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Qu'est-ce qu'une relation collectivisante

Envoyé par Mr_Propre_ 
Qu'est-ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Bonjour,
je n'arrive pas très bien à comprendre ce qu'est une relation collectivisante. Auriez vous des exemples: un avec une relation collectivisante et l'autre qui n'est pas collectivisante.
En vous remerciant, bonne journée



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Qu'est ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Est-ce que tu as une référence où le terme est défini ?

Est-ce que ça pourrait être un truc du style "blablabla est collectivisant" si et seulement si "$\exists x,\ \forall y, \quad y blablabla \Leftrightarrow y \in x$" ?

Si c'est le cas, la relation unaire "être l'ensemble vide" est collectivisante, car, pour tout $y$, $y$ est l'ensemble vide si et seulement si $y \in \{\emptyset\}$.

Et la relation unaire "être égal à soi-même" n'est pas collectivisante, d'après l'argument du barbier.
Re: Qu'est ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Bonjour, en effet j'ai une référence d'un livre de Bernard Gostiaux sur l'algèbre de L1:

"Dire qu'une relation est collectivisante c'est admettre qu'étant donné un ensemble B, il existe un et un seul ensemble dont les éléments seront les «objets de la théorie» contenus, (ou inclus) dans B, on dira plus brièvement, les parties de B et on notera P(B) l'ensemble formé des parties de B."

En gros tous les éléments qui vérifient la relation doivent appartenir à un même ensemble ?
Re: Qu'est ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Bon ben rien compris à ta citation... Moi la seule fois où j'ai entendu parler de machin collectivisant c'était dans le sens que j'ai expliqué.

Citation
Mr_Propre_
En gros tous les éléments qui vérifient la relation doivent appartenir à un même ensemble ?

Ben oui mais je dirais plutôt qu'une relation est collectivisante si elle équivaut à appartenir à un certain ensemble. Mais attendons confirmation des autres, je répondais au cas où tu étais pressé et où c'était bien ça la réponse, mais je fais peut-être une confusion terminologique !
Re: Qu'est ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Une relation $R$ (en l'espèce énoncé ayant au moins $1$ variable libre notée $\theta$ dans la suite) est dite collectivisante s'il existe un objet $x$ tel que l'énoncé $\forall \theta, \theta\in x \Leftrightarrow R$ est prouvable.
Re: Qu'est ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Bonjour,
Je lis et relis et ne comprends pas du tout la notion (je n'arrive pas à la situer dans mon monde, mais je ne sors jamais de ZFC).
Ça s'utilise dans un cadre où les schémas d'axiomes de ZF ne sont pas admis?
Ou c'est pour dire qu'une description est suffisamment précise pour définir un ensemble ex nihilo? (par opposition au schéma de compréhension qui ne définie les ensembles que dans les parties d'un ensemble déjà défini)
Re: Qu'est ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
@Titi : Non non, c'est bien plus simple que ça. La phrase $x = x$ est une relation à une variable libre, $x$. Est-ce qu'il y a un ensemble dont les éléments seraient exactement les $x$ qui vérifient cette relation ? Ben non, et c'est bien connu. Par contre, pour la phrase $x \in \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$, c'est différent, il y a bien un ensemble dont les éléments sont exactement les $x$ qui vérifient ça.
Re: Qu'est ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
$R$ est collectivisante est une abréviation de $\exists x\forall y: [(R(y))\iff (y\in x)]$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Merci beaucoup, à vous deux, la formule (enfin elle dépend d'une autre formule, je ne sais pas si on appelle ça comme ça dans ce cas) de christophe c est particulièrement claire.
Re: Qu'est-ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Bonjour,
auriez-vous un exemple ? Pour avoir les idées plus claires.
Je vous remercie pour vos réponses !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Qu'est-ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Par exemple, l'inclusion est-elle collectivisante ?

Si on part de la formule de Christophe.
$\exists x,\ \forall y,\ [(R(y))\iff (y\in x)]$
Soit R(y) la relation : $(\forall y)\big((y\in A) \Rightarrow (y\in B)\big)$.
Soit $A \subset B$,
j'ai du mal à prouver que $R(y)$ est collectivisante.

[En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement quelques termes. winking smiley AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Qu'est-ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
@Mr_Propre_ :
Exemple : la formule "$x$ est une partie de $\mathbb{R}$" est collectivisante en $x$ : la classe de tous les $x$ qui vérifient cette formule est un ensemble, en l'occurrence $\mathscr P(\mathbb{R})$.

Contre-exemple : la formule "$x$ est un ordinal" n'est pas collectivisante en $x$, car on sait bien que la classe des ordinaux ne constitue pas un ensemble.
Re: Qu'est-ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Ta question est mal posée, car l'inclusion est une formule à deux variables libres, il faut 2 objets $x$ et $y$ pour pouvoir écrire $x \subseteq y$.

En revanche tu peux te poser la question suivante : la formule "$z$ est un couple $(x,y)$ et $x \subseteq y$" est-elle collectivisante en $z$ ?
(Très bon exercice).
Re: Qu'est-ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
Salut,
Juste pour reprendre l'exemple de Mr. Propre (avant que tu t'attaques au contre-exemple de Martial): ta relation n'est pas collectivisante (si j'ai bien compris le truc), car elle est vérifiée par n'importe quel ensemble qui n'est pas dans $A$ (ou qui est dans $B$), et il se trouve que la collection des ensembles qui n'est pas dans $A$ n'est pas un ensemble (je crois qu'on pourrait en tirer une partie qui ne respecterait pas l'axiome de fondation).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Qu'est-ce qu'une relation collectivisante
il y a cinq mois
@MPropre:

tout dépend des axiomes. Mais si tu veux des exemples célèbres, sans utiliser d'axiomes, ou presque pas, en voici un : la collection

$$R :=(x\mapsto [(x\in x)\to (MPropreEstLePlusRicheDuMonde)])$$

Je te laisse l'exercice ultra célébrissimement célèbre consistant à prouver que si elle est collectivisante alors tu es le plus riche du monde car ça te fera peut-être plaisir de trouver tout seul.

Comme exemple de relation collectivisante grinning smiley . Tu prends $a$ et comme collection $x\to (x\in a)$.



Bon pardon, j'ai respecté les liaisons de variables, n'hésite pas à me dire si ça te gêne: à la place de
$$R:=(y\mapsto y>3)$$

les gens écrivent souvent la relation définie par $R(y):=(y>3)$

En espérant que ça ne te gêne pas trop.


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