trouver un seul énoncé mathématique qui ne contient pas d'occurence des mots "fonction", "application", "opérateur", etc, est qui prouvable avec l'une des deux définitions de fonction proposées ci-dessus (RDO avec triplets ou bien la mienne) et qui n'est pas prouvable avec l'autre.
Le défi tient toujours.
"$id_B $ n'est pas l'inclusion de $B$ dans $A$" ne marche pas car parle de fonction (idem pour les énoncés qui parlent de $\mathfrak S _B$ qui est par définition un ensemble de fonctions particulier. Le sens d'énoncés tels que $A^B \cap A^C = \emptyset$ va bien sûr dépendre des choix d'implémentation. A vrai dire on n'entend pas beaucoup parler de $A^B \cap A^C$ dans les maths que j'ai vues).
EDIT en fait si $B\neq C$, $A^B\cap A^C=\emptyset$ que l'on soit chez RDO ou dans ce que j'ai dit.
Par contre chez RDO, $B^{\emptyset}\cap C ^{\emptyset}=\emptyset$ alors que chez votre serviteur,
$B^{\emptyset}\cap C ^ {\emptyset}=\{\emptyset\}$
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
on ne peut pas... Mais l'un va être utilisé dans un contexte, l'autre dans l'autre.
En théorie de Galois, on ne fait donc pas la différence entre l'application identique du corps \(\Q\), automorphisme du dit corps, et l'injection canonique de \(\Q\) dans un corps de nombres, injection qui définit une extension du corps \(\Q\).
Il est bien évident que l'on est dans deux contextes différents…
Ce qui compte en théorie de Galois n'est pas de savoir si étant données deux extensions normales $K,L$ de $\Q$ , les applications $id_K, id_L$ (EDIT: pas $id_L$ mais $x \in K \mapsto x \in L$)sont égales ou non, mais d'étudier les structures de groupe induites par la composition sur $Aut_{\Q}(L), Aut_{\Q}(L)$. On obtient les mêmes résultats avec les deux approches.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
En fait on traite de structures qui se distinguent par des considérations de catégories (et où les flèches qui sont utilisées ne sont plus des applications dans tous les cas).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Foys : C'est reparti... J'appellerai fonction-au-sens-strict les fonctions d'après la définition minimale (ce que les autres appellent le graphe, quoi).
Cette réponse confirme bien que la donnée d'une fonction-au-sens-strict n'est pas suffisante pour donner un sens à la notion de surjection – toute fonction-au-sens-strict est par nature surjective. La notion utile de surjectivité demande donc une fonction-au-sens-strict et un ensemble qui contient son image. [On perd la symétrie avec la notion d'injection qui, elle, ne demande qu'une fonction-au-sens-strict. Enfin, après tout, sans axiome du choix, les énoncés « il existe une injection de $E$ dans $F$ » et « il existe une surjection de $F$ sur $E$ » ne sont pas équivalents.]
De même pour un opérateur : la donnée de la fonction-au-sens-strict ne permet pas de dire si c'est un opérateur puisqu'il faut en plus se donner au moins un espace dont le domaine de la fonction-au-sens-strict est un sous-espace (dense).
En adjoignant un ensemble qui contient le domaine et un ensemble qui contient l'image dans toute phrase qui parle de fonction-au-sens-strict, alors évidemment, on va exprimer et démontrer les mêmes choses. C'est visiblement une divergence de vocabulaire plutôt que de notion.
Tu ne comprends pas l'hostilité contre la définition minimale. Je ne comprends pas pourquoi on choisirait une définition qui ne suffit pas à exprimer des choses très communes (surjection, opérateur ou le exemples de gb). Je veux bien croire que parfois, ajouter l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée puisse poser problème dans certaines situations (tu en donnes un exemple) mais ce n'est pas toujours le cas, au contraire.
Au passage, toutes les structures intéressantes sont composites (un groupe, un corps, un corps valué, une variété...), pourquoi est-ce que ce serait un problème qu'une fonction en soit ? De même, un mot peut souvent être utilisé sous plusieurs acceptions (un triangle, selon les jours, c'est un triplet de points, leur enveloppe convexe, un ensemble de trois segments, la réunion de trois segments...), pourquoi faudrait-il une définition indépendante du contexte ?
C'est bien une différence de vocabulaire Math Coss mais j'avais déjà dit que de toute façon:
on parle de surjection de (...) dans (...) au lieu de surjection (l'énoncé formel définissant la surjectivité contient fondamentalement 3 paramètres et non un seul) tout court quant aux opérateurs on dit que c'est un couple avec un certain sous-espace vectoriel dense et une fonction. C'est-à-dire qu'on a un énoncé formel $O_p$à $10$ paramètres $E,+_E,\times_E,N_E,F,+_F,\times_F, N_F,H,u$ tels que $Op(E,+_E,\times_E,N_E,F,+_F,\times_F, N_F,H,u)$ signifie "$u$ est une fonction ("minimale"), contenue dans $E\times F$, $(E,+_E,\times_E,N_E)$ et $(F,+_F,\times_F,N_F)$ sont des espaces vectoriels normés sur $\R$ ", $Dom (u)$ et $H$ sont des sous-espaces vectoriels de $(E,+_E,\times_E)$, la restriction de $u$ à $dom(u)$ est linéaire(*),continue de $Dom (u)$ (muni de la topologie induite par $(E,+_E,\times_E,N_E)$) dans $(F,+_F,\times_F,N_F)$ et $Dom(u)$ est une partie dense de $H$."
Si on avait un prouveur qui permettait vraiment de travailler dans ZFC (j'ai juste COQ chez moi qui est très franchement différent) tu verrais que passer par les fonctions "minimales" est le plus rapide.
Il s'agit juste de traiter comme notion simple ce qui est simple et comme notion composite ce qui est composite.
(*) ce qu'on peut écrire comme "pour tous $x,y ,z,x',y',z'$, les relations $(x,y,z)\in +_E$, $(x,x')\in u$, $(y,y')$ in $u$ et $(z,z')\in u$ entraînent que $(x',y',z')\in +_F$ et pour tous $s,t,s',t',\lambda$, les relations $(\lambda,s,t)\in \times_E $, $(s',s)\in u,$ et $ (t',t) \in u$ entraînent que $(\lambda,s',t') \in \times_F$". Il n'y a pas besoin d'ensemble qui contient les objets pour "donner du sens" ou que sais-je même si ça peu faciliter la lecture.
NB: $(a,b,c)$ est une abréviation de $((a,b),c)$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
En fait on traite de structures qui se distinguent par des considérations de catégories.
Moi je traite de bêtes applications entre ensembles, pas des structures ni des catégories.
Quand je me pose une question, comme « l'application machin est-elle surjective ?, injective ? est-elle un homéomorphisme ? etc. » j'ai besoin que me soient livré un triplet \((E,F,G)\) et pas seulement un graphe \(G\).
@gb
En fait tu demandes qu'on puisse dire "une fonction est une surjection" (au lieu de "surjection de ceci dans cela"), mais pour la notion d'homéomorphisme on va avoir un problème qui est de toute façon qu'un RDO-triplet $(E,F,G)$ ne peut pas être intrinsèquement un homéomorphisme: il faudra mentionner des structures supplémentaires et dire que $(E,F,G)$ est un homéomorphisme des espaces topologiques $(E,s)$, $(F,t)$. L'application qui à $x\in \R$ fait correspondre $x-1$ si $x$ est entier et $x$ sinon est un homéomorphisme de $(\R,t)$ dans $(\R,t)$ lorsque $t=\{\R,\emptyset\}$.
Pourquoi les choix de formalisation seraient-ils tenus de faire en sorte que la notion de surjectivité soit intrinsèque à une fonction quand ils ne le font pas (comment le pourraient-ils) pour des choses telles que les notions d'homéomorphisme, de morphisme d'anneaux, d'application linéaire entre espaces vectoriels, de difféomorphisme entre variétés ?
Dans les rédactions pratiques tout est implicite (car implicitement compréhensible et on ne souhaite pas que le préambule du moindre exercice fasse une page) mais pas intrinsèque pour autant.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
D'accord avec Foys. Si on suit votre désir d'incorporer ensembles de départ et d'arrivée à la définition de fonction, alors un morphisme d'anneaux est un triplet $(A,B,f)$ où $A$ et $B$ sont des anneaux et où $f$ vérifie ce qu'il faut ; et un morphisme de groupes est un triplet $(A,B,f)$ où $A$ et $B$ sont des groupes et où $f$ vérifie ce qu'il faut. Et donc, un morphisme d'anneaux n'est pas forcément (quasiment jamais à mon avis) un morphisme de groupes !
« Et donc un morphisme d’anneau est quasiment jamais un morphisme de groupe »
Bah même avec cette définition, A et B restent les ensembles de base sans la structure, c’est pas ((A,+,.),(B,+’,.’),graphe)
Donc si graphe a la propriété d’être morphique sur A ou B en tant qu’anneaux Ou en tant que groupes ça se verra pas sur le triplet, A et B ils bougent pas c’est ce qu’on rajoute au uplet (A,+,.) qui change si jamais A « peut l’accepter » ?
Édit: à moins que ton A et B ce soient les triplets (A,+,.) et (B,+´,.’) pour moi mais c’est plus la définition donnée au-dessus parce que graphe n’est plus une partie de AxB alors.
Ben un anneau c'est un quintuplet $(X,+,0,\cdot,1)$ alors qu'un groupe c'est un triplet $(Y,*,e)$, et il me semble que les triplets sont rarement des quintuplets (mais je suis pas sûr de moi). Ce que je dis, c'est que si on fait le reproche "si une fonction n'est pas un triplet, alors ça ne veut rien dire qu'elle est surjective tout court", comment définit-on "morphisme d'anneaux" ? Pour moi, la même logique imposerait d'incorporer à la définition les lois de composition des deux anneaux, sans quoi cela n'a pas de sens (ou autant que de dire qu'une fonction-pas-triplet est surjective tout court). Et dans ce cas, un morphisme d'anneaux n'est pas, en général, un morphisme de groupes.
