Dougherty-Foreman

jojolaguimauve · June 2019

Bonjour
Je ne sais pas si il y a déjà un fil sur le sujet, mes excuses si c'est le cas. J'ai récemment entendu parler du théorème de Dougherty-Foreman, l'énoncé est le suivant.

Soit $n \in \N_{\geq 3}$ et $A,B$ des ouverts bornés de $\mathbb{\R^n}$. Alors il existe des ensembles mesurables $A_1,\ldots,A_n$ et $B_1,\ldots,B_n$ tels que pour tout $1 \leq i \leq n,$ $A_i$ et $B_i$ sont isométriques, de plus $A \subset \overline{\bigcup_{i=1}^n A_i}$ et $B \subset \overline{\bigcup_{i=1}^n B_i}$.

Ma première question est très pratique. J'ai trouvé cet énoncé à divers endroits d'internet mais je ne trouve pas de papiers avec la preuve, quelqu'un a-t-il une référence ?

Et j'ai une deuxième question d'ordre plus "philosophique". J'ai l'impression que ce résultat est aussi contre-intuitif que Banach-Tarski, il n'utilise pourtant pas l'axiome du choix. Qu'en pensez-vous ?
Cordialement.

Maxtimax · June 2019

Pour la première, je ne sais pas.

Pour la deuxième : bah oui, d'ailleurs même quand tu fais la preuve de Banach-Tarski, tu n'utilises l'axiome du choix qu'à un endroit: tu devrais en chercher des preuves, les preuves standard d'ailleurs ont en général des résultats intermédiaires sans axiome du choix tout aussi "choquants" que Banach-Tarski. Le fait de dire que la contre-intuitivité du théorème de Banach-Tarski c'est quelque chose d'assez non-informé: ce sont les maths et l'infini qui sont "contre-intuitifs"; une fois qu'on les a, l'axiome du choix, lui, est tout à fait "intuitif".
Je ne sais pas si historiquement ça a simplement été de la "propagande" pour dire que l'axiome du choix c'est pas bien, ou si c'est juste une erreur qui n'a jamais été corrigée.

EDIT : en cherchant un peu, j'ai trouvé l'article original de Dougherty et Foreman, accessible librement en pdf : ici

christophe c · June 2019

Enoncé comme ça, c'est si dur à prouver??? (Ou alors je ne suis pas réveillé :-D )

christophe c · June 2019

Une remarque (même une fois que l'énoncé sera devenu non trivial). La plupart des gens traitent les ensembles maigres comme des "petits ensembles". Il n'en est rien.

Il "se trouve" que les ouverts denses peuvent être "très petits". (Je rappelle que pour avoir un ouvert dense, vous prenez n'importe quel dense (en particulier dénombrable) et pour chacun de ses points, vous l'enrobez d'un petit intervalle ouvert le contenant).

Autrement dit, on peut faire en sorte que ce qu'il y a "à l'extérieur" ce soit vraiment "la Terre entière", qui sera pourtant qualifiée de "maigre".

C'est ce qui fait que, sans AC, on peut supposer que tout ensemble est ouvert "à un maigre près" (certes, a-t-on envie de répondre, mais le maigre en question est ... gros)

Idem, sans AC, prenant une fonction QUELCONQUE, $f$ et pour chaque couple de rationnels $r,s$, un ouvert $U(r,s)$ égal à $\{x\mid f(x)\in ]r,s[\}$ à un maigre $M(r,s)$ près, vous obtenez que $f$ est continue sur $\R\setminus (\cup_{(r,s)\in \Q^2}\ M(r,s))$, la partie retirée étant maigre.

Voilà, je ne veux pas être "tue-l'amour", mais la maigreur, hum hum.

Maxtimax · June 2019

Christophe : oui évidemment il faut ajouter que $A_i\subset A, B_i\subset B$ sont des sous-ensembles ouverts.

jojolaguimauve · June 2019

Oh oui autant pour moi une hypothèse manquait!

Merci pour vos réponses.

Il y a une petite chose que je ne comprends pas. Dans $\R^3$ on considère A la boule ouverte centrée en 0 de rayon 1 et B la boule ouverte centré en 0 de rayon 650. Pour les $A_i$ et $B_i$ je conserve les notations du théorème. Une isométrie conserve le diamètre. Donc si je considère dans B chaque point de coordonnées $(0,0,3i)$ pour $i \in \N$. Il y a plus de tels points que de copies de $A_i$, pourtant chaque copie de $A_i$ ne peut contenir qu'un tel point il existe donc un point $x \in B / \cup B_i$ non isolé.

Mon contre-exemple est certainement erroné, je veux bien un coup de mains pour débusquer l'arnaque

Sinon je suis assez convaincu que la non intuitivité réside plus dans la notion d'infini que dans l'AC, quand on y pense bien ni Banach Tarsky ni Dougherty Foreman ne sont si "mystiques" que ça.

