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Axiome du choix et sections des surjections

Envoyé par barbubabytoman 
Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Bonjour.

Je voudrais démontrer que si toute surjection admet une section (i.e est inversible à droite), alors j'ai l'axiome du choix sous sa forme "fonction de choix de X dans UX", mais pour l'exercice je me refuse d'utiliser la notion de réunion de famille, de produit cartésien de famille ou encore d'union disjointe de famille. (L'union d'un ensemble est bien entendue elle autorisée au vu de ce que je souhaite démontrer)

Ma question est donc de savoir si c'est possible de faire cela, et si oui comment ?

PS : j'accepte aussi l'axiome du choix sous sa version "fonction de choix de P(E) dans E"

Merci !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par JLT.
Re: Axiome du choix et section des surjection
il y a quatre mois
Je suis curieux, pourquoi ces restrictions ?

Tu dis "produit cartésien de famille" : autorises-tu $A\times B$ ? Si oui, on peut remplacer l'union disjointe classique par un truc extrêmement naturel : soit $F\subset P(E)\times E$ l'ensembles des couples $(A,x)$ tels que $x\in A$.

Il se surjecte naturellent sur $P(E)\setminus\{\emptyset\}$, et une section est une fonction de choix

Et je crois que tu es obligé d'accepter $A\times B$ ne serait-ce que pour formuler la notion de fonction de choix.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
En fait j'ai ces restrictions parce que je m'amuse à faire une espèce de pdf comme un peu Bourbaki (c'est un bon entraînement je trouve) et au moment où je parle de cette équivalence, la notion de famille et ces autres notions dont j'ai parlé n'ont pas encore été développées.

Oui, le produit cartésien simple × est autorisé !
Je vais essayer de comprendre ton idée, merci beaucoup !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par barbubabytoman.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Citation

la notion de famille et ces autres notions dont j'ai parlé n'ont pas encore été développées.

De nos jours, on peut insérer un texte de longueur arbitraire avant des chapitres déjà écrits. Quand j'étais petit, je lisais un Popeye. Pour je ne sais plus quelle raison on lui avait offert une boite d'épinards géante (de 20 m de haut). Ils ont installé une échelle avec ses amis et il est monté, a plongé et mangé toute la boite.

Et ses amis de demander, l'entendant arriver en bas de la boite après avoir tout mangé :

"mais comment va-t-il sortir, on n'a pas mis d'échelle de l'autre côté?"

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Je n'ai pas compris où vous voulez en venir Christophe C.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Je plaisantais, bonne année à toi. C'est parce que tu évoquais le fait de te pas te servir d'outil préalables parce que non évoqués avant dans un doc que tu écris, et j'ai blagué autour de l'époque moderne.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
D'accord haha
Bon je n'ai pas bien compris ce qui était dit dans la plaisanterie (enfin le rapport entre ce gag de Popeye et ma situation), mais ce n'est pas bien grave haha

Bonne année à toi aussi grinning smiley
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Oh, c'est tout bête, à la fin Popeye passe à travers le métal de la boite pour sortir. (Analogie avec "grâce aux traitements de texte, tu peux insérer les outils").

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
En fait je ne souhaite pas insérer ces outils avant parce que je veux que toutes les notions relatives à celle de famille se fasse dans un chapitre postérieur, par pur goût personnel. L'idée c'était donc de savoir si cette démonstration avait sa place au moment de "axiome du choix ==> toute surjection admet une section" (et grâce à la réponse de Maxtimax, c'est le cas), ou s'il fallait que j'attende d'avoir la notion de famille pour pouvoir faire la démonstration (du coup ce n'est pas la peine).
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Je pense que, même si ça peut se démontrer à ce stade, se passer de ces notions pour la démonstration obscurcit le propos. Je ne comprends pas pourquoi tu veux parler de l'axiome du choix avant d'avoir introduit les notions ensemblistes de base. Après chacun ses goûts.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
J'ai parlé de l'axiome du choix dès que j'avais la notion d'application, notamment parce que je voulais pouvoir parler de l'équivalence pour une application entre être surjective et être inversible à droite.

Il me semble que cette équivalence est plus "de base" que la notion de famille (et donc de produit cartésien sur une famille), mais c'est de mon goût personnel.