Mais bon, je suis convaincu que tout ceci n'a aucune importance, et personnellement je préfère la définition comme ensemble de couples tel que blabla.
Pour moi, la même logique imposerait d'incorporer à la définition les lois de composition des deux anneaux, sans quoi cela n'a pas de sens (ou autant que de dire qu'une fonction-pas-triplet est surjective tout court). Et dans ce cas, un morphisme d'anneaux n'est pas, en général, un morphisme de groupes.
Qu'est-ce que tu racontes, G.A. ? Un morphisme d'anneaux, c'est une application de l'ensemble sous-jacent au premier anneau dans l'ensemble sous-jacent au deuxième anneau qui vérifie bla bla. Et un morphisme d'anneaux, c'est bien un morphisme des groupes sous-jacents (qui peut le plus peut le moins). Ta comparaison avec la surjectivité des fonctions est complètement non-pertinente.
Non mais je voulais juste dire :
1) Je définis, comme tout le monde, un anneau comme un quintuplet tel que blabla, et un groupe comme un triplet blabla.
2) Je définis un GA-morphisme de groupes comme un triplet $(G,H,f)$ où $G$ est un groupe (et donc un triplet blabla), $H$ est un groupe, et $f$ est une application de la première coordonnée de $G$ vers la première coordonnée de $H$ qui vérifie blabla.
3) Je définis un GA-morphisme d'anneaux comme un triplet $(A,B,f)$ où $A$ et $B$ sont des anneaux (donc des quintuplets blabla) et $f$ est une application de la première coordonnée de $A$ vers la première coordonnée de $B$.
4) Un GA-morphisme d'anneaux n'est jamais un GA-morphisme de groupes (à moins qu'un anneau quintuplet soit un groupe triplet).
5) (et c'est la seule de ces phrases qu'on peut juger non pertinente et/ou hors-sujet) Je pense que les arguments qui peuvent pousser une personne à définir une fonction comme un triplet peuvent être appliqués à cette situation, et devraient pousser cette personne à définir un morphisme de groupes comme un GA-morphisme de groupes.
Si 5) ne vous plaît pas, tant pis, je ne le défendrai pas plus !
N'importe quoi, vraiment ! L'ensemble des morphismes d'anneaux est un sous-ensemble de l'ensemble des applications de l'ensemble sous-jacent au premier anneau dans l'ensemble sous-jacent au deuxième anneau. Et il est contenu dans l'ensemble des morphismes des groupes sous-jacents.
Un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes, qui est une application. Par contre, un GA-morphisme d'anneaux n'est pas en général, un GA-morphisme de groupes. Evidemment, cela tient au fait que j'ai défini "n'importe comment" les GA-morphismes, mais à mon avis, dans la même logique que les personnes qui veulent que les fonctions soient des triplets.
Désolé pour le flood...
Tout anneau $A$ a un groupe sous-jacent $U(A)$; ainsi, si $(A, B, f)$ est un morphisme d'anneaux (ce qui implique implicitement que $A$ et $B$ sont des anneaux), alors $(U(A), U(B), f)$ est bien un morphisme de groupes. Une application est un morphisme d'ensembles, c'est donc un triplet $(E, F, f)$ et tout morphisme de groupes $(G, G', f)$ peut être vu comme une application $(V(G), V(G'), f)$, où $V(G)$ est l'ensemble sous-jacent au groupe $G$ ($f$ est le graphe de l'application $(V(G), V(G'), f)$, lequel graphe est une relation fonctionnelle de $V(G)$ vers $V(G')$).
La phrase "$f$ est un morphisme d'un groupe $G$ dans un groupe $G$'" signifie la même chose que "$(G, G', f)$ est un morphisme de groupes". La phrase "$f$ est un morphisme de groupes" sans référer implicitement ou explicitement à des groupes $G$ et $G'$ n'a aucun sens : être un morphisme de groupes n'est pas quelque chose qui dépend uniquement du graphe du morphisme (si $(G, G', f)$ est un morphisme de groupes, il n'y a aucune raison pour que $(H, H', f)$ soit un morphisme de groupes). Quand on dit qu'un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes, on se réfère bien sûr aux groupes sous-jacents; c'est la même chose quand on passe des groupes aux applications.
Ainsi, par exemple, si on se demande si, pour certaines structures, la propriété d'être un épimorphisme implique celle d'être une surjection, c'est parce qu'on a une notion (souvent évidente) d'ensemble sous-jacent pour cette structure.
Pardon pour le délai, j'étais vraiment overbooké. J'ai vaguement suivi de mon téléphone, mais c'est tout. J'essaie de ne pas oublier de gens:
1/ @marsup: je ne connais ni Haskell, ni "maybe" (joli nom :-D ). Mais Haskell je devine (je connais de nom et on m'a dit que c'est le caml américain, donc pas de souci, si tu veux me parler de Haskell, je peux suivre). Par contre "maybe", jamais entendu parler.
2/ Pour en revenir à def1 VS def2, de toute façon, il me semble utile de rappeler que ce qui est archivé par l'académie des sciences, ce sont des énoncés formels (donc plus que précis), écrits avec $\forall ; \to; \in$ et rien d'autre. La notion de définition n'est pas mathématique (autre que pratique). . Dit comme ça, c'est évidemment largement outrancier, mais chacun comprend, j'imagine, ce que je dis: les définitions sont des abréviations, ce qui compte c'est le théorème prouvé (et pas de savoir si on a mis "le mot en toute lettre ou son abréviation" dans l'énoncé). L'usage est généralement d'essayer de bien sourcer les choses, c'est tout
3/ Il y a eu un point qui m'a gêné (il y a 15-20H sur le fil, je ne parle pas des trucs récents), c'est de voir qu'il semble ignoré que j'ai déjà tout traité dans un fil unique il me semble, il faudra que je le cherche, et en particulier, j'ai détaillé cette hésitation que ressentent certains (plus particulièrement les partisans des "fonctions qui vont à la piscine tout habillées) entre adjectif et nom commun. Ils semblent préférer les "noms communs" comme si "c'était mieux". Ils semblent préférer "un carré" à "être carré". C'est un sujet que j'avais détaillé dans le passé: en maths (en vraies maths), les noms communs ça n'existent pas. On peut les créer par confort poétique, mais il n'y a pas de notion de nom commun. Il n'y a que des adjectifs (adjectif = verbe = ensemble). Or ils semblent évoquer un besoin qui est par nature fautif en maths (celui de voir des noms communs).
Du coup, on a vu une sorte d'hésitation à accepter l'expression articulée suivante:
<< $f$ est surjective de $E$ sur $F$>> abrège $<<codom(f) \supset F$ et $f$ est une fonction et $dom(f)\subset E>>$
Parce qu'ils auraient préféré pouvoir avoir une expression du genre $<<f$ est une surjection$>>$ (nom commun: un chien, un chat, un bar, une surjection etc)
Ce besoin de plaquer le français (ou autre langue de com) est respectable, mais attention, il n'est pas matheusement fondé. La "vraie" structure mathématique est essentiellement l'écriture polonaise (par exemple, on a <<Surjection(f,E,F)>> qui va abréger quelque chose, et l'adjectif "Surjection" sera créé) et le confort "accessoire" est de mettre des petits mot doux, du genre "de .. sur". Du coup, la seule chose qui reste du débat est dans l'arité:
Préfère-t-on $<<Surjection(f)$ à $Surjective(f,A,B)$?
Ma position est peu discrète, j'ai maintes fois dit que je préfère largement le deuxième. Après je n'ai pas vraiment la patience de reprendre tous les points du débat Bourbaki vs TDE car comme je l'ai dit en début de fil, à la fin on n'a que des théorèmes, les abréviations... on s'en f...
Cela dit, l'expérience m'a montré que bien des spécialités (mais à pour leur défense, elles mènent une campagne politique pour leur reconnaissance depuis une cinquantaine d'années, donc, avec les dégâts collatéraux excusables qui vont avec) font énormément de délayage inutile en ayant fait ce que je considère comme cet extrême mauvais choix bourbakiste de considérer les fonctions tout habillés et de sortir des histoires "d'inclusion" avec de la salive plein la bouche.
Mais je n'ai pas la patience de faire partager ce soir cette expérience. Je mets juste en garde sincèrement. Il y a une bien réelle campagne tacite en faveurs de tout un tas de choses, leurs défenseurs sont sincères dans leurs croyances (typage, emphase d'une expression comme "théorie homotopique des types", etc), j'ai même vu un jeune qui a débarqué sur le forum, les yeux plein d'espoirs et croyant ces trucs profond ouvrir un fil dans la rubrique. Comme dans toute campagne "politique", même si le produit est de qualité, les espoirs qu'on fait naitre sont disproportionnés par rapport à la réalité du sujet.
Comme je l'ai souvent répété, c'est en ne typant pas (tous les objets ont même et unique type et s'applique les uns aux autres) qu'on accède à autre chose que le diophantien et la classification profonde de la force des théories. Typer apporte une sécurité que justement on ne peut pas se permettre d'espérer si on veut "monter". Maintenant ça n'enlève pas leur intérêt en algèbre et au premier ordre, bien entendu, mais je suis loin d'être convaincu que les "clients appâtés" cherchaient, en entrant dans la boutique, ou en appelant le numéro vert, ce que les promoteurs des catégories et du typage veulent vraiment partager... Et ça me parait un malentendu conséquent, même si évidemment, il y a pire dans le vie (euphémisme).
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Tu vois, c'est bien ce que je disais : tu dis qu'il faut être formel et tu dénonces le pédagogisme, qui plus est quand il est verbeux. Mais tu sembles ne faire que ça.
Ce n'est pas une attaque même si cela y ressemble.
Bon, j'arrive sur le problème des noms communs. Franchement, tu n'es pas sérieux là, tu fais exprès, non ?
Un rectangle, bon sang. N'a-t-on pas le droit de définir ce nom commun ?
Ou alors, je suis à côté de la plaque...
