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Famille = ensemble ?

Envoyé par Julia Paule 
Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Bonjour,

Je me pose une question toute bête. Soit $X$ un ensemble (non vide), et $A \subset \cal{P}$$(X)$ un ensemble de parties de $X$.

Comment peut-on représenter $A$, en particulier peut-on l'expliciter en $A=(O_i)_{i \in I}, O_i \subset X, \forall i \in I$, avec $O_i \in A$, donc $A=$ ensemble de parties de $X$, est aussi famille de parties de $X$ ?
Cela veut dire qu'on "fabrique" un ensemble d'indices $I$ qui permet de désigner les éléments de $A$ par $O_i, i \in I$ ?

Merci d'avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Julia Paule.
JLT
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
avatar
Une famille de parties de X, c'est une application d'un ensemble I vers P(X). Ce n'est pas la même chose qu'un ensemble de parties de X.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Une manière canonique de faire : on prend $A$ comme ensemble d'indices, et la famille est l'inclusion $A\hookrightarrow \mathcal P(X)$.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
JLT : ne peut-on pas "confondre" une famille (application) avec son image par l'application ?

GaBuZoMeu Ok merci. Donc on identifie $A$ et son image par l'inclusion ?

En fait, ma question est : peut-on écrire (a-t-on le droit d'écrire) $A=(O_i)_{i \in I}$ pour désigner l'ensemble des éléments de $A$, sinon, par quel autre moyen peut-on le faire ?
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
@Julia : en toute généralité, une famille d'ensembles indexée par $I$ est une fonction $F$ de domaine $i$, et à valeurs dans n'importe quoi. La tradition veut que l'image par $F$ de $i \in I$ est noté $A_i$ au lieu de $F(i)$. C'est en quelque sorte un abus de langage.

Quand tu parles d'une famille de parties d'un ensemble $X$, tu considères le cas particulier où l'image de $F$ est incluse dans $\mathscr P(X)$. Tu as donc tout à fait le droit d'écrire ce que tu écris dans ta dernière phrase, mais il faut savoir que tu commets le même abus de langage que moi ci-dessus.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Non, une application est très différente de son image !

En maths il n'y a pas d'interdit, on a le droit d'écrire ce qu'on veut, seulement, parfois ce sera faux. En l'occurrence il n'y a pas d'identification (canonique ou pas, il n'y en a juste pas) entre une famille et son image.

Alors, parfois il s'avère qu'on s'en fiche un peu de savoir si on considère une famille ou son image, parce que pour ce qu'on veut faire les deux marchent aussi bien; et donc dans ces cas-là on est souvent négligent et on écrit l'un ou l'autre sans faire attention.
Mais ce sont deux notions distinctes, non identifiables en général.

Ce que GBZM te suggère n'est pas une identification, mais une manière d'associer à chaque sous-ensemble une famille d'éléments canoniquement, c'est tout à fait différent.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Une famille constante aura quelque vexations d'être identifiée à son image directe grinning smiley

Une famille liée de deux vecteurs égaux sera par contre heureuse de devenir libre.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Je répondais à la question telle qu'elle me semblait posée : comment peut-on voir une partie $A$ de $E$ comme une famille d'éléments de $E$ (le fait que $E=\mathcal P(X)$ importe peu).
J'indiquais une manière canonique de faire : associer à $A$ la famille $(a)_{a\in A}$.
Une remarque : d'un point de vue catégorique, un sous-objet est bien une flèche (ou plutôt une classe de flèches) de but cet objet, à laquelle on demande d'être mono.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
JLT
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
avatar
Plus précisément, soit $A\subset\mathcal{P}(X)$. Soit $I=A$. On définit la famille $\widetilde{X}=(X_i)_{i\in I}$ par $X_i=i$.

(De manière rigoureuse, $\widetilde{X}$ est l'injection canonique $I=A\to \mathcal{P}(X)$.)

Alors $A=\{X_i;\; i\in I\}$.

Attention $(X_i)_{i\in I} \ne \{X_i;\; i\in I\}$, une application n'est pas égale à son image.