Je ne crois pas que cela obscurcit quoi que ce soit, sachant qu'à la fois l'énoncé que j'ai de l'axiome du choix (avec une application d'un ensemble $X\to\bigcup X$, ou avec une application de $\mathcal{P}(E)-\{\emptyset\}\to E$) de manière simple, et de même, la démonstration proposée par Maxtimax est simple et compréhensible.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par barbubabytoman.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Tu disais vouloir faire comme Bourbaki, mais ils datent et se sont un peu parfois noyés dans des verres d'eau, du fait de l'époque. En langue moderne on dirait que "tu veux typer", ce qui est le pire truc à faire au démarrage, car ça rend tout incompréhensible à force de contrainte.

Une famille est une fonction, c'est même dommage qu'il y ait deux mots différents pour désigner la même chose. Je te redonne (heureusement qu'il fait froid, ça me dissuade de sortir).

Pour un ensemble quelconque $a$ tu as

- un domaine qui est $\{x\mid \exists y: (x,y)\in a\}$
- un codomaine qui est $\{x\mid \exists y: (y,x)\in a\}$
- une réciproque qui est $\{(y,x)\mid \exists y: (x,y)\in a\}$
- l'image directe de n'importe quel autre ensemble $b$ par $a$ qui est $ImDi(a,b) := \{y \mid \exists x\in B: (x,y) \in a\}$
- l'image réciproque de n'importe quel autre ensemble $b$ par $a$ qui est $ImRe(a,b):=$ l'image directe de $b$ par $a^{-1}$

noté respectivement $dom(a), codom(a), a^{-1},deja,deja$.

$a$ est une fonction si tout singleton $b$ vérifie $ImDi(a,b)$ est vide ou singleton. Quand il n'est pas vide, l'unique élément est noté $a(b)$

$a$ est une fonction de $b$ dans $c$ quand $dom(a)\subset b$ et $codom(a)\subset c$

$a$ est une application de $b$ dans $c$ quand c'est une fonction avec en plus $dom(a)= b$ et $codom(a)\subset c$

$a$ est une surjection de $b$ dans $c$ quand c'est une fonction avec en plus $dom(a)=b$ et $codom(a)\supset c$ (ou pour d'autres gens quand $codom(a)=c$, mais ça fait parfois cafouiller les choses)

$a$ est injective quand $a^{-1}$ est une fonction

Et sache que le mot famille veut juste dire "fonction". Par exemple $a$ est une famille indicée par $b$ veut juste dire $a$ est une fonction de domaine $b$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Citation
chistophe c
Tu disais vouloir faire comme Bourbaki, mais ils datent et se sont un peu parfois noyés dans des verres d'eau, du fait de l'époque.
La skolémisation (syntaxique) est hautement non triviale. Sans elle, il est pratiquement impossible de s'exprimer en théorie des ensembles à la ZF(C). Leur construction l'admet mais le dit explicitement, donnant donc des règles explicites et précises de manipulation du langage mathématique.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Je suis d'accord qu'une famille est la même chose qu'une fonction, mais pour moi c'est associé à des usages différents il me semble (notamment avec la notation de l'image qui diffère) et je souhaite retranscrire ces deux choses-là.

J'ai déjà "formalisé" tout cela : j'en suis à plus de 300 pages désormais, voici la dernière version que j'ai publiée il y a deux mois http://myreader.toile-libre.org/uploads/My_5fb67e1f7017a.pdf même si j'ai pas mal avancé depuis.

Je ne fais pas du tout de logique par contre ! Cela explique notamment parfois le choix de deux de mes axiomes qui vont probablement vous faire bondir, mais j'assume, le propos n'est pas de faire de la logique mais des maths telles que moi je les pratique.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par barbubabytoman.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
@Foys, non seulement ça, mais je pensais à tout plein de trucs liés aux traditions aussi comme définir une fonction comme un triplet (ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe), etc, qui manifestement empêche notre camarade de mettre tous les objets au même niveau (il a une compulsion de typage non consciente, je ne parle pas des gens qui typent "en le voulant")

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
@barbuba, bin tu vois, j'ai lu ton sommaire, tu as probablement passé 200 pages à dire ce que je viens de te dire en 8 lignes 2 posts ci-dessus. Bon, c'est fait, c'est ta vie, mais il est vrai qu'on peut regretter le manque "d'omnipotence documentaire" à l'heure d'internet

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Je ne comprends pas ta remarque. Tu as donné quelques définitions, je fais à peu de choses près les mêmes définitions dans mon document, je rentre juste + dans les détails.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Oui, mais tu écris ton livre pour des humains, donc tu vois bien qu'il y a un conflit entre la quantité et la fixation, même si j'imagine que ta volonté est de proposer des exemples.