Le "problème" de Haskell, c'est qu'il n'y a que des fonctions pures (c'est toute l'idée), et donc du coup, initialement, ils ne savaient pas gérer notamment les entrées/sorties (parce qu'elles dépendent de l'environnement, donc pas fonctionnelles !)
Un beau matin, un gars s'est réveillé et a dit : "Eurêka, il faut prendre des monades".
Alors, en gros, une monade est un type particulier de foncteur avec d'avantage de structure.
(dans la catégorie $Hask$, les objets sont les types, et les flèches sont les fonctions)
L'un des sous-produits des monades, et la monade la plus simple est "Maybe"
qui associe à un type $A$ le type $Maybe(A)$.
Ce type est susceptible de stocker 2 familles de trucs :
soit $Just(a)$, c'est-à-dire une vraie valeur $a \in A$,
soit $Nothing$, c'est-à-dire, dans ton langage : UNDEFINED.
Et donc avec ça, la fonctorialité, c'est que toute fonction Haskell $f : A\to B$ peut-être utilisée avec des $Maybe$ : ça donne $Maybe(f):Maybe(A) \to Maybe(B)$.
Et aussi, si tu as une fonction qui est déjà en $Maybe(A) \to Maybe(B)$, tu peux la composer avec d'autres fonctions "honnètes", ou bien des fonctions $Maybe$, ou n'importe quelle combinaison.
(grâce à la propriété des monades, je ne développe pas, on ne se retrouve pas avec de $Maybe(Maybe(\dots))$, mais juste des $Maybe(\dots)$ simples)
Par conséquent, ce truc des $Maybe$ permet d'avoir un excellent environnement fonctionnel, très pur, au sein duquel, on peut sans mal introduire des "cochonneries" de fonctions avec valeurs interdites, et la gestion de la propagation des valeurs interdites se fait correctement et nativement au sein de la monade $Maybe$, sans avoir à corrompre le formalisme général avec cette thématique de gestion d'erreurs, qui est un peu exogène.
Ce que je lis sous ta plume, avec l'autorisation automatique de valeurs interdites, me fait un peu penser à ce que j'ai compris de la situation d'Haskell avant qu'ils aient trouvé cette technique géniale des monades.
En gros, ma question est la suivante :
"Est-ce très utile de bricoler pour construire à un très bas niveau (ensembliste, dans ton exemple) telle ou telle propriété, sachant, qu'à un niveau formellement plus élevé (ici, la monade $Maybe$), on peut avoir une gestion délocalisée, autonome de la problématique qui t'intéresse ?"
@Alesha : Bien entendu. Tu es d'accord pour dire qu'il existe des anneaux $A$ pour lesquels $A$ et $U(A)$ sont des ensembles différents ?
Je sais bien qu'un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes entre les groupes sous-jacents, ai-je d'ailleurs affirmé le contraire ?
@marsup: j'avoue être surpris par cette histoire de monades. Caml a résolu depuis longtemps le problème et sans monade. C'est peut être parce que Haskell est ne trop tôt avant que la CCH ne soit mure? (Enfin si j'ai compris).
Je suis aussi étonné que tu parles de bricolage à propos des notions "comme elles sont" . Justement me semble-t-il la question c'est pourquoi les gens au lieu d'apprendre la TDE préfèrent y rester ignares en dire le plus de mal possible et faire semblant "d'aller vers le profond " alors sue justement... ils bricolent. J'ai même une fois lu sur le forum un gars qui disaient "on code ceci cela dans ZF.." c'est à dire qu'il s'y connaissait tellement peu qu'il n'avait pas réalisé que justement ce qu'on fait généralement t meme tout le temps c'est de coder les choses (teles qu'elles sont ie definies sans codage ensemblistement) dans tout un tas de théories + ou - calculatoire et ambitieuses. Et c'est justement la que les types interviennent. Pour tenter de retrouver un "naturel" perdu en cours de route.
Je crois qu'il y a confusion entre axiomes et définitions. Qu'on s'oppose à ZF en tant que système d'axiomes est une chose mais là il n'est pas question de ça. A moins que tu considérés les notions de cardinal et d'ordinal comme des codages :-D sinon j'ai du mal à comprendre pourquoi tant de personnes font tant d'efforts pour essayer de faire passer pour de la politique une simple ignorance ou paresse de se mettre à niveau.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Ma position à moi, c'est que les fondements de la logique ne m'intéressent pas plus que ça.
J'ai du mal à comprendre l'intérêt de changer la notion de fonction "pour tout le monde" si c'est juste pour obtenir des bases plus agréables pour telle ou telle construction qui t'intéresse ces jours-ci...
J'ai l'impression que les mathématiques, logique ou pas logique, sont capables de parler de pas mal de choses.
L'exemple que je donnais avec Haskell, c'est justement ça :
Au lieu de faire de la logique de bas niveau, on part d'une logique raisonnable, à partir de laquelle on fait ce qu'on a envie de faire avec des vraies mathématiques, et tout le monde est très content, et personne ne s'arrache les cheveux.
Ben j'ai discuté avec un pote qui est un peu spécialiste de CCH et il m'a dit qu'il n'y a pas encore (et il s'attend à ce qu'il n'y en ait pas) de cadre unificateur satisfaisant à tout un tas de théorèmes relevant de la CCH. D'ailleurs Christophe parle souvent d'"esprit CCH".
EDIT : Rajout de mots manquants, en gras... Désolé !
De mon téléphone : @marsup. Je n'ai pas l'impression qu'on soit en désaccord. Simplement tu as l'air de penser que l'ensemblisme est aux maths ce que l'assembleur est à Python. Statutairement c'est pertinent mais il y a une grosse différence: c'est que l'ensemblisme raccourcit au lieu de rallonger et en plus c'est naturel: pas besoin de coder. Je rappelais juste que les propagandes actuelles cachent bien un truc qui est pourtant leur SEULE RAISON D' ETRE: la recherche de consistance. D'où leurs usines à gaz interminables pour dire des trivialités (Yoneda etc).
C'est respectable (et je le fais aussi ça pourrait même s'appeler "inspection systématique") par contre je suis critique avec leur com.
Je te prends un exemple bête: un jour j'ai lu sous la plume d'un matheux militant et chevronné
<< msieurs dames [forall x in y : A] ne veut absolument pas dire [forall x: si x in y alors A]>>
C'est de la com inacceptable quand on sait ce que ça peut induire mis entre des mains béotiennes. Je ne dis RIEN de plus!
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
J'ai du mal à comprendre l'intérêt de changer la notion de fonction "pour tout le monde" si c'est juste pour obtenir des bases plus agréables pour telle ou telle construction qui t'intéresse ces jours-ci...
J'en propose une qui est un peu plus courte que celle d'usage (dont je pense qu'elle est motivée par des mauvaises raisons cependant celle de RDO est parfaitement précise et rigoureuse; ce n'est pas ça que j'avais voulu critiquer).
J'ai l'impression que les mathématiques, logique ou pas logique, sont capables de parler de pas mal de choses.
L'exemple que je donnais avec Haskell, c'est justement ça :
Au lieu de faire de la logique de bas niveau, on part d'une logique raisonnable, à partir de laquelle on fait ce qu'on a envie de faire avec des vraies mathématiques, et tout le monde est très content, et personne ne s'arrache les cheveux.
Il y a deux choses assez distinctes en maths (mais qui ne s'opposent pas: ce n'est pas les catégories CONTRE les ensembles)
On peut considérer que
1°) Les maths sont une activité foondationnelle (où on donne les définitions en dur)
2°) les maths sont manipulation de cahiers des charges comportementaux des objets.
Par exemple si $\mathcal C$ est une catégorie avec objet final $\mathbf 1$, <<l'ensemble des entiers >> est un objet initial de la catégorie $\mathcal R$ dont les objets sont les triplets $(X,i,f)$ avec $i:\mathbf 1 \to X$ et $f:X\to X$ (il me semble que c'est une idée de Lawvere; $\mathcal R$ pourrait s'appeler la "catégorie des relations de récurrence" ).
En fait je suis assez convaincu que s'il y a des civilisations extra-terrestres avancées, ils auront presque sûrement une notion d'entier qui correspond à ça, mais que par contre il n'y a quasiment aucune chance qu'ils aient découvert les cardinaux.
On cherche à dire ce qu'est le comportement des objets, à les identifier par ce qu'ils font.
La théorie des ensembles permet des implémentations différentes mais qui se valent toutes certes.
Par exemple soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un ensemble. Si $E$ est un ensemble et $M$ est un anneau ou bien $\N$, on note $M^{(E)}$ l'ensemble des $x\in M^E$ tels que $\{i \in E\mid x_i \neq 0\}$ est fini. Soit $L_1(I):=A[X_i,i \in I]$ (= $A^{\left( \N^{(I)}\right )}$ muni d'une structure d'anneau idoine). Soit $R(I):= \oplus_{n \in \N} \otimes^n A^{(I)} $ et $L_2(I):=R(I)/J_{A,I}$ ($J_{A,I}$ désigne l'idéal engendré par les $x\otimes y - y \otimes x$ où $x,y \in A^{(I)}$).
Soit $O$ le foncteur oubli de la catégorie des $A$-algèbres (i.e si $B$ est une $A$-algèbre alors $O(B)=B$ vu comme ensemble).
Alors $L_1$ et $L_2$ sont tous les deux des foncteurs adjoints à gauche de $O$ et donc réalisent le même "objet": l'anneau des polynômes sur $A$ avec indéterminées indexées par $I$.