Bonne journée,

Maxtimax · June 2019

Comment ça "il y a plus de tels points que de copies de $A_i$", qu'est-ce que ça veut dire ?
Dans $B$ tu vas avoir $\sim 200$ points de la forme $(0,0,3i)$. Quel rapport avec les $A_i$ ? Je ne comprends pas ton "contre-exemple", enfin je ne vois pas du tout ce que tu essaies de dire.

jojolaguimauve · June 2019

Chaque $b_i$ est à distance nulle d'au moins un $B_i$, maintenant un autre $b_j$ est à distance au moins 3 de $b_i$, mais comme le diamètre des $B_i$ est plus petit que 2 le $B_j$ à distance 0 de $b_j$ est à distance au moins 1/2 de $B_i$, en itérant ce processus $n$ fois on contraint les $B_j$, $b_{n+1}$est à distance non nulle de tous les $B_j$.

J'essaie de formaliser un peu plus. Comme les $A_i$ sont isométriques au $B_i$, les $B_i$ ont un diamètre au plus 2. Pour fixer les choses prenons $n=3$ et on note $b_i=(0,0,3i)$ alors pour tout $j$ il existe un $i_j$ et $a_j \in B_{i_j}$ telle que $d(b_j,a_j)< \frac{1}{2}$ mais alors pour tout $k \neq j$ $d(b_k,B_{i_j}) \geq 1/2$. Ensuite si on itère notre processus il existe $i_1,i_2,i_3 \in \{1,2,3\}$ tels que : \\
-pour $j=2,3$ $d(b_j,B_{i_1} \geq 1/2 $ \\
-pour $j=1,3$ $d(b_j,B_{i_2} \geq 1/2 $ \\
-pour $j=1,2$ $d(b_j,B_{i_3} \geq 1/2 $ \\
Mais alors $d(b_4,B_j) \geq 1/2$ pour tout $j$. \\

J'ai utilisé que $diam(B_i)=diam(A_i)$ peut être que je suis allé un peu vite en besogne et que j'ai mal interprété le mot isométrie? Je me suis aussi dit que peut être que l'erreur est que le $n$ qui apparait dans le théorème n'est peut être pas le même pour la dimension et pour le nombre de borélien? Mais ce que j'ai expliqué ci dessus s'adapte tant que l'on demande que le nombre de boréliens ne dépende que de la dimension.

Maxtimax · June 2019

Alors le $n$ qui apparaît dans la dimension n'a rien à voir avec le nombre de boréliens : regarde déjà en dimension $3$.
Et rien ne dit que le nombre de boréliens ne dépend que de la dimension non plus

jojolaguimauve · June 2019

Ok j'avais mal lu l'énoncé du théorème, comme ça, ça me va

Martial · June 2019

J'interviens juste sur un détail qui n'est pas l'objet essentiel de la discussion : je ne vois absolument pas ce qu'il y a de contre-intuitif dans Banach-Tarski.
A mon avis c'est un argument au ras des pâquerettes qui a été inventé par les anti-AC, genre : "vous vous rendez compte, si on accepte AC ou peut doubler une sphère blablabla".
Moi je ne vois carrément pas où est le problème : puisque les morceaux de la découpe sont non-Lebesgue-mesurables il n'y a aucune raison pour qu'en les recollant "à notre sauce" on obtienne une sphère de même volume.

Maxtimax · June 2019

Martial : je suis d'accord (j'ai mentionné cette possibilité en étant plus violent que toi dans mon premier message). C'est le même phénomène que le groupe libre sur $2$ éléments dont le graphe de Cayley est essentiellement lui-même en 4 versions.
Après, cet énoncé-là, lui, utilise des morceaux tout ce qu'il y a de plus mesurables puisqu'ils sont ouverts

christophe c · June 2019

De mon téléphone @martial le paradoxe est que tout ensemble DEVRAIT être mesurable. Dit autrement, l'axiome du choix permet de faire sentir aux univers qui le vérifient qu'il leur manque des réels. Je détaillerai un peu plus d'un PC.

christophe c · June 2019

Je parle de BS évidemment pas de DF.

christophe c · June 2019

Quand on considère les maigres comme "vides" y a-t-il une preuve qu'on ne peut pas le faire en dim 2 ?

Martial · June 2019

@Christophe : Tu peux me traduire BS et DF en français, STP ?

"Dit autrement, l'axiome du choix permet de faire sentir aux univers qui le vérifient qu'il leur manque des réels."
Là, effectivement, je veux bien que tu détailles

christophe c · June 2019

Banach Tarski (ah mince j'ai confondu avec Starski et Hutch) et Dougherty Foreman. Oui je détaillerai.

En un mot quand la sigma additivité n'est plus utile la mesurabilite non pas Lebesgue mais quelconque pour "la mesure de la Nature" ne passe peut être pas après ZFC disons.

Dougherty-Foreman

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 27