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Un théorème de Maxtimax que j'isole

Envoyé par christophe c 
Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Il s'agit du théorème suivant, que je vais réciter de mémoire :

Soit $J$ un ensemble.

Pour tout morphisme $f$ de l'anneau du groupe additif produit $\Z^J$ dans $\Z$ il existe un ensemble fini $F$ d'ultrafiltres sur $J$ stables par intersections dénombrables et $g,h$ tels que:

1/ $f = g\circ h$

2/ $h$ est l'application triviale allant de $\Z^J$ dans le produit des ultrapuissances par les éléments de $F$ de $\Z$

Et la décomposition est unique (bon, ça on s'en doute)
.

Bon voilà qui est fait, le fil est ouvert. Comme Max utilise des notations catégoriques que je ne digère pas, je vais réfléchir et poser des questions si ça ne me parait pas "évident" (Théoriquement, ça ne peut que l'être vue la structure de l'énoncé). Les guillemets indiquent qu'il faut du temps tout de même pour identifier les ultrafiltres "obligés". (Bon, en fait je crois que je vois qui ils sont, mais la finitude est intéressante)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Non attention c'est pour les morphisme de groupes !!

Le théorème n'est pas évident je crois, comme tu le remarques on sait bien qui sont les ultrafiltres, mais la finitude est intéressante; et je crois que la $\omega_1$-complétude l'est aussi (en tout cas elle n'est pas évidente)

(PS : j'espère que ni $\bigoplus$, ni $\prod$ ne sont pour toi des "notations catégoriques" grinning smiley je me demande alors où tu les vois, peut-être $\hom$ ? )

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Pour les lecteurs catégoricophobes je pense qu'on peut le redire comme suit.

Si $I$ est un ensemble et $U$ est un ultrafiltre de $I$ stable par intersection dénombrable, l'application qui à $x\in \Z$ fait correspondre la classe dans $ \Z^I/U$ de l'application constante, est surjective (pour tout $x\in \Z^I$ et $n\in \Z$ posons $I_n:=\{\iota \in I \mid x_{\iota} = n\}$), alors si aucun des $(I_n)_{n\in \N}$ n'appartient à $U$, tous leurs complémentaires sont dans $U$ ainsi que leur intersection, or cette dernière est vide) et aussi évidemment injective. Soit $\theta_U$ son application réciproque.

Ce qu'on veut ici est montrer que pour tout morphisme de groupes non trivial $f$ de $\Z^I$ dans $\Z$, il existe une famille de couples finie $(U_1,k_1),...,(U_n,k_n)$, unique à l'ordre près des termes, telle que pour tout $i\in \{1,...,n\}$, $U_i$ est un ultrafiltre stable par intersections dénombrables sur $I$, $k_i$ un entier naturel non nul, les $(U_i)_{1\leq i \leq n}$ étant deux à deux distincts, et pour tout $x\in \Z^I$, $f(x) = g_{\vec U, \vec k}(x):= \sum_{i=1}^n k_i \theta_{U_i} \left ( [x]_{U_i}\right )$.

Est-ce que ce théorème de représentation a un nom?

L'unicité peut se traiter comme suit: soient $(U_1,k_1),...,(U_n,k_n)$ et $(V_1,\ell_1), ..., (V_m, \ell_m)$ deux telles familles, telles que (avec les notations ci-dessus) $g_{\vec U,\vec k} = g_{\vec V, \vec{\ell}}$.

Ci dessous, on identifie dans les notations les éléments de $\Z^I$ avec leur classe d'équivalence dans $\Z^I/U$ (il n'y aura pas d'ambiguïté).

Pour tout ensemble $E$ et toute famille $W_1,...,W_p$ d'ultrafiltres telle que $W_1 \notin \{W_2,W_3,...,W_p\}$, il existe un élément dans $W_1 \backslash \bigcup_{i=2}^p W_i$ (pour tout $j\neq 1$, il existe $F_j \in W_1\backslash W_j$ puisque, étant distincts et par maximalité des ultrafiltres, on ne peut avoir $W_1\subseteq W_i$ pour aucun $i\geq 2$. Alors $\bigcap_{i=2}^p F_i$ convient).