NB: en maths si $\mathcal C$ est une catégorie quelconque et $\Omega:\mathcal C \to Ens$ un foncteur covariant, on peut, étant donné un ensemble $E$, appeler objet libre sur $E$ dans $\mathcal C$ un couple $(X,\beta)$ où $X$ est un objet de $\mathcal C$ et $\beta:E \to \Omega(X)$ une fonction (appelée une "base" )telle que pour tout objet $Y\in E$ et toute fonction $\varphi:E \to \Omega(Y)$, il existe un unique $f\in Hom_{\mathcal C}(X,Y)$ tel que $\Omega(f)\circ \beta=\varphi$. La possibilité de construire systématiquement pour tout ensemble $F$ un objet libre sur $F$ dans $\mathcal C$ est équivalente à l'existence d'un foncteur $\Lambda: Ens \to \mathcal C$ adjoint à gauche de $\Omega$. Cette circonstance se produit pour toutes les catégories "élémentaires" des maths: magmas, monoïdes, anneaux, groupes, espaces vectoriels sur un corps fixé, etc, avec à chaque fois $\Omega$ égal au foncteur d'oubli.
Y a-t-il unicité de tels objets? Non mais ça n'a aucune importance: il s'agit d'authentiques détails d'implémentation.
Est-ce que ces constructions sont superflues? non, car en maths on est contraint de prouver que les objets dont on se sert existent (vous n'avez jamais besoin d' un $t$ tel que $P(t)$ pour montrer $\left(\exists t:P(t) \right) \Rightarrow Q$ mais vous avez absolument besoin d'un $t$ tel que $P(t)$ pour montrer $Q$ si vous souhaitez passer par $\left(\exists t:P(t) \right) \Rightarrow Q$).
Les cardinaux, ordinaux sont des détails d'implémentation eux aussi n'en déplaise à Christophe (même si ça va être dur de faire plus court que la définition actuelle, mais regarder dans Bourbaki où ils en donnent une définition complètement différente de celle d'usage courant).
L'objectif des maths n'est pas de faire de l'essentialisme.
L'analogie avec le faux dilemme programmation haut/bas niveau est très bonne au demeurant:
D'un côté vous avez un puriste qui considère que le langage machine est le seul véritable langage légitime (allez l'assembleur pour faire des concessions) et de l'autre une personne qui se retrouverait parachutée sur une île déserte et qui déclare qu'il ne veut faire que la programmation orientée objet, que le but du développement n'est pas de faire des petits calculs etc: il est bien gentil mais il faut construire l'ordinateur d'abord, quant à l'assembliste, ce n'est pas lui qui va vous faire un site web ou un jeu vidéo.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Les cardinaux, ordinaux sont des détails d'implémentation eux aussi n'en déplaise à Christophe
Je ne suis pas idéologue, je poste juste pour dire le truc désagréable suivant: une partie des gens cache son ignorance et balance des idioties en réclamant le statut "opinion comme une autre". (Je ne parle pas spécialement des gens du forum, mais en beaucoup plus général).
La TDE est typiquement victime de ça: tout le monde travaille dedans tout le temps, mais très peu sont conscients qu'ils le font. Ce n'est pas grave, mais les lire ensuite écrire qu'ils n'avaient pas besoin de TDE (alors qu'ils en ont fait un gros usage) est pathétique (mais je suis triste pour eux, pas pour moi, moi, personnellement, mon dada c'est d'essayer un jour de prouver la contradiction de ZF, je ne suis en rien un défenseur de sa consistance)
Par exemple, ça ne me déplait pas ce que tu dis, mais tu écris deux choses (et toi, pourtant tu t'y connais bien mieux que la moyenne des mathématiciens en TDE) assez involontairement hilarante:
1/ s'il y a des civilisations extra-terrestres avancées, ils auront presque sûrement une notion d'entier qui correspond à ça, mais que par contre il n'y a quasiment aucune chance qu'ils aient découvert les cardinaux.
Tu ne sembles pas avoir "réalisé" que ce sont les cardinaux qui viennent avant les entiers. Tu voulais probablement parler de cardinaux infinis. Mais, de toute façon "accuser les E.T." d'être peu probablement ouverts à l'infini est assez exotique comme opinion. La notion de nombre entier est complètement artificielle et typiquement humaine, sauf quand on rappelle que ce sont les cardinaux finis. Les opérations de somme ( cardinal de réunion disjointe) et de produit (cardinal de $\{(x,y) \mid x\in A$ et y\in B\}$), mais pas seulement, les preuves de leurs propriétés sont transmises telles quelles dès l'école primaire (et même avant en maternelle). C'est un euphémisme de dire que j'ai tâté ça de près il y a 30 ans quand j'étais responsable d'un institut pour autistes/surdoués/attardés et que je m'arrachais les cheveux avec un garçon handicapé qui ne savaient pas compter, mais savait identifier des ensembles équipotents.
2/ quant à l'assembliste, ce n'est pas lui qui va vous faire un site web ou un jeu vidéo. Tu as raison pour l'informatique, mais tort pour les maths ici, c'est ce que j'ai dit ce matin de mon téléphone en signalant à marsup qu'il oublie que l'analogie s'arrête avant cette différence. J'ai maintes fois eu l'occasion de montrer que les corpus imbitables et délayées de 1000 pages 1er et 2ie cycle universitaire en étude de maths tiennent en réalité, preuves comprises, en 10 à 20 pages (j'ai d'ailleurs presque fini un doc pour mes élèves de TS où je leur livre l'intégrale de l'année de math sup en 8-10 pages je pense (je dois en êrte à 6), preuves comprises (pas formelles mais presque). Evidemment, il faut accepter de dire les choses comme elles sont (ie de faire un usage intensif de la notation $\{x\mid blabla\}$). L'analogie avec l'assembleur a vraiment cette limite IMPORTANTE.
Je ne souhaite pas dire du mal des gens qui font autre chose, qui typent, etc, moi-même m'y connais quand-même relativement à cette spécialité, mais une fois de plus les motivations et les avantages présentés en guise de promotion sont faux. Alors qu'il existe de réels avantages unificateurs, en particulier pour les structures algébriques, à s'exercer à ce paradigme. Mais on ne présente pas les bons avantages: j'avais déjà eu l'occasion "d'aboyer" à ce propos dans des fils passés que j'intitulais + ou - "unification VS fondation". Je me répète, il faut arrêter de berner les béotiens avec le mot "fondation" quand on veut vendre un produit unificateur. A l'évidence les grosses productions de recherche scientifique professionnelle sur les topos, les catégories, etc, n'ont strictement rien d'évident ou de maniable par l'homme de la rue ou l'enfant de 5ans, donc ça n'a rien de fondateur.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Mais voyons, @cc, evidemment que "tout le monde" travaille avec des ensembles.
C'est tellement commode pour rédiger, communiquer****, formaliser etc.
Les élèves du secondaire et les étudiants manipulent ces ensembles.
On n'a pas mieux pour rédiger.
De là à dire qu'il faut connaitre du bout des doigts la TDE, je ne suis pas d'accord.
De là à dire que le nombre $5$ est un ensemble, je n'en vois pas l'intérêt à la genèse des enseignements.
Est-ce bien ce que tu dis ? Au moins un peu ?
Si je m'égare, alors dis-le.
****[small]merde alors, ça fait penser à des compétences du socle, loin de moi ces idées malheureuses.[/small]
Christophe, comment se fait-il que les nombres entiers ont été découverts par toutes les sociétés humaines (à l'exception près de deux ou trois tribus préhistoriques) alors que la TDE a été découverte au XIX-ième siècle par Cantor, alors que les maths avaient déjà atteint un certain degré de sophistication?
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@foys et dom: la TDE est opérationnelle depuis qu'on a commencé à mettre deux mots (ou signes) l'un à côté de l'autre, comme je l'ai souvent raconté sur ce forum (mais au moins, ça me permet de réaliser à quel point j'ai été peu lu :-D )
Rappel: a espace b (autrement dit) << a b >> est, ou bien synonyme de <<a(b)>>, si sa valeur n'a pas vocation à être une phrase ou bien synonyme de $b\in a$ (quand on accepte que <<a b>> a un statut de phrase)? Bien sûr, j'ai choisi arbitrairement un sens, puisque dans des langues comme le français, c'est plutôt $a\in b$ que $b\in a$ ($[Medor mange ]$ est plutôt vu comme $Medor\in MangeursEnCeMoment$) que $Manger\in LesMedorsMangeant$, mais c'est anecdotique)
On peut prouver (c'est trivial en fait) que "tout est fonction" ou "tout est ensemble" c'est la même chose. C'est plus ou moins pour privilégier les phrases "complètes" (éducation des petits j'imagine, ou marque de ponctuation) qu'on ne note pas << Maison(Toto)>> par $<<Toto\in Maison>>$, alors que <<Toto est bleu>> est noté $Toto\in EnsDesTrucsBleus$ (ou tout simplement $Toto \in Bleu$).
Mais en essence, $f(x)$ et $x\in f$ ont même statut.
Comme je l'ai (alors certes, c'était un peu laconique) plus haut, vous confondez (et foys, sans vouloir t'offenser, à te lire en détails, il me semble bien que ça t'a échappé et que tu confonds bien, c'est pour ça que je dis "vous") complètement les reproches de contradiction*** qu'on peut faire à la TDE(que j'appelle souvent originelle) et les efforts "anecdotique" de bridage qui ont été faits avec le choix de ZF plutôt qu'un autre, avec le présent deuxième débat linguisitique, qui concerne la "vraie" TDE et non le choix de ZF.
Ce sont deux débats TOTALEMENT DISJOINTS à mon sens. Par ailleurs, même si on voulait évoquer l'artificialité de ZF, il faudrait être de mauvaise foi en partie car ZF n'est rien d'autre que l'axiome $<<$ toute expression de type phrase n'évoquant que des ensembles ayant chacun un "pas trop gros cardinal" peut recevoir une valeur dans $\{vrai; faux\}>>$ et critiquer le naturalisme de ce seul axiome qui génère la TOTALITE de la science officielle** actuelle nécessite un peu de mauvaise foi, quand on voit de soit disant vendeurs de systèmes alternatifs se noyer dans 1000 propositions ultra-techniques, avec de subtiles histoires de type que personne ne capte, ne provoquant aucun consensus, etc et complètement ubuesques, sauf pour les chercheurs payés 3000E/ mois qui y bossent quotidiennement.
