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Synthèse sur les anneaux commutatifs 3

Envoyé par christophe c 
Synthèse sur les anneaux commutatifs 3
il y a deux années
Je continue mon fil (quej'ai retrouvé avec google grinning smiley ) : [www.les-mathematiques.net]

Je commente des remarques récentes d'un autre fil.

1/ Lemme classique: dans un anneau noethérien, tout idéal contient un produit fini d'idéaux premiers (c'est évident par le fait qu'il n'y a pas de contre-exemple maximal, qui serait alors un idéal premier, donc contiendrait un produit d'idéaux premiers). En particulier, il existe un produit fini d'idéaux premiers qui donne (0)

2/ Lemme général: si un idéal premier contient un produit fini d'idéaux, il contient l'un des facteurs. il y a donc un nombre fini (dans un anneau noethérien) d'idéaux premiers minimaux). Mais c'est là une "idiotie morale". Dans un anneau noethérien $A$, tout ensemble fermé (au sens de la topologie induite par celle, produit, de $2^A$) d'idéaux contient un nombre fini d'idéaux minimaux. L'ensemble des idéaux premiers n'est qu'un cas particulier.

3/ Lemme de Nakayama: Claude écrit dans $^{(1)}$, je cite "ce n'est rien de plus que Cayley-Hamilton". Certes, mais sauf erreur de ma part, c'est beaucoup beaucoup beaucoup moins. Le lemme de Nakayama est "trivial" alors que CH n'a rien de trivial et concerne le déterminant qui est une des trouvailles (à mon sens encore mystérieuse) les plus géniales et encore un peu mal comprise de l'histoire des sciences.
Si $M$ est un $A$ module engendré par $(e_1,..,e_n)$ (l'anneau $A$ est commutatif quelconque), $J$ un idéal de $A$ et $JM=M$, alors il existe $d\in J$ tel que $\forall x\in M: dx=x$.

Preuve (sans déterminant):
3.1/ rendre inversibles les éléments de $1+J$ (à noter que ce faisant les dénominateurs seront tous dans $1+J$)

3.2/ Noter qu'alors, comme $(1-y)e_1 = x_2e_2+..+x_ne_n$ (pour de bons $y,x_i$ dans $J$), il suit $e_1 = rx_2e_2+..rx_ne_n$, donc qu'on peut retirer $e_1$ après cette modification de l'anneau.

3.3/ Appeler récursivement $a,b$ dans $J$ tels que $\forall x\in M: x = \frac{a}{1+b} x$

3.4/ Gagner que $\forall x\in M: (1+b)x = ax$, donc que $\forall x\in M: x = (a-b)x$

3.5/ Rendre valide cette preuve en corrigeant ses bêtises (l'annulation des $s\in A$ tels qu'il existe $c\in J: (1+c)s=0$


4/ Puissance du déterminant: est un peu de même nature que l'alternance de quantificateurs sauf qu'on alterne des $(-1)^n$. Je rappellerai une preuve classique (avec des formes alternées) ultérieurement (à l'edit).

5/ Puissance du déterminant: voici un exemple de théorème (où je fais exprès de NE PAS mentionner le déterminant) que je trouve assez subjuguant. il a l'avantage que quelqu'un qui ne connaitrait pas le déterminant serait obligé de l'inventer. Dans la suite je dis que des vecteurs sont ultraliés quand il y a une combinaison linéaire qui les lie et dont les coefs engendrent l’anneau tout entier. Soit $M$ une matrice avec $n$ lignes, mais éventuellement un cardinal infini très très grand de colonnes. On suppose que toutes ses matrices extraites $n\times n$ ont des lignes ultraliées. Alors les lignes de $M$ sont liées.

6/ On pourrait peut-être fusionner l'ancien fil avec celui-ci et mettre le tout dans Fondement et logique?



(1) [www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par christophe c.
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