Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
273 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Cardinaux mondains again

Envoyé par Martial 
Cardinaux mondains again
il y a trois mois
Salut à tous,

Je viens de m'apercevoir que j'ai raconté pas mal de conneries sur les cardinaux mondains. En particulier chap 24 pages 5, les preuves des lemmes 5 et 6 sont fausses... enfin, il me semble.

Alors je vais tout reprendre au début. Pour commencer je voudrais montrer que si $\alpha > \omega$ est un ordinal limite et si $V_{\alpha} \models ZFC$, alors $\alpha$ est nécessairement un cardinal.
Bon, on sait que $V_{\alpha} \models ZC$ pour tout ordinal limite $\alpha > \omega$, donc le seul truc qui peut tomber en défaut est le schéma de remplacement.

Je voulais faire le raisonnement suivant : si $\alpha$ n'est pas un cardinal, on pose $\kappa = |\alpha|$. Il existe donc une bijection $f : \kappa \to \alpha$. On considère la fonctionnelle $F$ qui envoie tout $\beta < \kappa$ sur $V_{f(\alpha)}$. Comme $f$ est cofinale dans $\alpha$ il est facile de vérifier que la classe $A= \{V_{f(\alpha)} : \alpha < \kappa\}$ n'est pas un ensemble au sens de $V_{\kappa}$, donc ce dernier ne satisfait pas le remplacement.

Hélas, ce raisonnement ne tient pas, puisqu'on ne sait pas si la bijection $f$ est définissable par une formule ensembliste.

Si quelqu'un a une meilleure idée...

Merci d'avance

Martial
Re: Cardinaux mondains again
il y a trois mois
J'ai oublié de préciser que mon univers $\mathbb{V}$ satisfait AC, oeuf corse.
Re: Cardinaux mondains again
il y a trois mois
Oui c'est tout simple et tu vas t'en mordre les doigts grinning smiley

Soit $\mu\in V_\alpha$ un ordinal. Alors il existe une injection $\mu\to \kappa$.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Cardinaux mondains again
il y a trois mois
@Max : merci pour ta réponse, mais je suis désolé. Je ne me suis pas encore mordu les doigts car je n'ai pas compris ton argument. (Je ne dois plus être coté à l'Argus, lol).

En quoi l'existence de cette injection contredit-elle le schéma de remplacement ? (A moins que tu fasses plutôt allusion au schéma de collection, ce qui revient au même).
Re: Cardinaux mondains again
il y a trois mois
L'énoncé "Il existe un ordinal tel que tout ordinal du monde s'injecte dedans" ne te parait pas suspect ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Cardinaux mondains again
il y a trois mois
Ça y est, j'ai compris. En fait il ne fallait pas chercher une non-instance du schéma de remplacement, mais simplement une aberration.
Merci, Max !

Au risque d'abuser, peux-tu me confirmer que mes lemmes 5 et 6 ont des preuves fausses ?

Fondamentalement, je viens de me rendre compte du pb suivant : dans la vie de tous les jours, on a tendance à confondre $2^{\kappa}$ avec $\mathscr P(\kappa)$, pour un cardinal $\kappa$ donné. OK.
Maintenant je considère $V_{\omega_1}$.
On a $\omega \in V_{\omega +1}$, donc $\mathscr P(\omega) \in V_{\omega +2}$.
Pourtant, $\omega_1 \notin V_{\omega_1}$, donc a fortiori $2^{\omega} \notin V_{\omega_1}$.
Donc ça veut dire qu'ensemblistement $\mathscr P(\omega)$ et $2^{\omega}$ ne désignent pas le même objet, c'est ça ?

Je te pose cette question bête car c'est ça qui est à l'origine de mes erreurs.

Merci d'avance si tu peux m'aider à me recentrer.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Martial.
Re: Cardinaux mondains again
il y a trois mois
Bah c'est une aberration en conséquence du remplacement quand même winking smiley

qu'appelles-tu $2^\omega$ ? Si c'est l'ensemble des applications $\omega\to 2$, alors si, c'est dans $V_{\omega_1}$ (dans $V_{\omega+3}$ ou peut-être $4$ même), si tu veux dire "le cardinal de cet ensemble des applications", alors non effectivement, il n'apparait que plus tard.

En général $V_\alpha$ ($\alpha$ limite) ne satisfait pas "tout ensemble est en bijection avec un ordinal", ce qui montre que le remplacement qu'on utilise lors de cette preuve est vraiment nécessaire !
Pour autant on peut (à nouveau, dès $V_{\omega + \epsilon}$) encoder des ordinaux très grands par des bons ordres plus ou moins canoniques.

Mais si ton cardinal est mondain, il sait bien que tout ensemble est en bijection avec un ordinal, et donc $V_\kappa$ contient bien $2^\alpha$ dès qu'il contient $\alpha$ (cf. un poil plus bas dans mon message)

En gros $\kappa$ est quasiment inaccessible, c'est juste que quand tu essaies de prouver la régularité t'es embêté par des questions de définissabilité. Donc je pense que ton lemme 5 est ok, et que d'ailleurs tu peux prouver direct que $\kappa$ est point fixe de $\beth$ (s'il ne l'était pas, le $\mu$ devrait être $<\kappa$, et donc $\kappa= \beth_\mu \in V_\kappa$, car $V_\kappa$ ne se trompe pas sur $\beth_\mu$ par tes lemmes précédents)

En fait c'est juste ton lemme 3 qu'il faut réécrire je pense: tu y prouves $(P(a))^{V_\kappa} = P(a)^V$, pas $2^a$, mais tu pourrais ensuite en déduire $(2^a)^{V_\kappa} = (2^a)^V$ en disant : $V_\kappa$ ne se trompe pas sur qui est un cardinal ($V_\alpha$ ne se trompe jamais dès lors que $\alpha$ est limite, parce qu'une bijection entre $\beta$ et $\delta<\beta$ se trouve quelque part dans $V_{\beta +\epsilon}$), et comme $\kappa$ est mondain, il sait que $P(a)$ a un cardinal, qui doit donc être le bon.

(PS : c'est marrant la TDE quand même grinning smiley)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Cardinaux mondains again
il y a trois mois
Merci, Max.

Je ne vais pas avoir trop de la journée pour comprendre tout ça, mais maintenant je devrais y arriver.

(PS : c'est marrant la TDE quand même)

Je ne te le fais pas dire, lol.
Re: Cardinaux mondains again
il y a trois mois
@Max : finalement j'ai tout compris. Je viens de rectifier. Merci !!!

En fait j'ai commis de façon récurrente l'erreur consistant à confondre $\mathscr P(\kappa)$ avec son cardinal, $2^{\kappa}$. C'est vrai que dans la plupart des applications on peut identifier les deux objets sans problèmes, mais ensemblistement ce sont deux objets très différents. (De même qu'en théorie $\mathbb{Z}$ n'est pas inclus dans $\mathbb{Q}$ etc).
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 224, Messages: 1 506 885, Utilisateurs: 27 661.
Notre dernier utilisateur inscrit ibra.


Ce forum
Discussions: 2 516, Messages: 51 071.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page