Je n'ai pas donné "quelques", j'ai donné "toutes les" quasiment.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Comment ça un conflit entre la quantité et la fixation ?
J'écris ce livre pour moi-même.

Oui je propose des exemples, je décris des propriétés, des notations, je mets des gros cadres, je saute des lignes, forcément ça prend de la place, et je ne propose pas exactement le même formalisme de la notion d'application que toi.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Christophe, tu exagères un peu : déjà tu sais bien que tes définitions ne sont pas universelles (je ne fais ici aucune assertion concernant leur bien-fondé ou pas, seulement un énoncé sociologique facilement vérifiable), et que le typage mental est quelque chose de très répandu (même remarque) et parfois bénéfique (là c'est un énoncé un peu plus fort, je le reconnais grinning smiley mais je suis par exemple de l'avis que Daniel a raison que les gens ont tendance à penser différemment aux termes "application" et "famille" - ces deux termes ont la même définition mathématiquement, mais je ne suis pas nécessairement d'accord pour affirmer qu'ils recouvrent la même "réalité", i.e. je peux facilement imaginer un formalisme où ils diffèrent. D'ailleurs, en y réfléchissant, ils n'ont même pas la même définition ! C'est une conséquence de ZFC, et pas une formalité logique)

Et puis tu aurais pu regarder plus loin que le sommaire, tu verrais qu'effectivement les 200 pages ne sont pas que des définitions, et que les démonstrations sont extrêmement détaillées mais surtout espacées, ce qui prend de la place

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
avatar
Citation
cc
mais tu écris ton livre pour des humains

mouhahaha, je crois que 90% des tes post auraient mérité que tu te dises la même chose avant de les rédiger...grinning smiley



PS. c'était pour en rajouter une couche
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Pardon mais je ne critiquais pas, peut être un malentendu. Faut prendre ce que je dis comme des "données" à regarder. Pas comme un jugement.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
Je n'ai pas tout lu mais je suis d'accord avec Poirot. Il me semble que les axiomes ne doivent être introduits qu'au fur et à mesure des besoins.

Or, nul besoin de l'axiome du choix pour définir la notion de famille.

Après, effectivement, c'est affaire de goût...
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a quatre mois
@Martial : justement, j'ai besoin de l'axiome du choix pour l'équivalence (surjectif $\iff$ inversible à droite), et je vois cette équivalence avant la notion de famille.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
@barbubabytoman : oui, j'ai bien compris ton problème.
Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi tu te casses la tête à ce point.
Si tu as besoin de la notion de famille pour démontrer ton théorème, qui est-ce qui t'empêche de l'introduire avant ?
D'autant, comme dit CC, qu'il suffit de faire des CC (copier-coller).
C'est pas comme il y a 40 ans, où fallait tout retorcher à la main...
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Non mais ce n'est pas comme si on avait besoin de la notion de famille pour cette équivalence !
La preuve que j'ai indiquée est l'une des plus simples (elle nécessite très peu de choses en plus) et elle a un sens géométrique qui dépasse largement la TDE grinning smiley
Bref, si Daniel ne veut pas encore avoir parlé de familles à ce moment là, je ne pense pas que ce soit un problème.

Essayez de comparer la preuve que je suggère à une faisant intervenir des familles et vous verrez qui se casse la tête winking smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Citation

Cela explique notamment parfois le choix de deux de mes axiomes qui vont probablement vous faire bondir

Je viens de parcourir de manière plus patiente, mais je n'ai pas trouvé d'axiomes "à bondir", en dehors de mes remarques d'hier sur le temps immense que tu dois passer à écrire tout ça.

Pour info culturelle, si chaque fois qu'on a $f$ surjection $A\to B$, on a l'existence de $g$ telle que g injection $B\to A$, alors on a l'axiome du choix. Il n'est pas nécessaire de supposer que $f\circ g = id_B$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Christophe : c'est pas un problème ouvert ça ??

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Il s'agit du "Partition principle", et c'est un problème ouvert en théorie des ensembles :

[mathoverflow.net]

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Merci Max, les notations sont complètement massacrées par mon navigateur je ne sais pourquoi, mais je te fais confiance, j'ai dû confondre avec un autre énoncé et je pense savoir lequel: "pour tout A,B", il y a une injection de $A\to B$ ou de $B\to A$, mais je ne veux pas répondre trop vite non plus, je vais réfléchir (j'ai bien pu lire le deuxième problème ouvert du post, qui est intéressant en soi). Je sais qu'il existe un problème ouvert de ce genre (le premier), donc très probablement tu as raison.