Edit : changement de notation, ajout d'un tilde sur le $X$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par JLT.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Euh, JLT, en quoi est-ce plus précis que ce que j'ai écrit ? winking smiley
JLT
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
avatar
J'avais l'impression que Julia Paule n'avait pas bien compris ta réponse, donc je faisais de l'exégèse.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Re-euh. Pourquoi notes-tu par la même lettre $I$ l'ensemble $A$ et l'injection canonique $A\to \mathcal P(X)$ ? Ça ne me semble pas faciliter la compréhension.
JLT
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
avatar
Je n'ai pas noté $I$ l'injection canonique, je l'ai notée $\widetilde{X}$. (Edit : correction suite à changement de notation dans le message précédent.)

Ma notation $I=A\to \mathcal{P}(X)$ était peut-être ambiguë, je voulais dire que $\widetilde{X}$ est l'injection canonique $A\to \mathcal{P}(X)$, et par ailleurs je rappelais que $I=A$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par JLT.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Quel rapport entre le $X$ de l'injection canonique et le $X$ de $\mathcal P(X)$ ?
JLT
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
avatar
Oups... Je vais éditer mon message.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Julia: peux-tu nous donner quelques informations sur tes buts, projets, rêves (concernant les maths), situation, etc, ce sera plus facile de te répondre de manière adaptée.

Cela fait plusieurs questions que tu poses dans cette rubrique où le fait de ne pas savoir à quel niveau se placer rend "rugueuses" peut-être certaines réponses que je t'ai faites.

Qu'as-tu envie de savoir, qu'est-ce qui n'est pas clair dans ta tête quand tu vois le mot "famille" etc?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
A toute fin utile, je te mets ce lien que j'ai répondu à une autre personne dans un autre contexte élémentaire:

[www.les-mathematiques.net]

Alors attention: il faut savoir que la plupart des universités et école d'ingé appellent "application/fonction" le triplet tout entier $(Depart,Arrivee,f)$ avec $f$ application/fonction de $A$ dans $B$ telle que définie dans le lien.

En théorie des ensembles c'est moins usitée parce que la plupart du temps, la quantité d'intersections et d'unions de fonctions différentes et ayant des domaines différents rend ingérable de nommer leur dom (ou de les porter dans la capsule de l'objet). Sinon, il n'y a pas de différence majeure.

Par exemple, GBZM t'a proposé $(A,A,\{(x,x) \mid x\in A\})$ au début du fil, les ensemblistes t'auraient (pour dire la même chose) proposé $\{(x,x) \mid x\in A\}$.

Ce qui compte dans les contextes des premiers cycles universitaires c'est que quand tu as une famille, elle peut ne pas être injective, cela permet de porter l'attention sur la répétition. Par exemple, $\{(1,e),(2,e),(3,e)\}$ ne sera jamais une base d'un espace vectoriel, etc. Les familles injectives ont probablement des rôles nettement moins importants si on les choisit exprès, mais peut-être en ont-elles quand elles émergent.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Merci à tous. Voici plus précisément ce que je cherche (je n'ai pas encore regardé vos réponses), mais peut-être devrais-je poster sur le forum topologie, et aurais-je dû commencer par là.

Soit $X$ un ensemble, et $A \subset \cal{P}$$(X)$. Je souhaite écrire explicitement (par extension avec ses éléments) l'ensemble $B$ base de la topologie engendrée par $A$, qui est par définition l'ensemble des intersections finies d'éléments de $A$. Pour cela, il faut que je commence par écrire explicitement l'ensemble $A$.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Ok merci Martial, tu as répondu à ma question : j'ai le droit d'écrire $A=(O_i)_{i \in I}$.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Citation
Julia
Pour cela, il faut que

Tu te prends la tête pour rien car tu réponds toi-même sans t'en rendre compte. Notant $B$ l'ensemble des parties finies de $A$,
c'est la famille

$$F\in B \mapsto \{x\in E\mid \forall y\in F: x\in y\}$$.

Je n'ai absolument rien fait si ce n'est traduire ce que tu as écrit, et cette famille est une base de la topologie de ton espace.

1/ Cette famille est une fonction, son ensemble de définition (domaine) est $B$
2/ L'image d'un élément $F$ de $B$ est l'intersection de ses éléments

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Que veut dire "écrire explicitement l'ensemble $A$" ???