[small]*** rappel: la TDE est contradictoire si on souhaite voir les phrases comme toutes dans $\{vrai; faux\}$, car avec l'abréviation $a:x\mapsto non(x(x))$, on obtient $a(a)=non(a(a))$, ce qui interdit à la phrase $a(a)$ d'être dans un $\{vrai; faux\}$ tel que $vrai\neq faux$ et $non$ étant l'involution sans point fixe usuelle que vous devinez.[/small]
[small]** les propriétés de IR (et l'analyse) sont constamment nécessitées par les travaux de 99% au moins des chercheurs (et à part les admettre, évidemment, aucun système prétendument "naturel" ne les donne).[/small]
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
On peut prouver (c'est trivial en fait) que "tout est fonction" ou "tout est ensemble" c'est la même chose.
Pardon, j'ai oublié un astérisque: en choisissant l'un quelconques des bijections naturelles (CantorB) entre $V^2$ et $V$, tout ensemble est une fonction en posant
$$ a(b):= \{x\mid (b,x)\in a\}$$
et tout fonction est un ensemble, sans changer la notation ci-dessus en posant
** les propriétés de IR (et l'analyse) sont constamment nécessitées par les travaux de 99% au moins des chercheurs (et à part les admettre, évidemment, aucun système prétendument "naturel" ne les donne).
un réel est un élément de type $\N \to \N \to \N \to phrase$ (vérifiant une propriété additionnelle exprimant grosso modo qu'il s'agit d'une coupure de Dedekind). La théorie des types simples est capable de faire ça.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
De mon téléphone : @foys oui on peut récupérer en pièces détachées des petits trucs en simulant leurs propriétés dans un système artificiel mais tu vois bien que c'est ad hoc. De plus les propriétés du simulacre de IR avec des types simples sont très limitées et ne donnent que quelques trucs très concrets et calculatoires. Mais tu ne peux même pas avoir les bons résultats au delà des boréliens par exemples. De plus aucun enfant sincere ou jeu ne adulte ne pourra accepter l'intérêt de ton "objet ad hoc". Alors même que IR est pourtant un objet évident et naturel y compris (même non nommé) pour les vraiment tout petits.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
pour aller dans le sens de sieur Dom, ton absence de modestie, ton anti-pédagogisme, ta manière d'écrire cash sur divers sujets font de toi quelqu'un de très intéressant et d'attachant, à mes yeux, avec qui j'aimerais bien passer mes vacances, mais aussi, quelqu'un d'agaçant, obtus ( = fermé à la remise en question parce que convaincu d'avoir tout le temps raison) empli de contradictions et d'inconstance que je perçois dans et au delà de tes posts ( = entre les lignes).
Cette remarque serait mieux dans le fil qui se nommait approximativement "quelle image j'ai sur ce forum ?" mais j'ai la flemme de le chercher.
Par ailleurs sieur Foys je ne comprends rien à ce que vous dites sur les histoires de types, pourriez-vous m'indiquer quelques [EDIT ,]références à vos yeux. C'est lié à HoTT ?
christophe c écrivait:
> J'ai maintes fois eu l'occasion de montrer que les
> corpus imbitables et délayées de 1000 pages 1er
> et 2ie cycle universitaire en étude de maths
> tiennent en réalité, preuves comprises, en 10 à
> 20 pages (j'ai d'ailleurs presque fini un doc pour
> mes élèves de TS où je leur livre l'intégrale
> de l'année de math sup en 8-10 pages je pense (je
> dois en êrte à 6), preuves comprises (pas
> formelles mais presque).
Tiens j'aimerais bien voir ça xD
Pour rappel, voici le programme;
Premier semestre
Raisonnement et vocabulaire ensembliste
Calculs algébriques
Techniques fondamentales de calcul en analyse
A - Inégalités dans R
B - Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes
C - Primitives et équations différentielles linéaires
Nombres réels et suites numériques
Limites, continuité, dérivabilité
A - Limites et continuité
B - Dérivabilité
Analyse asymptotique
Arithmétique dans l’ensemble des entiers relatifs
Structures algébriques usuelles
Polynômes et fractions rationnelles
Deuxième semestre
Espaces vectoriels et applications linéaires
A - Espaces vectoriels
B - Espaces de dimension finie
C - Applications linéaires
D - Sous-espaces affines d’un espace vectoriel
Matrices
A - Calcul matriciel
B - Matrices et applications linéaires
C - Changements de bases, équivalence et similitude
D - Opérations élémentaires et systèmes linéaires
Groupe symétrique et déterminants
A - Groupe symétrique
B - Déterminants
Espaces préhilbertiens réels
Intégration
Séries numériques
Dénombrement
Probabilités
A - Probabilités sur un univers fini
B - Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini
Réponses
Tu connais la monade Maybe, comme en Haskell ?
Qu'est ce que tu en penses ?
Le défi tient toujours.
"$id_B $ n'est pas l'inclusion de $B$ dans $A$" ne marche pas car parle de fonction (idem pour les énoncés qui parlent de $\mathfrak S _B$ qui est par définition un ensemble de fonctions particulier. Le sens d'énoncés tels que $A^B \cap A^C = \emptyset$ va bien sûr dépendre des choix d'implémentation. A vrai dire on n'entend pas beaucoup parler de $A^B \cap A^C$ dans les maths que j'ai vues).
EDIT en fait si $B\neq C$, $A^B\cap A^C=\emptyset$ que l'on soit chez RDO ou dans ce que j'ai dit.
Par contre chez RDO, $B^{\emptyset}\cap C ^{\emptyset}=\emptyset$ alors que chez votre serviteur,
$B^{\emptyset}\cap C ^ {\emptyset}=\{\emptyset\}$
une relation $\mathcal{R}$, c'est un triplet $(X,Y,\Gamma)$, avec $\Gamma \subset X \times Y$.
En théorie de Galois, on ne fait donc pas la différence entre l'application identique du corps \(\Q\), automorphisme du dit corps, et l'injection canonique de \(\Q\) dans un corps de nombres, injection qui définit une extension du corps \(\Q\).
Il est bien évident que l'on est dans deux contextes différents…
Cette réponse confirme bien que la donnée d'une fonction-au-sens-strict n'est pas suffisante pour donner un sens à la notion de surjection – toute fonction-au-sens-strict est par nature surjective. La notion utile de surjectivité demande donc une fonction-au-sens-strict et un ensemble qui contient son image. [On perd la symétrie avec la notion d'injection qui, elle, ne demande qu'une fonction-au-sens-strict. Enfin, après tout, sans axiome du choix, les énoncés « il existe une injection de $E$ dans $F$ » et « il existe une surjection de $F$ sur $E$ » ne sont pas équivalents.]
De même pour un opérateur : la donnée de la fonction-au-sens-strict ne permet pas de dire si c'est un opérateur puisqu'il faut en plus se donner au moins un espace dont le domaine de la fonction-au-sens-strict est un sous-espace (dense).
En adjoignant un ensemble qui contient le domaine et un ensemble qui contient l'image dans toute phrase qui parle de fonction-au-sens-strict, alors évidemment, on va exprimer et démontrer les mêmes choses. C'est visiblement une divergence de vocabulaire plutôt que de notion.
Tu ne comprends pas l'hostilité contre la définition minimale. Je ne comprends pas pourquoi on choisirait une définition qui ne suffit pas à exprimer des choses très communes (surjection, opérateur ou le exemples de gb). Je veux bien croire que parfois, ajouter l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée puisse poser problème dans certaines situations (tu en donnes un exemple) mais ce n'est pas toujours le cas, au contraire.
Au passage, toutes les structures intéressantes sont composites (un groupe, un corps, un corps valué, une variété...), pourquoi est-ce que ce serait un problème qu'une fonction en soit ? De même, un mot peut souvent être utilisé sous plusieurs acceptions (un triangle, selon les jours, c'est un triplet de points, leur enveloppe convexe, un ensemble de trois segments, la réunion de trois segments...), pourquoi faudrait-il une définition indépendante du contexte ?
Bon, du coup, plutôt que de souligner les désagréments soulevés par la définition de Foys, je pose une question :
"quels sont (seraient) les avantages de la définition par le graphe seul, sans l'espace d'arrivée ?"
on parle de surjection de (...) dans (...) au lieu de surjection (l'énoncé formel définissant la surjectivité contient fondamentalement 3 paramètres et non un seul) tout court quant aux opérateurs on dit que c'est un couple avec un certain sous-espace vectoriel dense et une fonction. C'est-à-dire qu'on a un énoncé formel $O_p$à $10$ paramètres $E,+_E,\times_E,N_E,F,+_F,\times_F, N_F,H,u$ tels que $Op(E,+_E,\times_E,N_E,F,+_F,\times_F, N_F,H,u)$ signifie "$u$ est une fonction ("minimale"), contenue dans $E\times F$, $(E,+_E,\times_E,N_E)$ et $(F,+_F,\times_F,N_F)$ sont des espaces vectoriels normés sur $\R$ ", $Dom (u)$ et $H$ sont des sous-espaces vectoriels de $(E,+_E,\times_E)$, la restriction de $u$ à $dom(u)$ est linéaire(*),continue de $Dom (u)$ (muni de la topologie induite par $(E,+_E,\times_E,N_E)$) dans $(F,+_F,\times_F,N_F)$ et $Dom(u)$ est une partie dense de $H$."
Si on avait un prouveur qui permettait vraiment de travailler dans ZFC (j'ai juste COQ chez moi qui est très franchement différent) tu verrais que passer par les fonctions "minimales" est le plus rapide.
Il s'agit juste de traiter comme notion simple ce qui est simple et comme notion composite ce qui est composite.
(*) ce qu'on peut écrire comme "pour tous $x,y ,z,x',y',z'$, les relations $(x,y,z)\in +_E$, $(x,x')\in u$, $(y,y')$ in $u$ et $(z,z')\in u$ entraînent que $(x',y',z')\in +_F$ et pour tous $s,t,s',t',\lambda$, les relations $(\lambda,s,t)\in \times_E $, $(s',s)\in u,$ et $ (t',t) \in u$ entraînent que $(\lambda,s',t') \in \times_F$". Il n'y a pas besoin d'ensemble qui contient les objets pour "donner du sens" ou que sais-je même si ça peu faciliter la lecture.