Si les ensembles $\{U_1,...,U_n\}$ et $\{V_1,...,V_m\}$ ne sont pas égaux, alors par exemple il existe $i$ tel que $U_i \notin \{U_1,...,U_{i-1},U_{i+1}, ... U_n, V_1, V_2,...,V_m\}$. Il existe donc aussi par le lemme ci-dessus, $K\in U_i$ et n'appartenant à aucun des autres ultrafiltres des deux listes.
Alors $g_{\vec U, \vec k} (\mathbf 1_K)= k_i\neq 0$, mais $g_{\vec V, \vec {\ell}} (\mathbf 1_K) =0$ ce qui est une contradiction.

Pour l'unicité des coefficients, à nouveau, étant donné $j \in \{1,...,n\}$, considérons via le lemme ci-dessus, $L\in U_j \backslash \bigcup_{h\neq j} U_h$. Alors $k_j = g_{\vec U, \vec k} (\mathbf 1_L) = g_{\vec U, \vec{\ell}} (\mathbf 1_L) = \ell_j$ d'où le résultat.

L'existence de cette décomposition a l'air d'être la partie subtile du théorème grinning smiley
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Ca nous apprend que le dual de $\Z^I$ est libre. IDu coup pour $I=\N$, ce dual n'est autre que $\Z^{(\N)}$ (quels sont les ultrafiltres de $\N$ stables par intersection dénombrable et non principaux?; à moins que ma mémoire me joue des tours il me semble qu'il y a ue preuve du résultat pour $\N$ avec très peu de background).
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Foys: aucun ensemble qui est plus petit que le premier mesurable n'admet d'ultrafiltre $\omega_1$-complet non principal.

Pour $\mathbb N$ il y a effectivement des preuves sans background, cf ce fil (attention la démonstration que j'y proposais ne marche pas, on pourra voir cependant celle de Gaussien)
(l'esquisse que je proposais pour le cas général est aussi -évidemment- erronée, le filtre que je mentionnais est l'intersection des $U_i$ qu'on est censé obtenir, et n'est évidemment pas maximal en général)

(je me permets de re-remarquer qu'il n'y avait aucune catégorie dans ma formulation initiale grinning smiley grinning smiley si on a la phobie des sommes directes ou des produits de groupes, ce n'est pas catégoricophobe qu'on est, mais algébrophobe - non pas que ce soit un problème, mais nommons bien)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Merci Maxtimax!
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
grinning smiley

Moi je suis "signophobe" tout simplement. théoriquement, ces énoncés là me deviennent évidents quand je les ai digérés, donc merci pour les précisions et reformulations, c'est parfait.

Bon, hélas, là, j'ai fait un petit retour sur twitter-et-le-Coran (qui était devenu mon autre addiction forumique) depuis quelques jours et je suis un peu "vidé" par rapport à la grande aventure des ultrafiltres. (Pour tou tdire, je n'ai toujours pas "visualisé dans ma tête" l'énoncé). Je vais corriger ma coquille déjà.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Bon, j'ai à peu près digéré l'énoncé.

@Foys: ouais, tout petit ensemble $J$ sera tel que les ultraflitres en question seront principaux, donc toute forme $f$ sera de la forme
$$
\forall x: f(x) = x(a_1) + \cdots +x(a_n),

$$ pour un uplet bien choisi.
Ce qui est rigolo, c'est qu'on est renvoyé plus modestement sur des ultrafiltres sigma-additifs seulement, quand $J$ devient grand. J'espère que Martial va croiser ce fil, ça va lui plaire cette émergence en abondance de tels ultrafiltres.

Remarque : il est "garanti" qu'on ne peut pas faire mieux puisque n'importe quel ultrafiltre sigma additif $W$ sur $J$ donne une telle forme, ie :

$ x\mapsto $ le $n$ tel que pour $W$-presque tout $i\in J: x(i)=n$


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
@Foys: quand tu t"ennuieras, tu prendras plaisir à prouver que le plus petit inaccessible est trop petit pour qu'il y ait dessus un ultrafiltre sigma additif non principal. A ce que je vois, tu ne savais pas grinning smiley et là, comme excursion platonicienne, c'est de la balle tu verras (ce n'est pas très difficile, attentoin Axiome du choix obligé)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Et un TRES GRAND MERCI A MAX pôur cet énoncé de très bon gout.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Christophe : pour me remercier, trouve m'en une preuve facile grinning smiley
(Je rigole, tu n'as pas à me remercier évidemment; mais ça me ferait plaisir une telle preuve)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Bin t'as de la chance, je viens juste d'isoler les points clé, donc presque une preuve.

Bon je note $\phi$ la forme pour pouvoir noter $f$ les éléments de $\Z^J$.