L'ensemble des intersections finies d'éléments de $A$ peut s'écrire comme
$$\{X\} \cup \bigcup_{n\in \mathbb{N}^*} \left\{ \bigcap_{k=1}^n U_k \ ;\ (U_1,\ldots,U_n)\in A^n\right\}\;.$$

On pourrait aussi écrire
$$ \bigcup_{n\in \mathbb N}\left\{ \bigcap_{i\in n} U(i)\ ;\ U\in A^n\right\}\;.$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par GaBuZoMeu.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Il me semble qu'on peut écrire indifféremment : $A=(X_i)_{i \in I}$ et $A= \{X_i, i \in I \}$, l'ensemble des ensembles $X_i, i \in I$, indexés par $I$, vu qu'il n'y a pas répétition d'ensembles $X_i$, et pas d'ordre entre les ensembles $X_i$, non?
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Merci GaBuZoMeu, mais ma question est : comment écrit-on $A= ...$ ?

explicitement : ben, à l'aide de ses éléments.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Julia Paule.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
$A=\{x \mid x\in A\}$ ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Citation

comment écrit-on A=...?

$A=A$.

Plus sérieusement, je ne sais pas ce que tu cherches. Pourquoi voudrais-tu qu'un ensemble $A$ que tu appelles $A$ se retrouve à acquérir "magiquement" un autre nom que celui que tu lui donnes?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Bon j'abandonne, du moins, je retiens la réponse de Martial !



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Julia Paule.
JLT
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
avatar
Au risque de me répéter, $(X_i)_{i\in I} \ne \{X_i;\; i\in I\}$, une application n'est pas égale à son image.

De même, $(1,2)\ne \{1,2\}$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par JLT.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Mouais ... je trouve que ta question n'a pas grand sens. Sinon, tu peux toujours écrire "explicitement" $A=\{a\ ;\ a\in A\}$.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
looool Max a été moins caustique.

En tout cas, il y a quelque chose qui te tracasse et qui n'existe pas en fait, ton seul problème est juste de te débarrasser de ce "désir" encombrant d'objet que tu appelles de tes voeux.

La famille que tu demandes c'est (et tu l'as toi-même dit) la fonction qui envoie chaque partie finie de $A$ sur l'intersection de ses éléments.

L'ensemble d'indice est le $B$ de mon post ci-dessus, c'à dire l'ensemble des parties finies de $A$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Citation
Julia
Bon j'abandonne.

Ne regrette rien, car je suis presque sûr que tu désirais un truc qui n'existe pas ou que tu t'imposais une règle qui n'existe pas en maths. J'en ai vu des élèves me dire bien des fois "Mais on a le droit d'écrire ça, ie d'écrire "comme $x=x$" et à qui j'ai dû répondre "c'est même le premier droit".

Parfois on se complique la vie pour rien.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Vraiment christophe c, je ne comprends rien à ce que tu dis.

JLT, il est d'accord que $(1,2)\ne \{1,2\}$. Dans le couple $(1,2)$, il y a une notion d'ordre : d'abord 1 puis 2, qu'il n'y a pas dans l'ensemble $\{1,2\}$.

Mais dans $(X_i)_{i\in I}$ et $\{X_i;\; i\in I\}$, vu que l'application est injective (peut être construite ainsi), et qu'il n'y a pas de notion d'ordre, je ne vois pas pourquoi l'expression $(X_i)_{i\in I}$ ne peut pas désigner l'ensemble $\{X_i;\; i\in I\}$.

Je n'ai pas le temps de voir la théorie des ensembles, c'est là mon problème, mais cela m'étonnerait que le sens premier qu'on ait donné à "famille" est celui de "fonction" ou "application", i.e. qu'on ait dit "famille=fonction", sinon pourquoi aurait-on utiliser deux vocables différents pour désigner la même chose ? Il me semble qu'on a donné une 1ère définition à "famille", puis on a théorisé, non ?
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Julia,

la notion de famille est une généralisation de celle de suite, les suites finies étant les n-uplets (couples, triplets, quadruplets, ...) et tu sais (tu l'as dit), que confondre couple et ensemble est à priori une erreur. donc aussi pour les suites et les familles.

Tu as envie de noter $(X_i)_{i\in I}$ ce que tu notes $\{X_i;\; i\in I\}$ qu'on peut aussi noter $\{X_i\}_{i\in I}$. C'est toi qui vois, mais risquer une mauvaise lecture pour simplement remplacer des accolades par des parenthèses ....