NB: $(a,b,c)$ est une abréviation de $((a,b),c)$.
Moi je traite de bêtes applications entre ensembles, pas des structures ni des catégories.
Quand je me pose une question, comme « l'application machin est-elle surjective ?, injective ? est-elle un homéomorphisme ? etc. » j'ai besoin que me soient livré un triplet \((E,F,G)\) et pas seulement un graphe \(G\).
En fait tu demandes qu'on puisse dire "une fonction est une surjection" (au lieu de "surjection de ceci dans cela"), mais pour la notion d'homéomorphisme on va avoir un problème qui est de toute façon qu'un RDO-triplet $(E,F,G)$ ne peut pas être intrinsèquement un homéomorphisme: il faudra mentionner des structures supplémentaires et dire que $(E,F,G)$ est un homéomorphisme des espaces topologiques $(E,s)$, $(F,t)$. L'application qui à $x\in \R$ fait correspondre $x-1$ si $x$ est entier et $x$ sinon est un homéomorphisme de $(\R,t)$ dans $(\R,t)$ lorsque $t=\{\R,\emptyset\}$.
Pourquoi les choix de formalisation seraient-ils tenus de faire en sorte que la notion de surjectivité soit intrinsèque à une fonction quand ils ne le font pas (comment le pourraient-ils) pour des choses telles que les notions d'homéomorphisme, de morphisme d'anneaux, d'application linéaire entre espaces vectoriels, de difféomorphisme entre variétés ?
Dans les rédactions pratiques tout est implicite (car implicitement compréhensible et on ne souhaite pas que le préambule du moindre exercice fasse une page) mais pas intrinsèque pour autant.
Bah même avec cette définition, A et B restent les ensembles de base sans la structure, c’est pas ((A,+,.),(B,+’,.’),graphe)
Donc si graphe a la propriété d’être morphique sur A ou B en tant qu’anneaux Ou en tant que groupes ça se verra pas sur le triplet, A et B ils bougent pas c’est ce qu’on rajoute au uplet (A,+,.) qui change si jamais A « peut l’accepter » ?
Édit: à moins que ton A et B ce soient les triplets (A,+,.) et (B,+´,.’) pour moi mais c’est plus la définition donnée au-dessus parce que graphe n’est plus une partie de AxB alors.
Mais bon, je suis convaincu que tout ceci n'a aucune importance, et personnellement je préfère la définition comme ensemble de couples tel que blabla.
1) Je définis, comme tout le monde, un anneau comme un quintuplet tel que blabla, et un groupe comme un triplet blabla.
2) Je définis un GA-morphisme de groupes comme un triplet $(G,H,f)$ où $G$ est un groupe (et donc un triplet blabla), $H$ est un groupe, et $f$ est une application de la première coordonnée de $G$ vers la première coordonnée de $H$ qui vérifie blabla.
3) Je définis un GA-morphisme d'anneaux comme un triplet $(A,B,f)$ où $A$ et $B$ sont des anneaux (donc des quintuplets blabla) et $f$ est une application de la première coordonnée de $A$ vers la première coordonnée de $B$.
4) Un GA-morphisme d'anneaux n'est jamais un GA-morphisme de groupes (à moins qu'un anneau quintuplet soit un groupe triplet).
5) (et c'est la seule de ces phrases qu'on peut juger non pertinente et/ou hors-sujet) Je pense que les arguments qui peuvent pousser une personne à définir une fonction comme un triplet peuvent être appliqués à cette situation, et devraient pousser cette personne à définir un morphisme de groupes comme un GA-morphisme de groupes.
Si 5) ne vous plaît pas, tant pis, je ne le défendrai pas plus !
Désolé pour le flood...
La phrase "$f$ est un morphisme d'un groupe $G$ dans un groupe $G$'" signifie la même chose que "$(G, G', f)$ est un morphisme de groupes". La phrase "$f$ est un morphisme de groupes" sans référer implicitement ou explicitement à des groupes $G$ et $G'$ n'a aucun sens : être un morphisme de groupes n'est pas quelque chose qui dépend uniquement du graphe du morphisme (si $(G, G', f)$ est un morphisme de groupes, il n'y a aucune raison pour que $(H, H', f)$ soit un morphisme de groupes). Quand on dit qu'un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes, on se réfère bien sûr aux groupes sous-jacents; c'est la même chose quand on passe des groupes aux applications.
Ainsi, par exemple, si on se demande si, pour certaines structures, la propriété d'être un épimorphisme implique celle d'être une surjection, c'est parce qu'on a une notion (souvent évidente) d'ensemble sous-jacent pour cette structure.
1/ @marsup: je ne connais ni Haskell, ni "maybe" (joli nom :-D ). Mais Haskell je devine (je connais de nom et on m'a dit que c'est le caml américain, donc pas de souci, si tu veux me parler de Haskell, je peux suivre). Par contre "maybe", jamais entendu parler.
2/ Pour en revenir à def1 VS def2, de toute façon, il me semble utile de rappeler que ce qui est archivé par l'académie des sciences, ce sont des énoncés formels (donc plus que précis), écrits avec $\forall ; \to; \in$ et rien d'autre. La notion de définition n'est pas mathématique (autre que pratique). . Dit comme ça, c'est évidemment largement outrancier, mais chacun comprend, j'imagine, ce que je dis: les définitions sont des abréviations, ce qui compte c'est le théorème prouvé (et pas de savoir si on a mis "le mot en toute lettre ou son abréviation" dans l'énoncé). L'usage est généralement d'essayer de bien sourcer les choses, c'est tout
3/ Il y a eu un point qui m'a gêné (il y a 15-20H sur le fil, je ne parle pas des trucs récents), c'est de voir qu'il semble ignoré que j'ai déjà tout traité dans un fil unique il me semble, il faudra que je le cherche, et en particulier, j'ai détaillé cette hésitation que ressentent certains (plus particulièrement les partisans des "fonctions qui vont à la piscine tout habillées) entre adjectif et nom commun. Ils semblent préférer les "noms communs" comme si "c'était mieux". Ils semblent préférer "un carré" à "être carré". C'est un sujet que j'avais détaillé dans le passé: en maths (en vraies maths), les noms communs ça n'existent pas. On peut les créer par confort poétique, mais il n'y a pas de notion de nom commun. Il n'y a que des adjectifs (adjectif = verbe = ensemble). Or ils semblent évoquer un besoin qui est par nature fautif en maths (celui de voir des noms communs).
Du coup, on a vu une sorte d'hésitation à accepter l'expression articulée suivante:
<< $f$ est surjective de $E$ sur $F$>> abrège $<<codom(f) \supset F$ et $f$ est une fonction et $dom(f)\subset E>>$
Parce qu'ils auraient préféré pouvoir avoir une expression du genre $<<f$ est une surjection$>>$ (nom commun: un chien, un chat, un bar, une surjection etc)
Ce besoin de plaquer le français (ou autre langue de com) est respectable, mais attention, il n'est pas matheusement fondé. La "vraie" structure mathématique est essentiellement l'écriture polonaise (par exemple, on a <<Surjection(f,E,F)>> qui va abréger quelque chose, et l'adjectif "Surjection" sera créé) et le confort "accessoire" est de mettre des petits mot doux, du genre "de .. sur". Du coup, la seule chose qui reste du débat est dans l'arité:
Préfère-t-on $<<Surjection(f)$ à $Surjective(f,A,B)$?
Ma position est peu discrète, j'ai maintes fois dit que je préfère largement le deuxième. Après je n'ai pas vraiment la patience de reprendre tous les points du débat Bourbaki vs TDE car comme je l'ai dit en début de fil, à la fin on n'a que des théorèmes, les abréviations... on s'en f...
Cela dit, l'expérience m'a montré que bien des spécialités (mais à pour leur défense, elles mènent une campagne politique pour leur reconnaissance depuis une cinquantaine d'années, donc, avec les dégâts collatéraux excusables qui vont avec) font énormément de délayage inutile en ayant fait ce que je considère comme cet extrême mauvais choix bourbakiste de considérer les fonctions tout habillés et de sortir des histoires "d'inclusion" avec de la salive plein la bouche.
Mais je n'ai pas la patience de faire partager ce soir cette expérience. Je mets juste en garde sincèrement. Il y a une bien réelle campagne tacite en faveurs de tout un tas de choses, leurs défenseurs sont sincères dans leurs croyances (typage, emphase d'une expression comme "théorie homotopique des types", etc), j'ai même vu un jeune qui a débarqué sur le forum, les yeux plein d'espoirs et croyant ces trucs profond ouvrir un fil dans la rubrique. Comme dans toute campagne "politique", même si le produit est de qualité, les espoirs qu'on fait naitre sont disproportionnés par rapport à la réalité du sujet.
Comme je l'ai souvent répété, c'est en ne typant pas (tous les objets ont même et unique type et s'applique les uns aux autres) qu'on accède à autre chose que le diophantien et la classification profonde de la force des théories. Typer apporte une sécurité que justement on ne peut pas se permettre d'espérer si on veut "monter". Maintenant ça n'enlève pas leur intérêt en algèbre et au premier ordre, bien entendu, mais je suis loin d'être convaincu que les "clients appâtés" cherchaient, en entrant dans la boutique, ou en appelant le numéro vert, ce que les promoteurs des catégories et du typage veulent vraiment partager... Et ça me parait un malentendu conséquent, même si évidemment, il y a pire dans le vie (euphémisme).
Ce n'est pas une attaque même si cela y ressemble.
Bon, j'arrive sur le problème des noms communs. Franchement, tu n'es pas sérieux là, tu fais exprès, non ?
Un rectangle, bon sang. N'a-t-on pas le droit de définir ce nom commun ?
Ou alors, je suis à côté de la plaque...
Un beau matin, un gars s'est réveillé et a dit : "Eurêka, il faut prendre des monades".
Alors, en gros, une monade est un type particulier de foncteur avec d'avantage de structure.