Le filtre $G:=$ l'ensemble des $X\subset J$ tel que $\forall f: $ si la restrictoin de $f$ à $X$ est nulle alors $\phi(f)=0$.

Ce filtre est gros, et il n'y a qu'un nombre fini (ça c'est facile) d'ultrafiltre qui le prolongent. Fin de l'histoire.

Alors:

ce qui est facile c'est qu'il SUFFIT de prouver que tout ultrafiltre qui le prolonge est sigma additif. Ca entraine AUTOMATIQUEMENT qu'ils ne peuvent être qu'en nombre fini.

Par contre, prouver ce dernier point, ça va être trop pour moi pour ce soir, je suis encore trop imbibé de ma journée sur twitter. Et puis il y a des $f$ tordues à construire pour contraindre la chose, ie prouver qu'il y a "beaucoup de monde dans $G$".

Or comme mon autre fil était justement un témoignage de ma faiblesse à retrouver des arguments pour ces $f$ tordues, je ne joue même pas la partie, elle est perdue d'avance, je suis trop vieux (dans l'aurte fil je suis quand même passé par des $2^n$ par franchement de la structure d'anneau grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Bon, je suis en mode grignotage toute la journée, pardon, je poste donc un nouvel élément.

On prend l'ensemble $L$ des ultrafiltres $W$ tels que pour toute $f: \{x\mid f(x) \in [-\phi(f), \phi(f)]\}\in W$ et $H$ l'intersection des éléments de $L$.

1/ $H$ est EVIDEMMENT un très gros filtre contenu seulement dans un nombre fini d'ultrafiltres tous omega1 additifs.

2/ Il reste à prouver que $H=G$.

3/ Une fos prouvé que $H=G$, je pense que ça doit se terminer "relativement" à coup de quelques "calculs-en-anneau" habituels.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
De mon téléphone

Voici un sketch-preuve. Je suis obligé de le rédiger en ANS.

Je note L la forme additive.

Soit u et k deux suites FINIES k étant à termes dans Z et u dans J. Même longueur n.

telles que pour tout f STANDARD,

L(f) = somme des ki fois f(ui).

L'existence de u,k est assurée par filtration (les conditions de son existence filtrent***).

Ce qui est "formidable" , ensuite, c'est que n est FORCEMENT STANDARD et les ki aussi à cause de l'hypothèse que L est additive et à valeurs dans Z.

Puis seuls les ui sont juste ce que j'appelle insoupçonnables, mais pas forcément standard. C'est a dire que le standardisé de chaque carte d'identité** de ui sont des ultrafiltres sigma additifs.

** La carte d'identité de w c'est juste l'ensemble STANDARD tel que toute partie STANDARD qui lui appartient contient w comme élément et réciproquement.

*** la preuve de ça est juste de l'algèbre linéaire sur les Z modules.

Pardon pour le délai et sauf erreur of course.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Citation
christophe c
@Foys: quand tu t"ennuieras, tu prendras plaisir à prouver que le plus petit inaccessible est trop petit pour qu'il y ait dessus un ultrafiltre sigma additif non principal. A ce que je vois, tu ne savais pas grinning smiley et là, comme excursion platonicienne, c'est de la balle tu verras (ce n'est pas très difficile, attentoin Axiome du choix obligé)

Je croule présentement sous les corvées administratives donc ça ne sera pas pour tout de suite grinning smiley

Alors je ne connais pas du tout ces notions, on va dire que via les interventions ci-dessus, les cardinaux mesurables sont les premiers grands cardinaux dont j'ai appris la définition il y a quelques jours. Je pensais aussi qu'un "cardinal inaccessible" était un cardinal $\alpha$ tel que $V_{\alpha}$ (de la hiérarchie de Von Neumann) est stable par schéma de remplacement (mais la page wiki semble suggérer que c'est autre chose de plus technique).
C'est intéressant parce que du coup $(\Z^I)^*$ est toujours libre, mais sans grands cardinaux il est toujours isomorphe à $\Z^{(I)}$, alosr qu'avec il peut être différent.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Foys.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
De mon téléphone : exactement !

Je ne connais que 3 situations de ce genre sur des maths de base:

Un truc de Martial récent (je ne me rappelle pas l'énoncé et editerai d'un pc)

Le présent truc

Un qui dit tout cardinal strictement plus petit que le premier mesurable peu être atteint comme taille d'un espace quasicompact T1 dont chaque singleton est intersection dénombrable d'ouverts.