Mais j'ignore pourquoi, chaque fois que j'essayais de me le rappeler, je tombais sur des énoncés dontje pouvais prouver qu'ils =>AC.

Donc du coup un grand merci pour cette retrouvaille

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
L'énoncé sur les injections est effectivement équivalent à AC (prendre pour $B$ le cardinal de Hartoggs de $A$), mais ça n'a plus grand chose à voir grinning smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
@Max : sorry, je n'avais pas lu ta preuve...
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Comme je disais ce qui est bizarre c'est que je prouvais sans peine tout énoncé qui semblait être ceux potentiellement dans mon souvenir, je suis donc étonné que j'ai "par hasard" esquivé celui-ci. Mais ce qui est marrant, c'est que c'est au fond le fil de barbuba qui a provoqué ça au fond.

@Martial: la seule fois où j'avais entendu parlé de cet énoncé en plus, c'est avec JLKrivine lors d'un duo et quand j'avais pris le métro, je m'étais dit qu'il sucrait peut-être les fraises (j'avais tort) du fait que je n'en avais jamais entendu parler avant (ça devait être en 2005-2006). Max vient de me fournir une deuxième occurrence qui prouve que je n'avais pas rêvé cette histoire.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Après y avoir pensé, je suis sûr que c'est bien la problème ouvert dont m'avait parlé JLK. Merci pour ce rappel de mémoire.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
@Martial "Si tu as besoin de la notion de famille pour démontrer ton théorème, qui est-ce qui t'empêche de l'introduire avant ?"

C'est parce que ça ferait à mon sens un mélange pas très esthétique (selon-moi). Quand j'en suis à parler de cette équivalence, j'en suis encore à développer la notion d'application, et donc j'ai pas envie de mélanger d'un coup en plein milieu la notion de famille, de réunion de famille, de produit cartésien de famille et d'union disjointe de famille. Ça fait un énorme détour qui casse le fait qu'on a pas fini de développer la notion d'applications.

@Christophe C. Pour info culturelle, si chaque fois qu'on a $f$ surjection $A\to B$, on a l'existence de $g$ telle que $g$ injection $B\to A$, alors on a l'axiome du choix.

Comment on montre cela ? Ça m'intéresse. Une référence ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par barbubabytoman.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Daniel : comme je lui ai indiqué, Christophe ne sait pas démontrer son énoncé (ou peut-être que si, mais dans ce cas il ferait bien de mettre un truc sur arXiv grinning smiley ) : c'est un problème ouvert relativement important en théorie des ensembles.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Maxtimax : Ah d'accord, je n'étais pas sûr que vous parliez de ça !
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Comme dit Max, c'est un problème ouvert, bon, par contre, je ne suis pas sûr qu'il y ait grand monde qui cherche dessus, il semble avoir découragé les gens dans un temps ancien.

De mon côté, je pense que ma mémoire a confondu avec que l'énoncé suivant entraine l'axiome du choix: pour deux ensembles quelconques, il y a toujours une surjection de l'un sur l'autre.

J'en reviens aux "typages" grinning smiley (je sais que Max aime bien, mais ses raisons sont assez différentes des tiennes) et aux contraintes terribles que ça inflige à ton document et je te résume comment marchent les maths et la théorie des ensembles en termes de naturalité. Ne t'inquiète pas, je fais court.

1/ Tout d'abord, il faut que tu prennes vraiment conscience que ce ne sont pas les axiomes et ZF qui sont importants. Ca c'est une grosse erreur courante. Et c'est elle qui a conduit à l'indigence actuelle et aux usines à gaz, dont une des conséquences est l'énorme déperdition estudiantine.

2/ Faire des maths ,

- c'est juste mettre un signe EGAL entre deux phrases:

2.1/ La phrase $u\in \{x\mid R(x)\}$

2.2/ La phrase $R(u)$

- et utiliser l'extensionalité qui dit que les ensembles ne distinguent pas deux ensembles qui se comportent de la même façon.

3/ Alors évidemment, tu me diras, c'est une théorie contradictoire à cause de $\{x\mid (x\in x) \to (5=9)\}$ qui est un ensemble $a$ tel que

$$ (a\in a) = [(a\in a)\to (5=9)] $$

qui va donc faire que, comme $(a\in a)\to (5=9)$, tu auras donc $a\in a$, puis $(5=9)$.

