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Énigme : "théorème"

Envoyé par tého 
Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Bonjour,
On m'a donné l'énoncé ci-dessous en me demandant de montrer qu'il est vrai !

Quel que soit le triangle T du plan,
Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle
Ou
Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Énigme : "Théorème"
il y a quatre mois
avatar
Je te confirme que ce théorème est vrai !
Qu'as-tu essayé pour l'instant pour le démontrer ?
Re: Énigme : "Théorème"
il y a quatre mois
Quel que soit le triangle T du plan,
Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle

ça, c'est faux car les trois angles sont de 60 degrés et donc aucun n'est de 90 degrés.



Quel que soit le triangle T du plan,
Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle.

ça, c'est faux aussi car un angle est de 90 degrés donc on peut avoir 30 et 60 pour les autres et donc il est pas isocèle


Mais cette fois, on ne peut pas essayer tout les triangles !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par tého.
Re: Énigme : "Théorème"
il y a quatre mois
avatar
Mais la propriété ne dit pas : \[\left(\text{pour tout triangle T, si T est équilatéral alors T rectangle}\right) \quad \text{OU} \quad \left(\text{pour tout triangle T, si T est rectangle alors T est isocèle}\right)\]
elle dit :\[\text{pour tout triangle T,} \left[\left(\text{si T est équilatéral alors T rectangle}\right) \quad \text{OU} \quad \left(\text{si T est rectangle alors T est isocèle}\right)\right]\]
Re: Énigme : "Théorème"
il y a quatre mois
Serait-ce dans le style de la fausse démonstration que tous les triangles sont isocèles?
Jean-Louis.
Re: Énigme : "Théorème"
il y a quatre mois
avatar
Non, il suffit de vérifier que chaque triangle rend vraie au moins une des deux implications.
On peut par exemple distinguer les triangles rectangles et ceux qui ne le sont pas.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
E : T st équilatéral
R : T est rectangle
I : T est isocèle

$(E \Rightarrow R)\ ou\ (R \Rightarrow I) \equiv (\bar E + R) + (\bar R + I) \equiv \bar E + (R + \bar R) + I \equiv \bar E + 1 + I = 1$

Donc c'est toujours vrai, quelque soit l'entrée.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
@tého : le plus simple est de distinguer 4 cas : triangle quelconque, isocèle, rectangle, équilatéral, et de vérifier dans chaque cas qu'au moins une des affirmations est vraie.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Merci bcp beaucoup,
dans le cas isocèle je n'arrive pas à trouver une des deux vraies :(



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
La seconde est vraie. Si tu pars d'un triangle isocèle, s'il est rectangle, alors il est isocèle.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
C'est dans ce genre d'exo que, étant donnés deux énoncés $X,Y$, l'équivalence entre $X\Rightarrow Y$ et $\neg X \vee Y$ sert.
On est ramené à montrer un énoncé de la forme $\big((\neg A) \vee B\big) \vee \big((\neg B) \vee C\big)$ avec $A,B,C$ affirmations à préciser.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Merci,
si j'ai compris ?

Quel que soit le triangle T du plan,
Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle
Ou
Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle.

est vrai à cause des tables de vérité de l'implication et du "ou"


On distingue les deux cas :
T est (triangle) rectangle , T n'est pas (triangle) rectangle

T est (triangle) rectangle
Rend vraie : "Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle"
et donc rend vraie :
"Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle
Ou
Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle".


T n'est pas (triangle) rectangle
Rend vraie : "Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle".
et donc rend vraie :
"Si T est équilatéral Alors T est (triangle) rectangle
Ou
Si T est (triangle) rectangle Alors T est isocèle".



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par tého.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Oui. C'est une façon de le dire.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Merci,
Ce qui suit est donc aussi un théorème !?


Quel que soit le triangle T du plan,
si T est isocèle alors T n’est pas isocèle
OU
si T n’est pas isocèle alors T est isocèle
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Et bien, j'aurais tendance à dire oui. Mais ce théorème n'exprime rien. Si je reprends mes notations précédentes, tu nous dis :
$(I\Rightarrow\bar I)\ ou\ (\bar I\Rightarrow I) \equiv (\bar I + \bar I) + ( I + I) \equiv \bar I + I \equiv 1$
C'est encore une tautologie, c'est-à-dire, toujours vraie, quelque soit l'entrée. Et tu comptes sur l'entrée vraie ou fausse pour pallier l'association qui ne dit rien. Tout objet est une chose ou son contraire. Donc tu couvres tous les cas.

Je prends ton exemple comme celui-ci:
$\forall x \in \mathbb{R}, x\ge0\ ou\ x<0$
Merci du voyage.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par PetitLutinMalicieux.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Merci,
Si j'ai bien compris ?