(dans la catégorie $Hask$, les objets sont les types, et les flèches sont les fonctions)
L'un des sous-produits des monades, et la monade la plus simple est "Maybe"
qui associe à un type $A$ le type $Maybe(A)$.
Ce type est susceptible de stocker 2 familles de trucs :
soit $Just(a)$, c'est-à-dire une vraie valeur $a \in A$,
soit $Nothing$, c'est-à-dire, dans ton langage : UNDEFINED.
Et donc avec ça, la fonctorialité, c'est que toute fonction Haskell $f : A\to B$ peut-être utilisée avec des $Maybe$ : ça donne $Maybe(f):Maybe(A) \to Maybe(B)$.
Et aussi, si tu as une fonction qui est déjà en $Maybe(A) \to Maybe(B)$, tu peux la composer avec d'autres fonctions "honnètes", ou bien des fonctions $Maybe$, ou n'importe quelle combinaison.
(grâce à la propriété des monades, je ne développe pas, on ne se retrouve pas avec de $Maybe(Maybe(\dots))$, mais juste des $Maybe(\dots)$ simples)
Par conséquent, ce truc des $Maybe$ permet d'avoir un excellent environnement fonctionnel, très pur, au sein duquel, on peut sans mal introduire des "cochonneries" de fonctions avec valeurs interdites, et la gestion de la propagation des valeurs interdites se fait correctement et nativement au sein de la monade $Maybe$, sans avoir à corrompre le formalisme général avec cette thématique de gestion d'erreurs, qui est un peu exogène.
Ce que je lis sous ta plume, avec l'autorisation automatique de valeurs interdites, me fait un peu penser à ce que j'ai compris de la situation d'Haskell avant qu'ils aient trouvé cette technique géniale des monades.
En gros, ma question est la suivante :
"Est-ce très utile de bricoler pour construire à un très bas niveau (ensembliste, dans ton exemple) telle ou telle propriété, sachant, qu'à un niveau formellement plus élevé (ici, la monade $Maybe$), on peut avoir une gestion délocalisée, autonome de la problématique qui t'intéresse ?"
Je sais bien qu'un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes entre les groupes sous-jacents, ai-je d'ailleurs affirmé le contraire ? Tout comme "être une surjection" n'est pas quelque chose qui dépend uniquement du graphe de la fonction.
Rassurez-moi, on est bien en train de discuter de l'esthétique de deux différentes manières d'implémenter des choses dans un langage ensembliste ?
Je suis aussi étonné que tu parles de bricolage à propos des notions "comme elles sont" . Justement me semble-t-il la question c'est pourquoi les gens au lieu d'apprendre la TDE préfèrent y rester ignares en dire le plus de mal possible et faire semblant "d'aller vers le profond " alors sue justement... ils bricolent. J'ai même une fois lu sur le forum un gars qui disaient "on code ceci cela dans ZF.." c'est à dire qu'il s'y connaissait tellement peu qu'il n'avait pas réalisé que justement ce qu'on fait généralement t meme tout le temps c'est de coder les choses (teles qu'elles sont ie definies sans codage ensemblistement) dans tout un tas de théories + ou - calculatoire et ambitieuses. Et c'est justement la que les types interviennent. Pour tenter de retrouver un "naturel" perdu en cours de route.
Je crois qu'il y a confusion entre axiomes et définitions. Qu'on s'oppose à ZF en tant que système d'axiomes est une chose mais là il n'est pas question de ça. A moins que tu considérés les notions de cardinal et d'ordinal comme des codages :-D sinon j'ai du mal à comprendre pourquoi tant de personnes font tant d'efforts pour essayer de faire passer pour de la politique une simple ignorance ou paresse de se mettre à niveau.
S
Ma position à moi, c'est que les fondements de la logique ne m'intéressent pas plus que ça.
J'ai du mal à comprendre l'intérêt de changer la notion de fonction "pour tout le monde" si c'est juste pour obtenir des bases plus agréables pour telle ou telle construction qui t'intéresse ces jours-ci...
J'ai l'impression que les mathématiques, logique ou pas logique, sont capables de parler de pas mal de choses.
L'exemple que je donnais avec Haskell, c'est justement ça :
Au lieu de faire de la logique de bas niveau, on part d'une logique raisonnable, à partir de laquelle on fait ce qu'on a envie de faire avec des vraies mathématiques, et tout le monde est très content, et personne ne s'arrache les cheveux.
EDIT : D'ailleurs on en parle sur ce fil.
J'avais bien sûr trouvé ce fil, en googlant "CCH logique" !
Mais nulle part l'abréviation n'est définie, quelle misère ce manque de rigueur !! :-D
EDIT : Rajout de mots manquants, en gras... Désolé !
Google n'a pas trouvé ma réponse de la signification de l'abréviation, il avait juste trouvé le fil de Christophe, dont le titre est ce sigle.
C'est justement pour ça que je demandais à Christophe avant que Georges ne me réponde.
C'est respectable (et je le fais aussi ça pourrait même s'appeler "inspection systématique") par contre je suis critique avec leur com.
Je te prends un exemple bête: un jour j'ai lu sous la plume d'un matheux militant et chevronné
<< msieurs dames [forall x in y : A] ne veut absolument pas dire [forall x: si x in y alors A]>>
C'est de la com inacceptable quand on sait ce que ça peut induire mis entre des mains béotiennes. Je ne dis RIEN de plus!
J'en propose une qui est un peu plus courte que celle d'usage (dont je pense qu'elle est motivée par des mauvaises raisons cependant celle de RDO est parfaitement précise et rigoureuse; ce n'est pas ça que j'avais voulu critiquer).
Il y a deux choses assez distinctes en maths (mais qui ne s'opposent pas: ce n'est pas les catégories CONTRE les ensembles)
On peut considérer que
1°) Les maths sont une activité foondationnelle (où on donne les définitions en dur)
2°) les maths sont manipulation de cahiers des charges comportementaux des objets.
Par exemple si $\mathcal C$ est une catégorie avec objet final $\mathbf 1$, <<l'ensemble des entiers >> est un objet initial de la catégorie $\mathcal R$ dont les objets sont les triplets $(X,i,f)$ avec $i:\mathbf 1 \to X$ et $f:X\to X$ (il me semble que c'est une idée de Lawvere; $\mathcal R$ pourrait s'appeler la "catégorie des relations de récurrence" ).
En fait je suis assez convaincu que s'il y a des civilisations extra-terrestres avancées, ils auront presque sûrement une notion d'entier qui correspond à ça, mais que par contre il n'y a quasiment aucune chance qu'ils aient découvert les cardinaux.
On cherche à dire ce qu'est le comportement des objets, à les identifier par ce qu'ils font.
La théorie des ensembles permet des implémentations différentes mais qui se valent toutes certes.
Par exemple soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un ensemble. Si $E$ est un ensemble et $M$ est un anneau ou bien $\N$, on note $M^{(E)}$ l'ensemble des $x\in M^E$ tels que $\{i \in E\mid x_i \neq 0\}$ est fini. Soit $L_1(I):=A[X_i,i \in I]$ (= $A^{\left( \N^{(I)}\right )}$ muni d'une structure d'anneau idoine). Soit $R(I):= \oplus_{n \in \N} \otimes^n A^{(I)} $ et $L_2(I):=R(I)/J_{A,I}$ ($J_{A,I}$ désigne l'idéal engendré par les $x\otimes y - y \otimes x$ où $x,y \in A^{(I)}$).
Soit $O$ le foncteur oubli de la catégorie des $A$-algèbres (i.e si $B$ est une $A$-algèbre alors $O(B)=B$ vu comme ensemble).
Alors $L_1$ et $L_2$ sont tous les deux des foncteurs adjoints à gauche de $O$ et donc réalisent le même "objet": l'anneau des polynômes sur $A$ avec indéterminées indexées par $I$.
NB: en maths si $\mathcal C$ est une catégorie quelconque et $\Omega:\mathcal C \to Ens$ un foncteur covariant, on peut, étant donné un ensemble $E$, appeler objet libre sur $E$ dans $\mathcal C$ un couple $(X,\beta)$ où $X$ est un objet de $\mathcal C$ et $\beta:E \to \Omega(X)$ une fonction (appelée une "base" )telle que pour tout objet $Y\in E$ et toute fonction $\varphi:E \to \Omega(Y)$, il existe un unique $f\in Hom_{\mathcal C}(X,Y)$ tel que $\Omega(f)\circ \beta=\varphi$. La possibilité de construire systématiquement pour tout ensemble $F$ un objet libre sur $F$ dans $\mathcal C$ est équivalente à l'existence d'un foncteur $\Lambda: Ens \to \mathcal C$ adjoint à gauche de $\Omega$. Cette circonstance se produit pour toutes les catégories "élémentaires" des maths: magmas, monoïdes, anneaux, groupes, espaces vectoriels sur un corps fixé, etc, avec à chaque fois $\Omega$ égal au foncteur d'oubli.
Y a-t-il unicité de tels objets? Non mais ça n'a aucune importance: il s'agit d'authentiques détails d'implémentation.
Est-ce que ces constructions sont superflues? non, car en maths on est contraint de prouver que les objets dont on se sert existent (vous n'avez jamais besoin d' un $t$ tel que $P(t)$ pour montrer $\left(\exists t:P(t) \right) \Rightarrow Q$ mais vous avez absolument besoin d'un $t$ tel que $P(t)$ pour montrer $Q$ si vous souhaitez passer par $\left(\exists t:P(t) \right) \Rightarrow Q$).
Les cardinaux, ordinaux sont des détails d'implémentation eux aussi n'en déplaise à Christophe (même si ça va être dur de faire plus court que la définition actuelle, mais regarder dans Bourbaki où ils en donnent une définition complètement différente de celle d'usage courant).
L'objectif des maths n'est pas de faire de l'essentialisme.