Et bien ce n'est absolument pas important. Car ça ne change strictement rien aux raisonnements. Simplement, les raisonnements de maths courantes utilisent seulement des petites ensembles, donc ne tombent pas apparemment sur des contradictions, mais il n'en reste pas moins vrai que l'évitement ne condamne $a$ à l'inexistence, mais à "l'interdiction d'en parler" qui est tout de même un peu maladroite, quand on pense entre autre aux censures religieuses totalitaires.

4/ Bref, j'ai fini, je voulais juste te dire que ta fatigue n'est pas justifiée au sens où tu n'as pas besoin d'introduire des axiomes un à un et de "trembler" avec le chapitre qui va l'exploiter à suivre.

5/ En plus, c'est se priver de toute une faune d'objets canoniques comme par exemple (je ne sais pas si ça existe, mais peu importe) un ensemble $E$ tel que $E=$ l'ensemble des topologies compactes sur $E$ ou encore $F$ tel que $F=$ l'ensemble des bijections de $F$ sur $F^8$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Christophe : mets "injection" plutôt que surjection, sinon c'est faux winking smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
A quel endroit?

Si c'est au début, si si ça implique bien AC avec le mot "surjection" puisque tu auras une surjection d'un ordinal assez grand sur E (quelqu'il soit)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Oui mais ça implique aussi $0=1$ grinning smiley grinning smiley
(Je te taquine mais rajoute un ou deux mots tongue sticking out smiley)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
grinning smiley grinning smiley Attention au virus du vide grinning smiley grinning smiley

C'est d'ailleurs une critique sérieuse à faire du mot surjection je trouve. Je signale donc à tous (je laisse l'erreur du coup) qu'il n'y a pas de surjection de $\N$ sur $\emptyset$ au sens académique du mot "surjection". J'aurais dû écrire "non vides" (les lecteurs qui liront le post d'avant comme ça devront, s'ils ne lisent pas la suite, assumer de n'avoir rien vu et surtout, s'ils lisent la suite mais plus tard, l'émotion sera profitable (plus que si je corrigeais me semble-t-il).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Bah c'est pour ça que je préfère mettre "injection" en général. D'ailleurs on peut faire plein de critiques au mot "surjection" (notamment qu'il dépend du codomaine, alors que "injection" est absolu).
Mais bon, je suis homotopiste, donc la notion d'injection n'existe pas, c'est une forme de surjection en dimension supérieure

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Sur ta dernière phrase, tu évoques la définition de monomorphisme?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Non non, ça reste une forme d'injectivité (d'ailleurs de ce point de vue, c'est la surjectivité qui devient une forme d'injectivité, cf la définition d'épimorphisme)
Simplement quand tu fais de l'homotopie, tu te rends compte que ce n'est pas "$f(x) = f(y) \implies x=y$" que tu prouves en général, mais plutôt "$(x=y)\to (f(x)=f(y))$ est surjective" ($\to$ étant le truc qui assure que si $x=y$, $f(x)=f(y)$). Evidemment, si on interprète $(x=y)$ comme $\{t\mid t= \emptyset \land x=y\}$, il y a bel et bien une telle application et sa surjectivité est équivalente à l'injectivité de $f$.
C'est un peu bête de faire ça pour des ensembles, mais en homotopie c'est beaucoup plus raisonnable et ça devient utile

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
"1/ Tout d'abord, il faut que tu prennes vraiment conscience que ce ne sont pas les axiomes et ZF qui sont importants. Ca c'est une grosse erreur courante. Et c'est elle qui a conduit à l'indigence actuelle et aux usines à gaz, dont une des conséquences est l'énorme déperdition estudiantine."

Il font le travail, c'est tout ce que je leur demande. Je ne cherche pas à leur donner plus d'importance que cela, juste moi ils me conviennent, je les trouve jolis et pratiques.

"4/ Bref, j'ai fini, je voulais juste te dire que ta fatigue n'est pas justifiée au sens où tu n'as pas besoin d'introduire des axiomes un à un et de "trembler" avec le chapitre qui va l'exploiter à suivre. "

Quelle fatigue ? Je m'amuse ! Je fais ça pour le plaisir, parce que j'aime bien. Tout se passe très bien pour moi, pas de tremblement ou autre.
Je vois plutôt ça comme une série avec des personnages : j'attends le bon moment pour introduire tel ou tel personnage, parce qu'esthétiquement je trouve ça plus joli que de montrer tous les protagonistes dès le début dès la scène n°1, c'est tout.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par barbubabytoman.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
@barbu : "Je vois plutôt ça comme une série avec des personnages : j'attends le bon moment pour introduire tel ou tel personnage, parce qu'esthétiquement je trouve ça plus joli que de montrer tous les protagonistes dès le début dès la scène n°1, c'est tout."

