Vocabulaire demande aide diff et intégrales

Compte-tenu du fait que je préfère poster dans L1L2*** des "conclusions" (vocation du fil), je continue ici avec d'autres questions un peu vagues:

*** de mon téléphone montagnard, j'avais posté quelques posts un peu trop "interrogateurs" dans le fil L1L2: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1681272,1845624#msg-1845624

1/ Selon Anatole (réponse au pied levé, garantie 98% seulement), le tiré en arrière est un théorème de formes tensorielles (ie pas besoin de quotienter en écrasant les choses plates). Confirmation?

2/ Le calcul purement formel et symbolique qui donne Fubini, introduit un signe "moins":

$$ \int fab = - \int fba$$

où j'ai préféré ne pas noter $(dx,dy)$ le couple $(a,b)$.

Alors, certes, c'est du pur symbolique vide, il y a un cheminement assez long en dualité pour en arriver à le justifier plus profondément, mais il n'empêche qu'il résout un chti problème philosophique que je trouvais "un peu trop beau pour être vrai", je le décris maintenant plus en détails que dans l'autre post:

2.1/ $UxR(x)$ abrègera $\{x\mid R(x)\}\in U$

2.2/ Si un ultrafiltre sur $E$ vérifie Fubini , ie $\forall R: [UxUyR(x,y) = UyUxR(x,y)]$ alors il est principal. Ca, ça mérite de s'appeler de la magie.

2.3/ Hélas un ultrafiltre est à valeurs dans $\{vrai;faux\}$, donc à première vue, ça n'a même pas de sens de s'interroger sur $-$ (qui vaut $+$ dans $F_2$)

2.4/ N'empèche que si on remplace $(vrai,faux):=(0,1)$ par $(vrai,faux):=(1,-1)$, l'apparition du signe $-$ devient nettement plus pertinente et fait disparaitre la magie suspecte:

$$ UxUy(x-y) = - UyUx(x-y) = UyUx(y-x)$$

qui (sans le truc au milieu) redevient une parfaite évidence et non une "caractérisation clinique" du réel (vs virtuel).

2.5/ Je signale que les ultrafiltres sont des quantificateurs (un quantificateur sur $E$ est une partie de $P(E)$) "paradoxaux", et je rappelle pourquoi:

2.5.1/ Les non principaux n'existent qu'en présence de l'axiome du choix la plupart du temps

2.5.2/ Ils vérifient $non(UxAx) = Ux(non(Ax))$ pour tout $A$, ce qui est a priori "impossible" dans le sens que ça ne peut se faire que de manière exceptionnelle et non commutative: en effet, si

$$ \forall A,B: non(A*B) = (nonA)*(nonB)$$

pour une certaine opération logique $*$ qui serait en plus commutative, on aurait à partir de n'importe quelle phrase $A:$

$$non(A*(nonA)) = A*(nonA)$$

c'est à dire une phrase $P$ vérifiant $P=nonP$

2.5.3/ Je rappelle que beaucoup de pédagos présentent $\forall xR(x)$ comme $R(a)\wedge R(b)\wedge\dots$ et font des moulinets de bras pour dire ce que signeifient les pointillés, de même avec $\exists xR(x)$ prétendu valoir $R(a)\vee R(b)\vee\dots$, mais que cette démarche n'est pas accessible avec les quantificateurs ultrafiltres à cause de (2.5.2)

2.6/ Conclusion: en tant que logicien vieillissant, je ne peux qu'accueillir comme le sauveur le paradigme "formes-différentielles-qui-signalent-un-signe-moins-oublié-par-l'académisme-dans-Fubini", mais je me sens bien seul au regard de la documentation du coup.