition du mot "fonction", pourriez-vous me la donner>>. Tout le monde y gagnera, mais surtout les "jeunes" qui visitent le forum. il n'y a pas de raison de maintenir cetet situation complètement loufoque où des pros continuent de faire des moulinets de bras impuissants.
Ou alors, :-S s'il y a une raison positive, je ne l'ai jamais vu se manifester. Et même pire, j'ai parfois vu des gens répandre une des pires fautes de maths (confusion entre nom et valeur) à cette occasion de discuter le mot "fonction" inconnu du "président de débat", puisque c'est souvent à cette occasion que j'ai vu des personnes confondre les choses les plus violemment opposée en sciences: procédé de calcul et fonction.
** ou à lire certains fils
Te lire m'est trop difficile : tu es celui qui fait le plus de prose et le comble est que tu le fais en réclamant du formel à tout va.
Ainsi je ne te comprends pas toujours. La prose est très liée à de la propagande, non allez, à de l'idéologie, mais pas seulement.
Passons.
Heu...revenons à nos moutons.
Pour moi la fonction est le triplet. C'est mal ? Ce n'est pas officiel ?
Je pense que ce que les gens veulent dire c'est que $\Gamma$, le graphe, peut être vu comme une relation $\mathcal{R}$ entre les ensemble $X$ et $Y$. C'est à cette relation de vérifier certaines propriétés ("relation fonctionnelle" entre $X$ et $Y$).
Sous cette définition, il est redondant de préciser $X$ et $Y$, car la relation $\mathcal{R}$ contient
déjà cette information.
Les deux définitions, par le triplet ou par la relation, sont bien entendu exactement équivalentes.
La définition d'une fonction par son graphe vide de sens la notion de surjection (étonnant, non ?) et en analyse fonctionnelle elle ne permet pas de définir un opérateur comme une fonction (parce que pour un opérateur, l'espace de départ est crucial).
Si $E,F$ sont des espaces vectoriels réels, on dit qu'une fonction est un opérateur si $f$ est contenue dans $E\times F$, si l'ensemble des $x$ tels qu'il existe $y\in F$ tel que $(x,y)\in f$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et si la restriction de $f$ à cet espace est une application linéaire (plus bien sûr certaines conditions reliant $f$ à des structures topologiques ou métriques additionnelles mises sur $E$ et $F$).
******
Math Coss, je te mets au défi de trouver un seul énoncé mathématique qui ne contient pas d'occurence des mots "fonction", "application", "opérateur", etc, est qui prouvable avec l'une des deux définitions de fonction proposées ci-dessus (RDO avec triplets ou bien la mienne) et qui n'est pas prouvable avec l'autre.
L'inconvénient soulevé par toi mathcoss est une affaire anecdotique de grammaire. On ne définit pas surjection mais "surjective de .. dans.." (et heureusement parce que sinon il faudrait mettre 0 aux 3/4 des traités qui se noient avec emptyset). D'un PC je mettrai un lien vers un post où j'avais déjà listé tout ça.
L'un des lui bien réel inconvénients de la boubakiste est aussi de parler "d'inclusion" etc à la place de parties de = induisant ainsi une très forte lourdeur catégorique à la place de trivialités.
Autre danger: le sens donné à f(x) quand x n'est pas dans dom(f). L'expérience m'a montre qu'il y a un lien entre l'enlisement , même de grands pros , et l'adhésion à la journaliste, car utilisation d'un "mensonge illusoire" qui voudrait ne pas donner de sens à cette expression (alors qu'on DOIT ABSOLUMENT ALLER vers un monde scientifique où TOUTE SUITE DE CARACTERES doit avoir une valeur mathématique honnête (fuite ou bottage en touche ---> danger, lourdeurs)
Comme je vois d'ici dom répondre que je vie s la d'énoncer une idéologie j'y réponds d'avance: peut être mais très terre à terre: le vendeur de logiciel OBEIT DEJA à cette exigence!!! Il n'est pas concevable pour lui de menacer ses clients ts en disant "attentif n n'appuyez pas sur cette combinaison de boutons"
De mon téléphone.
Ce que tu reproches à la définition, c'est qu'elle impose que l'espace de départ soit l'espace de définition ?
Tu veux dire que certaines fonctions pourraient très bien avoir des "valeurs interdites", c'est ça ?
Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "vide de sens la notion de surjection" non plus...
Il me semble que la définition que je donne est la définition courante. https://fr.wikipedia.org/wiki/Application_(mathématiques)#Définition
Après, chacun a le droit d'utiliser ses conventions perso, mais c'est alors au minoritaire de reconnaître le "fait conventionnel".
Quant aux opérateurs en analyse fonctionnelle, à mon avis, ce ne sont pas des fonctions, en effet (mais je n'y vois pas un drame, puisque rares sont les élèves de seconde à s'y intéresser)
Le problème c'est plutôt qu'en logique, un symbole de fonction est "défini" sur la totalité d'une sorte. (si $f$ est de sorte $A\to B$ et $x$ de sorte $A$ alors $f(x)$ est de sorte $B$ et si on est au premier ordre-ie s'il existe un type unique- alors un symbole de fonction est défini partout.) Mais ça ne veut pas dire qu'on attribue audit objet une valeur honnête non plus. Ca veut juste dire que $\frac{1}{0}$ est un terme du langage.
Si $\phi:\N^2 \to \N$ est une "machine de Turing universelle" bah on ne sait même pas qui est $\phi(p,q)$ en toute généralité même s'il existe syntaxiquement (on n'est parfois incapable de lui donner une valeur).
Si une application n'est rien d'autre que son graphe, comment fait-on la différence entre l'injection canonique \(i\) de \(B\) dans \(A\) et l'application \(\mathrm{i}d_B\), élément neutre du groupe \(\mathfrak{S}(B)\) ?
Ne faisons pas non plus dire ce que personne ne dit.
C'était juste rien ne précision. Cela dit je resignale que celle que j'appelle officielle actuellement est la plus légère Y COMPRIS chez les pire victimes des pedagos: ce n'est pas rien du coup.