Cordialement.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
@Julia : "Vraiment christophe c, je ne comprends rien à ce que tu dis. "
C'est la 1ère fois que je lis cette remarque sur ce forum, lol.

Plus sérieusement, tu t'inquiètes pour rien. Tes deux notations sont correctes, et signifient la même chose.

Ta dernière réflexion est bonne aussi : du temps de Cantor une famille c'était une famille au sens usuel : une certaine collection d'ensembles indexée par un ensemble $I$. Quand il y a 12 éléments dans $I$ tu appelles ça un $12$-uplet. Quand il y en a une infinité ça fait une famille indexée par un certain ensemble d'indices $I$.
C'est seulement quand on a découvert les paradoxes qu'on s'est rendus compte qu'il fallait théoriser. L'option choisie (ZFC) a été de décréter que "tout est ensemble". Et du coup une famille est devenue une fonction (qui est un ensemble quand on la considère comme un ensemble de couples).

Mais tu n'as absolument pas besoin de maîtriser ZFC pour ce que tu souhaites faire.

Mais à propos de ça, christophe c a raison quand il te demande de nous en dire un peu plus sur ton parcours... on ne te demande pas un cv de 12 pages mais juste le genre d'études que tu fais actuellement et à quoi tu te destines... ça nous aidera à t'aider.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Julia fait une allergie. Toutes les réponses aux remarques qu'elle fait je les ai anticipées et y ai répondu. Je crois qu'elle ne me lit pas. Difficile de comprendre sans lire. Je ne faisais pas de TQ grinning smiley

En outre, j'appellerais plutôt désaccord qu'incomprehension quand je vois à la fin qu'elle aurait voulu qu'on lui dise que famille différent de fonction. Typique : elle ne comprend pas au e c'est égal parce qu'elle voudrait que ce soit différent et évidemment tu ne comprends pas une différence dans des explications qu'elle est fausse.

Quant au prétexte des deux mots, c'est juste parce qu'on ne précise pas a priori l'ensemble d'arrivée d'une famille alors qu'on a tendance à le faire avec une fonction.

Bref l'important est qu'elle ait compris pas qu'elle remercie et oui je comprends la désolation de matheux qui aiment les indices et y cherchent de la transcendance. Il es toujours difficile d'apprendre que le père Noël n'existe pas.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par christophe c.
JLT
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
avatar
Soit $\widetilde{X}=(X_i)_{i\in I}$. Soit $\sigma : I\to I$ une permutation. Soit $\widetilde{Y}=(Y_i)_{i\in I}$ définie par $Y_i=X_{\sigma(i)}$. Alors les deux familles $\widetilde{X}$ et $\widetilde{Y}$ sont différentes.

$\widetilde{X}$ et $\widetilde{Y}$ sont des applications de $I$ dans $\mathcal{P}(X)$. Elles vérifient $\widetilde{Y}=\widetilde{X}\circ\sigma$. Leurs images sont les mêmes : $\{X_i;\;i\in I\}=\{Y_i;\;i\in I\}$ mais ce ne sont pas les mêmes applications.

(De même que $\{1,2\}=\{2,1\}$ mais $(1,2)\ne (2,1)$.)
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Ok merci beaucoup Martial et JLT pour vos explications. Je comprends enfin comment ce mot "famille" est devenu une application, dont en plus on ne soucie guère de l'ensemble de l'arrivée, alors qu'à l'origine de ce mot, on ne se souciait pratiquement que de ça (collection d'ensembles) !

gerard0, j'ai envie de le noter $(X_i)_{i\in I}$ parce que je le vois pratiquement toujours noté ainsi, rarement $\{X_i;\; i\in I\}$. Mais quand on parle d'un ensemble de parties, la 2ème désignation me parait plus appropriée.

Par contre, j'ai du mal à comprendre que la notion de familles généralise la notion de suites. En effet, dans la notion de suites, il me semble qu'il y a une idée d'ordre (mais je fais peut-être erreur, l'ordre étant induit par l'ordre sur $\mathbb{N}$, ensemble des indices, dans ce cas très particulier) qu'il n'y a pas dans la notion de familles. Dans $(a,b)$, il y a une idée d'ordre parce qu'on a indicé par $\{1,2 \}$, ensemble sur lequel il y a un ordre $1<2$ (donc ce n'est pas inhérent à la notion de familles). Mais en fait, il ne devrait pas y avoir d'idée d'ordre dans les n-uplets, car dans la notion de famille, il n'y a pas d'idée d'ordre ? Je ne sais pas si c'est très clair.
En fait, je veux dire par là, que certaines familles (comme les n-uplets) ont un ordre parce qu'il provient de l'ensemble d'indices, tandis que d'autres n'en ont pas parce qu'il n'y en a pas dans l'ensemble d'indices ?