Bien sûr en TDE il y en a plein mais ils sont typiques de la TDE.

Un inaccessible c'est juste qu'il vérifie en plus le "remplacement du SECOND ORDRE PLEIN.

Vérifier le remplacement c'est du premier ordre et ne concerne que les parties définissables.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Je suis sur mon pc, mais je voudrais sortir boire un café, donc je me dépèche mais je poste car ne veux pas faire attendre foys.

Je note $X\to Y$ l'ensemble des applications de $X$ dans $Y$.

1/ Un ENSEMBLE inaccessible c'est la plus simple idée que tu peux te faire de la philosophie $ZF$: c'est un $E$ transitif qui n'est pas dénombrable, tel que pour tout $x\in E: P(x)$ est aussi dans $E$ et (c'est là où tu avais un flou) tel que pour toute partie $A$ de $E$, pour que $A$ ne soit pas dans $E$, il faut qu'il existe une surjection de $A$ sur $E$. Ainsi, tu as l'axiome du choix gratuit et le modèle rêvé de ZFC.

2/ Les cardinaux inaccessibles sont les cardinaux des ensembles inaccessibles.

3/ J'en reviens à ce fil dont il serait dommage qu'il reste confidentiel car il devrait "intéresser la terre entière" et il ne faut pas avoir peur.

4/ Les ultrafiltres sur $E$ sont les "fantômes" d'éléments de $E$, c'est à dire qu'ils ont les propriétés algébriques des $T_a := \{X\subset E\mid a\in X\}$. Ce sont donc les plus beaux objets qui soient, puisqu'ils permettent, avec l'axiome du choix d'aller "au delà de $E$, sans vraiment en sorti en temps fini".

5/ Pour des raisons que je ne détaille pas ici (vous pouvez vous reporter au livre qu'est en train d'écrire Martial), un ultrafiltre a énormément de mal à être stable par intersections dénombrables.

6/ Je laisse quelques instants les ultraflitres et passe à un des "sauts quantiques cérébraux importants" de l'activité scientifique.

7/ Un ultrafiltre est un cas particulier d'élément de $(E\to F)\to F$ avec $F:=2$ et qui ressemble fort à un élément de $E$, au sens où il est "presque vrai" qu'il et de la forme $(f\mapsto f(a))$ pour un certain $a$.

8/ Mais franchement, on peut s'en ficher de $F$ et dire qu'on décide capricieusement que tout élément $\phi$ de $(E\to F)\to F$ "se doit" de réprésenter un élément $a$ de $E$ au sens où $\forall f\in E\to F: \phi(f)=f(a)$.

9/ Alors évidemment, pour des $\phi$ quelconques, ce n'est pas vrai, puisque ce n'est déjà même pas vraiment vrai pour des ultrafiltres (qui sont des $\phi$ cohérentes de $(E\to 2)\to 2$)

10/ Cependant, ll y a plein de domaines de maths (GA a dit récemment que c'était ma fonction préférée la naturelle qui va de $E$ dans $(E\to F)\to F$ ) où les gens s'amusent à "organiser" cette idée capriceuse. Parfois, il n'y a rien à faire (quand $E$ est un ev de dim finie, $F$ le corps et $\phi$ un élément du bidual).

11/ L'important dans ce domaine, c'est qu'on peut "lâcher ses coups". Je précise un peu le sens de ce terme :

12/ Soit $\phi\in (E\to F)\to F$, avec $F$ infini. Et bien le filtre $F_\phi$ engendré par les $A_f:=\{x\in E \mid f(x)=\phi(f)\}$ ou bien est impropre (c'est $P(E)$) ou bien est "génial" dans le sens que c'est un ultrafiltre et qu'il est stable par intersections dénombrables (et si $F$ n'était pas infini, on a la même chose sans le stable par I.Den)

13/ En catégories par exemple, comme il y a un ADN algébrique, on a posé es hypothèses ultrafortes qui fait que les $\phi$ concernées sont la plupart du temps de la forme $f\mapsto f(a)$ à cause de Yoneda. (Pour être plus précis, si pour tout $X$ vous avez $\phi_X: (E\to X)\to X$, vous récupérez un élément de $E$ avec particularisant $X:=E$ et en prenant $a:=\phi_E (id)$ et des hypothèses commandées par les désirs des algébristes à propos de $\phi$ font que $\forall X, f : \phi_X(f) = f(a)$)

14/ L'énoncé discuté dans le présent fil est la présentation d'une $\phi$ qui n'est pas tout à fait quelconque, mais qui est quand même telle que le $F_\phi$ défini en 12 ci-dessus vérifie, hélas, mais de peu $\emptyset \in F_\phi$.