L'analogie avec le faux dilemme programmation haut/bas niveau est très bonne au demeurant:
D'un côté vous avez un puriste qui considère que le langage machine est le seul véritable langage légitime (allez l'assembleur pour faire des concessions) et de l'autre une personne qui se retrouverait parachutée sur une île déserte et qui déclare qu'il ne veut faire que la programmation orientée objet, que le but du développement n'est pas de faire des petits calculs etc: il est bien gentil mais il faut construire l'ordinateur d'abord, quant à l'assembliste, ce n'est pas lui qui va vous faire un site web ou un jeu vidéo.
Je ne suis pas idéologue, je poste juste pour dire le truc désagréable suivant: une partie des gens cache son ignorance et balance des idioties en réclamant le statut "opinion comme une autre". (Je ne parle pas spécialement des gens du forum, mais en beaucoup plus général).
La TDE est typiquement victime de ça: tout le monde travaille dedans tout le temps, mais très peu sont conscients qu'ils le font. Ce n'est pas grave, mais les lire ensuite écrire qu'ils n'avaient pas besoin de TDE (alors qu'ils en ont fait un gros usage) est pathétique (mais je suis triste pour eux, pas pour moi, moi, personnellement, mon dada c'est d'essayer un jour de prouver la contradiction de ZF, je ne suis en rien un défenseur de sa consistance)
Par exemple, ça ne me déplait pas ce que tu dis, mais tu écris deux choses (et toi, pourtant tu t'y connais bien mieux que la moyenne des mathématiciens en TDE) assez involontairement hilarante:
1/ s'il y a des civilisations extra-terrestres avancées, ils auront presque sûrement une notion d'entier qui correspond à ça, mais que par contre il n'y a quasiment aucune chance qu'ils aient découvert les cardinaux.
Tu ne sembles pas avoir "réalisé" que ce sont les cardinaux qui viennent avant les entiers. Tu voulais probablement parler de cardinaux infinis. Mais, de toute façon "accuser les E.T." d'être peu probablement ouverts à l'infini est assez exotique comme opinion. La notion de nombre entier est complètement artificielle et typiquement humaine, sauf quand on rappelle que ce sont les cardinaux finis. Les opérations de somme ( cardinal de réunion disjointe) et de produit (cardinal de $\{(x,y) \mid x\in A$ et y\in B\}$), mais pas seulement, les preuves de leurs propriétés sont transmises telles quelles dès l'école primaire (et même avant en maternelle). C'est un euphémisme de dire que j'ai tâté ça de près il y a 30 ans quand j'étais responsable d'un institut pour autistes/surdoués/attardés et que je m'arrachais les cheveux avec un garçon handicapé qui ne savaient pas compter, mais savait identifier des ensembles équipotents.
2/ quant à l'assembliste, ce n'est pas lui qui va vous faire un site web ou un jeu vidéo. Tu as raison pour l'informatique, mais tort pour les maths ici, c'est ce que j'ai dit ce matin de mon téléphone en signalant à marsup qu'il oublie que l'analogie s'arrête avant cette différence. J'ai maintes fois eu l'occasion de montrer que les corpus imbitables et délayées de 1000 pages 1er et 2ie cycle universitaire en étude de maths tiennent en réalité, preuves comprises, en 10 à 20 pages (j'ai d'ailleurs presque fini un doc pour mes élèves de TS où je leur livre l'intégrale de l'année de math sup en 8-10 pages je pense (je dois en êrte à 6), preuves comprises (pas formelles mais presque). Evidemment, il faut accepter de dire les choses comme elles sont (ie de faire un usage intensif de la notation $\{x\mid blabla\}$). L'analogie avec l'assembleur a vraiment cette limite IMPORTANTE.
Je ne souhaite pas dire du mal des gens qui font autre chose, qui typent, etc, moi-même m'y connais quand-même relativement à cette spécialité, mais une fois de plus les motivations et les avantages présentés en guise de promotion sont faux. Alors qu'il existe de réels avantages unificateurs, en particulier pour les structures algébriques, à s'exercer à ce paradigme. Mais on ne présente pas les bons avantages: j'avais déjà eu l'occasion "d'aboyer" à ce propos dans des fils passés que j'intitulais + ou - "unification VS fondation". Je me répète, il faut arrêter de berner les béotiens avec le mot "fondation" quand on veut vendre un produit unificateur. A l'évidence les grosses productions de recherche scientifique professionnelle sur les topos, les catégories, etc, n'ont strictement rien d'évident ou de maniable par l'homme de la rue ou l'enfant de 5ans, donc ça n'a rien de fondateur.
C'est tellement commode pour rédiger, communiquer****, formaliser etc.
Les élèves du secondaire et les étudiants manipulent ces ensembles.
On n'a pas mieux pour rédiger.
De là à dire qu'il faut connaitre du bout des doigts la TDE, je ne suis pas d'accord.
De là à dire que le nombre $5$ est un ensemble, je n'en vois pas l'intérêt à la genèse des enseignements.
Est-ce bien ce que tu dis ? Au moins un peu ?
Si je m'égare, alors dis-le.
****[small]merde alors, ça fait penser à des compétences du socle, loin de moi ces idées malheureuses.[/small]
Rappel: a espace b (autrement dit) << a b >> est, ou bien synonyme de <<a(b)>>, si sa valeur n'a pas vocation à être une phrase ou bien synonyme de $b\in a$ (quand on accepte que <<a b>> a un statut de phrase)? Bien sûr, j'ai choisi arbitrairement un sens, puisque dans des langues comme le français, c'est plutôt $a\in b$ que $b\in a$ ($[Medor mange ]$ est plutôt vu comme $Medor\in MangeursEnCeMoment$) que $Manger\in LesMedorsMangeant$, mais c'est anecdotique)
On peut prouver (c'est trivial en fait) que "tout est fonction" ou "tout est ensemble" c'est la même chose. C'est plus ou moins pour privilégier les phrases "complètes" (éducation des petits j'imagine, ou marque de ponctuation) qu'on ne note pas << Maison(Toto)>> par $<<Toto\in Maison>>$, alors que <<Toto est bleu>> est noté $Toto\in EnsDesTrucsBleus$ (ou tout simplement $Toto \in Bleu$).
Mais en essence, $f(x)$ et $x\in f$ ont même statut.
Comme je l'ai (alors certes, c'était un peu laconique) plus haut, vous confondez (et foys, sans vouloir t'offenser, à te lire en détails, il me semble bien que ça t'a échappé et que tu confonds bien, c'est pour ça que je dis "vous") complètement les reproches de contradiction*** qu'on peut faire à la TDE(que j'appelle souvent originelle) et les efforts "anecdotique" de bridage qui ont été faits avec le choix de ZF plutôt qu'un autre, avec le présent deuxième débat linguisitique, qui concerne la "vraie" TDE et non le choix de ZF.
Ce sont deux débats TOTALEMENT DISJOINTS à mon sens. Par ailleurs, même si on voulait évoquer l'artificialité de ZF, il faudrait être de mauvaise foi en partie car ZF n'est rien d'autre que l'axiome $<<$ toute expression de type phrase n'évoquant que des ensembles ayant chacun un "pas trop gros cardinal" peut recevoir une valeur dans $\{vrai; faux\}>>$ et critiquer le naturalisme de ce seul axiome qui génère la TOTALITE de la science officielle** actuelle nécessite un peu de mauvaise foi, quand on voit de soit disant vendeurs de systèmes alternatifs se noyer dans 1000 propositions ultra-techniques, avec de subtiles histoires de type que personne ne capte, ne provoquant aucun consensus, etc et complètement ubuesques, sauf pour les chercheurs payés 3000E/ mois qui y bossent quotidiennement.
[small]*** rappel: la TDE est contradictoire si on souhaite voir les phrases comme toutes dans $\{vrai; faux\}$, car avec l'abréviation $a:x\mapsto non(x(x))$, on obtient $a(a)=non(a(a))$, ce qui interdit à la phrase $a(a)$ d'être dans un $\{vrai; faux\}$ tel que $vrai\neq faux$ et $non$ étant l'involution sans point fixe usuelle que vous devinez.[/small]
[small]** les propriétés de IR (et l'analyse) sont constamment nécessitées par les travaux de 99% au moins des chercheurs (et à part les admettre, évidemment, aucun système prétendument "naturel" ne les donne).[/small]
Pardon, j'ai oublié un astérisque: en choisissant l'un quelconques des bijections naturelles (CantorB) entre $V^2$ et $V$, tout ensemble est une fonction en posant
$$ a(b):= \{x\mid (b,x)\in a\}$$
et tout fonction est un ensemble, sans changer la notation ci-dessus en posant
$$ a_f := \{(x,y) \mid \exists z: (x,z)\in f\ et\ y\in z\}$$
pour aller dans le sens de sieur Dom, ton absence de modestie, ton anti-pédagogisme, ta manière d'écrire cash sur divers sujets font de toi quelqu'un de très intéressant et d'attachant, à mes yeux, avec qui j'aimerais bien passer mes vacances, mais aussi, quelqu'un d'agaçant, obtus ( = fermé à la remise en question parce que convaincu d'avoir tout le temps raison) empli de contradictions et d'inconstance que je perçois dans et au delà de tes posts ( = entre les lignes).
Cette remarque serait mieux dans le fil qui se nommait approximativement "quelle image j'ai sur ce forum ?" mais j'ai la flemme de le chercher.
Par ailleurs sieur Foys je ne comprends rien à ce que vous dites sur les histoires de types, pourriez-vous m'indiquer quelques [EDIT ,]références à vos yeux. C'est lié à HoTT ?
S
> J'ai maintes fois eu l'occasion de montrer que les
> corpus imbitables et délayées de 1000 pages 1er
> et 2ie cycle universitaire en étude de maths
> tiennent en réalité, preuves comprises, en 10 à
> 20 pages (j'ai d'ailleurs presque fini un doc pour
> mes élèves de TS où je leur livre l'intégrale
> de l'année de math sup en 8-10 pages je pense (je
> dois en êrte à 6), preuves comprises (pas
> formelles mais presque).
Tiens j'aimerais bien voir ça xD
Pour rappel, voici le programme; (pour le programme détaillé, voir cette page).