Je ne sais pas non plus si finalement l'injectivité a de l'importance, car on peut répéter un élément dans un ensemble sans changer l'ensemble (on peut prendre une famille non injective pour avoir le même résultat pour l'ensemble, à condition de ne rien faire d'autre sur cet ensemble ensuite). En fait, ce qui n'est pas clair, c'est quand on désigne un ensemble par la famille $(X_i)_{i\in I}$, est-ce qu'on suppose que la famille est injective ?



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Julia Paule.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
C'est parce que ce n'est pas clair qu'on ne désigne pas un ensemble par une famille grinning smiley
(Sauf à dire "l'image de telle famille")

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Maxtimax.
JLT
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
avatar
Un ensemble peut s'écrire sous la forme $\{X_i;\; i\in I\}$ (avec des accolades). Rien n'oblige la famille $(X_i)_{i\in I}$ (avec des parenthèses) à être injective.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
@CC : d'accord avec toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Julia, non tu te trompes. Ordonné ou pas l'ensemble d'indices impose une impossibilité de changer l'ordre. Vois le post de JLT avec son sigma.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Bonjour, ça y est, je commence à comprendre. Rien n'oblige un ensemble à être écrit sous forme d'une famille $(X_i)_{i\in I}$, sauf si .... Je m'explique.

Si $X$ est un ensemble, on peut l'écrire (à l'aide de ses éléments) sous forme d'une famille $(x_i)_{i\in I}$, avec $x_i \in X, \forall i \in I$ (on peut fabriquer une telle famille, par exemple en prenant comme GaBuZoMeu, $I=X$, et en faisant l'injection $I \rightarrow X, i \mapsto x_i$. Cela fait $(x_x)_{x \in X}$. Par contre, je n'ai jamais vu l'écriture $(a)_{a\in A}$. Ou bien, on peut l'écrire tout simplement : $X= \{ x, x \in X \}$, sans indicer $X$, ou bien $X= \{ x_i, i \in I \}$ en indiçant, ou encore $X=(x_i)_{i\in I}$ (abus de notation comme dit Martial) ou aussi $X = \{ x_i \}_{i\in I}$, ou $X= \{ x \}_{x \in X}$ ou $X= ( x )_{x \in X}$, ou $X= \cup_{x \in X} \{ x \}$. Quoi d'autre ? On retrouve les 3 formes d'écriture de gerard0, avec quelques bonus ...

Mais pour une famille d'ensembles $(A_i)_{i \in I}$, ces ensembles $A_i$, ils appartiennent à quel ensemble ? Evidemment à $E=\{A_i, i \in I \}$. Mais si on ne veut pas s'embêter avec $E$, on écrit plus volontiers un ensemble d'ensembles sous forme indicée, puis on parle de leur union, intersection, etc ... . Je n'ai jamais vu qu'on parle d'éléments sans préciser à quel ensemble ils appartiennent. Voilà.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Julia Paule.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
christophe c, relis-toi, une 2ème fois, une 3ème fois, mets-toi à la place de quelqu'un qui va te lire, c'est incompréhensible. D'ailleurs, je ne vois pas où JLT parle de sigma.

EDIT à suite de la remarque de gerard0, dont je n'ai pas écorché le nom, bien que je mettrais un accent à gérard !



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Julia : Bravo pour ton "incompéhensible" (même si l'oubli d'une lettre est involontaire). Il me rappelle la fiche de notation (communiquée aux étudiants) dont l'un des critères était "Orthogaphe". Elle a servi 5 ou 6 ans avant qu'un prof s'en aperçoive !

Cordialement.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Je lis sur Wikipedia qu'un $n$-uplet est une collection ordonnée de $n$ objets. Donc on peut en tirer une famille ordonnée, il suffit de le faire avec l'ensemble d'indices $\{1, ...n \}$ ordonné par l'ordre naturel.