C'est exactement ce que je fais dans mon livre :
[sites.google.com]

J'ai horreur des bouquins** qui commencent par : "Salut les gars les filles, voici la liste des axiomes de ZFC...". "Et maintenant nous allons consacrer les 528 pages qui suivent à en examiner quelques conséquences"***. Le lecteur se demande qu'est-ce qu'il a fait au Bon Dieu pour s'être fait arnaquer de 100 zeuros ou plus en achetant le bouquin.

Le truc c'est que toi et moi on n'a pas la même vision de l'ordre dans lequel on doit introduire les choses... mais au fond ça n'a aucune importance. L'essentiel c'est qu'il y ait une logique interne dans ton papier, qui permette au lecteur d'y retrouver ses petits.

** Bon, évidemment si tu écris un papier destiné à des lecteurs "avertis" c'est différent : tu peux alors te permettre de rappeler au début les axiomes, parce que tous les mathématiciens ne les connaissent pas par coeur. Mais je ne pense pas que ça soit ton objectif.

*** Boban est entièrement d'accord avec moi sur cette question. Je dis ça pour ceux qui le connaissent, dont Christophe. (Merde, j'aurais dû le dire au début, car il ne va jamais lire ce truc jusqu'au bout, lol).
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Je ne comprends pas le préjugé qui exige que l'exposition aux règles fondatrices des mathématiques doive être réservée à des gens qui sont au moins en M2 telle un privilège.

Quand les gens s'inscrivent à un club d'échecs ou de go, ou démarrent la moindre activité du même genre, leur initiation commence par un exposé exhaustif des règles. Et après ils participent à un débat intelligent avec tous les éléments en main.

Les mathématiques ne peuvent pas s'enseigner "par imprégnation intuitive" comme "une langue" (ne serait-ce que parce que les concepts de maths n'appartiennent tout simplement pas au monde sensible, ou alors sous une forme très très indirecte: savoir interpréter une dérivée comme une vitesse demande déjà une éducation préalable). La preuve en est l'inefficacité monumentale du système éducatif qui s'efforce pourtant exactement de faire ça.

Quand à ces fameux livres non destinés aux professionnels qui démarrent par les axiomes et qui déduisent je ne sais quoi: il y a des exemples à part Bourbaki qui date de plus de 50 ans? Personne ne fait ça, la norme est plutôt le contraire. On ne peut pas ériger en phénomène sociétal oppressif un truc quasi inexistant ...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Foys.
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Attention, je n'ai pas une position "sur le principe". Simplement là, il SE TROUVE qu'il n'y a pas "vraiment d'axiomes" dans ce fondement des maths en amont, et donc dans ce cas particulier, l'exposition des axiomes est superflue et peut induire en erreur. S'il s'agissait d'exposer une théorie compliquée, je ne dirais pas forcément ça.

La seule raison à la présence des axiomes de ZF c'est la recherche de consistance et absolument pas son fonctionnement. Je le redis, le fonctionnement des maths est simple, c'est $\{x\mid \dots \}$ qui a été mis à la place de $x\mapsto \dots $ et l'extensionalité (qui platonise le monde mathématique mais dont l'imprudence a fait perdre la perception quantique)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome du choix et sections des surjections
il y a trois mois
Citation
christophe c
La seule raison à la présence des axiomes de ZF c'est la recherche de consistance et absolument pas son fonctionnement.
Comment ça? C'est comme si vous disiez "si vous introduisez des règles explicites aux échecs, c'est que vous prétendez que le jeu ne peut pas être résolu trivialement".

Même si historiquement l'introduction des axiomes de ZFC (pré 1930) s'est faite à une époque où les gens tentaient d'établir la consistance des maths, fonder les maths n'a rien à voir avec ça (de nombreux fondements alternatifs ont été proposés bien après la découverte des théorèmes d'incomplétude).

C'est quand même fou cet homme de paille assimilant les efforts de construction de fondements à des tentatives de réfutation du théorème de Gödel.

C'est comme si on disait
"vous voulez donner les règles précises du jeu d'échec? C'est parce que vous croyez qu'on peut savoir instantanément si une position donnée est GAGNANTE ou non".
"vous voulez donner le code source explicite d'une fonction récursive? C'est parce que vous prétendez résoudre le théorème de l'arrêt".



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