Quel que soit le triangle T du plan,
si T est isocèle alors T n’est pas isocèle
OU
si T n’est pas isocèle alors T est isocèle.

est "équivalent" à ?

Quel que soit le triangle T du plan,
T est isocèle ou T n’est pas isocèle.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Oui. C'est l'avant dernier membre de mon calcul : $I\ vrai\ ou\ \bar I\ vrai$. Le dernier étant "vrai est vrai".
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Pardon de ne pas avoir vu ce fil. C'est un cas particulier de chacun des deux théorèmes suivants:
$$

\forall A,B: [A\ ou \ (A\to B)] \\

\forall A,B: [(B\to A)\ ou \ (A\to B)] .

$$ Pour les curieux, le deuxième est strictement plus faible que le premier. Le premier est (une des formes de) l'axiome du raisonnement par l'absurde, qui peut se dire aussi comme suit :
$$
\forall A,B,C : [((A\to B)\to C)\to ((A\to C)\to C)]

$$ quand on veut éviter le mot "ou".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
$\forall A,B: [A\ ou \ (A\to B)] \equiv A + \bar A + B \equiv 1$
$\forall A,B: [(B\to A)\ ou \ (A\to B)] \equiv \bar B + A + \bar A + B \equiv 1$
$\forall A,B,C : [((A\to B)\to C)\to ((A\to C)\to C)] \equiv \overline{A\bar B + C}+ A\bar C + C \equiv \bar A\bar C + B\bar C + A\bar C +C \equiv \bar A + B + A +C \equiv 1$

Je ne sais pas à quoi servent tes circonvolutions.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Attention, là, tu es en logique classique.

Il y a des "degrés". Encore heureux qu'elles soient toutes les 3 vraies grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Bonjour,

"Attention, là, tu es en logique classique"

Le "théorème" ci-dessous est-il encore vrai en logique "non classique" ?

Quel que soit le triangle T du plan,
si T est isocèle alors T n’est pas isocèle
OU
si T n’est pas isocèle alors T est isocèle.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Oui il vaut dans toutes logiques où se réalise le buveur, ie où les valeurs de vérité sont des ordinaux et pas juste les deux premiers 0 et 1.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Bonjour,
et merci !

Je viens de lire que "le paradoxe du buveur n’est pas vrai en logique intuitionniste".

Ce qui suit est-il un Théorème de la logique intuitionniste ?

Quel que soit le triangle T du plan,
si T est isocèle alors T n’est pas isocèle
OU
si T n’est pas isocèle alors T est isocèle.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Non, ça n'en est pas un

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Je te donne la définition de la logique intuitionniste.

Tu prends une topologie $T$ (ie donc un espace topologique, l'ensemble étant la réunion des éléments de la topologie).

Pour des éléments $A,B$ de T, tu notes:

A et B veut dire $A\cap B$

A ou B veut dire $A\cup B$

A => B veut dire "réunion des ouverts $U$ tels que $A\cap U\subset B$"

faux veut dire ensemble vide

vraiPur veut dire espace entier

non(A) veut dire A=>faux

Remarque: non(A) est donc l'intérieur du complémentaire de A

$\forall x\in Toto: R(x)$ est l'intérieur de l'intersection des $R(x)$ quand $x$ parcourt $Toto$.

$\exists x\in Toto: R(x)$ est la réunion des $R(x)$ quand $x$ parcourt $Toto$.




"bon ouvert" veut dire "ouvert qui est intérieur de son adhérence"

Une expression avec des lettres est un théorème de la logique intuitionniste si et seulement si tu ne peux pas trouver de topologie et d'ouverts mis à la place des lettres où sa valeur n'est pas l'espace entier.

Une expression avec des lettres est un théorème de la logique classique si et seulement si tu ne peux pas trouver de topologie et de bons ouverts mis à la place des lettres où sa valeur n'est pas l'espace entier.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Citation

Je viens de lire que "le paradoxe du buveur n’est pas vrai en logique intuitionniste".

Le buveur n'est pas un paradoxe. Les maths l'utilisent continuellement. C'est un théorème banal de logique classique.

Je t'en donne une preuve "peu classiquée" si je puis dire.


$[\exists x : nonR(x)]\to [\exists y: nonR(y)]$ donc

$\exists y : ([\exists x: nonR(x)]\to nonR(y))$ donc

$\exists y : (R(y) \to [\forall x: R(x)])$


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Énigme : "théorème"
il y a quatre mois
Je n'ai pas lu ce qui précède mais j'ai l'impression que la pseudo-paradoxalité du théorème du buveur vient du fait que les gens interprètent mal l'énoncé.

Quand on lit ça à tout berzingue on a l'impression qu'il y a forcément dans la bande un pochtron qui force tout le monde à boire.

Or, ce n'est pas ça du tout.
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