En fait, christophe c, tu comprends la question de travers et tu réponds à côté, ce qui embrouille encore plus. Je ne demande pas si on peut changer l'ordre d'une famille, je demande si on peut dire que les $n$-uplets peuvent être vus comme une famille ordonnée, et la réponse est donc oui.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Encore un problème (qui n'a rien à voir avec les familles).

Soit $X$ un ensemble, et $\cal{A} \subset \cal{P}$$(X)$. On considère l'ensemble $Y=\cup \{A \mid A \in \cal {A} \}$ (vu dans mon cours). J'imagine que cela veut dire l'union des ensembles appartenant à $\cal{A}$, c'est une partie de $X$. Mais $\{A \mid A \in \cal {A} \} = \cal {A}$. Donc on obtient $Y= \cup \cal {A}=\cal {A} $, ce qui est contradictoire. Où est l'erreur ?

Merci d'avance !
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
$\bicup\mathcal A$ n'est pas $\mathcal A$.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Quand on hésite, on prend un exemple simple.

X={a, b, c,d,...z} (alphabet); $\cal{A}=$ {{a,b},{e,f},{i,j},{o,p},{u,v},{y,z}} (les ensembles constitués d'une voyelle et de la lettre qui suit); que vaut Y ?

Cordialement.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
@Julia : je rebondis sur le message de Maxtimax.

$\bigcup \mathcal{A}$ ce n'est pas $\mathcal{A}$, c'est la collection de tous les éléments qui sont dans un des éléments de $\mathcal{A}$

De façon imagée, tu disposes d'une valise dans laquelle tu as rangé un certain nombre de chemises cartonnées. Dans chaque chemise il y a un certain nombre de papiers.
On note $\mathcal{A}$ la valise, c'est-à-dire l'ensemble des chemises.
Eh ben $\bigcup \mathcal{A}$ c'est l'ensemble des papiers : il faut ouvrir toutes les chemises et en extraire le contenu.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Julia Paule, tu enfiles allègrement et avec obstination les incorrections dans ce que tu écris.

Non, un ensemble ne peut pas s'écrire comme une famille parce que ce n'est pas une famille. Mais à un ensemble $X$ on peut canoniquement associer la famille $(x)_{x\in X}$, autrement dit $\mathrm{Id}_X : X\to X$. C'est la famille générique d'éléments de $X$, au sens où toute autre famille d'éléments de $X$ s'obtient en composant avec une application $I\to X$.
Ton écriture $(x_x)_{x\in X}$ est du non-sens. Écrire $X=(x)_{x\in X}$ est un contresens, toujours parce qu'un ensemble n'est pas une famille.
On n'écrit pas d'habitude un ensemble en indiçant l'accolade fermante : pas $\{x_i\}_{i\in I}$, mais $\{ x_i\ ;\ i\in I\}$.

Tu mentionnes le cas d'une famille d'ensembles $(A_i)_{i\in I}$ en demandant à quoi appartiennent les $A_i$. Ben, on peut tout simplement répondre "à l'ensemble des $A_i$" ; la famille est une relation fonctionnelle de domaine l'ensemble $I$, donc son image est un ensemble (axiome de remplacement).
Souvent, à la famille d'ensembles $(F_i)_{i\in I}$ on associe l'ensemble $ F: \bigcup_{i\in I} F_i\times \{i\}$ muni de l'application $p : F\to I$ définie par $ p(a,i)=i$. Par exemple, on identifie une famille de parties de $A$ indexée par $I$ à un sous-ensemble $F$ de $A\times I$ muni de la projection sur le second facteur : on a $F_i=\{a\in A\ ;\ (a,i)\in F\}$, c'est la "fibre de la famille $F$ en $i$". Cette façon de voir les choses est assez souvent utile en géométrie.
Re: Famille = ensemble ?
il y a trois mois
Exercice : soient $a,b,c$ des ensembles.
On pose $\mathcal{A} = \{\{a\}, \{\{b\}\}, \{\{\{c\}\}\}, \{a,b\} \}$.
1) Que vaut $\bigcup \mathcal{A}$ .
2) Que vaut $\bigcup \bigcup \mathcal{A}$ ?
3) Que vaut $\bigcup \bigcup \bigcup \mathcal{A}$ ?
4) Que vaut $\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup \mathcal{A}$ ?
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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