15/ Cela tient à ce qu'on n'a pas mis dans les hypothèses le fait que $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$, mais seulement $\phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ sinon il serait évidemment trivial que $\phi$ serait de la forme $x\mapsto pick(x[[F_\phi]])$

où $f[[W]] := \{A\mid \{x\mid f(x)\in A\}\in W\}$ et $pick(T_a)=a$ où $T$ est défini en (4) ci-dessus.

16/ Mais le théorème du présent fil dit qu'à "une sorte de superposition quantique près", on va avoir presque ça.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Je ne connais rien à ce qui est raconté ci-dessus, je réponds juste au dernier post de Christophe sur le remplacement au second ordre.

Et encore, juste pour dire que c'est ça que j'aime bien dans la théorie de Morse-Kelley : $\kappa$ est inaccessible ssi $(V_{\kappa}, V_{\kappa +1}) \models MK$. Autrement dit, vu de chez MK, mondain = inaccessible, ce qui simplifie pas mal le schmilblic.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
En fait je répondais à l'avant-dernier message de Christophe, mais on s'est croisés.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
@Foys : la définition dont tu parles est celle d'un cardinal mondain (worldly cardinal) : $\kappa$ est mondain ssi $V_{\kappa} \models ZFC$.
Tu as sans doute lu sur wikipedia que le premier cardinal mondain, s'il existe, est de cofinalité dénombrable, ce qui peut paraître surprenant au premier abord.
En fait ce qui se passe c'est que si $\kappa$ est le premier mondain, alors la fonction $f$ de $\omega$ dans $\kappa$ qui témoigne de la singularité de $\kappa$ n'est pas définissable au premier ordre : tu la construis en appliquant $\omega$ fois le schéma de réflexion, mais tu ne peux exercer aucun contrôle sur les ordinaux que tu construis.
Maintenant, évidemment, si tu t'autorises le schéma de remplacement au second ordre, ta fonction $f$ te fournit cash un contre-exemple au remplacement dans $V_{\kappa}$. Et il te faudra attendre bien longtemps (à vrai dire le premier inaccessible) pour trouver un $V_{\kappa}$ qui satisfasse le remplacement.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Je reviens au théorème signalé par Maxtimax (pardon pour le délai, je virvilte entre le forum, twitter, instagram) pour découper en items une de ses preuves possibles. A notre qu'un truc que j'ai considéré comme trivial est en fait un truc que je n'ai pas du tout prouvé (je vais l'admettre), car (calculs), je me suis emmêlé les pinceaux.

Le théorème fait l'hypothèse suivante: $E$ ensemble et $\phi$ application ADDITIVE qui va de $A:=\Z^E$ dans $\Z$.

Le théorème prétend en qu'on en déduit la chose suivante: il existe $c:=(U_1,..,U_n)$ ultrafiltres stables par intersections dénombrable tels que

$$\{ (T(f,c), \phi(f)) \mid f\in A \}$$

est une fonction, notant $T(f,c):=(p_1,..,p_n)$ tels que $\forall i: \{x\in E \mid f(x)=p_i\}\in U_i$.


(J'ai affaibli, sans perte de généralité, la conclusion pour rendre digeste le phènomène, l'aspect combinaison linéaire est pour le coup REELLEMENT conséquence triviale de ça)

Je découpe la preuve de ça en tranches.

1/ D'abord remarque hors-sujet : si on demandait $\phi$ aussi multiplicative ce serait trivial, et on aurait en conclusion $n=1$, avec en outre
$$\forall f\in A \forall p\in \Z: [\phi(f) = p \iff \{x\mid f(x)=p\}\in U_1$$

du fait que $\phi$ ne serait alors qu'une façon de décrire l'ultrafiltre (le $+$ ne suffit pas à donner toute la logique, mais le $+$ et le $\times$ oui, via les trois traductions :

$ab=(a$ ou $b)$
$a+b=(a\iff b)$
$1-a = non(a)$

pour l'ensemble $\{0;1\}$


2/ Preuve du théorème.

J'admets (je croyais que c'était évident, mais c'est calculatoire et je ne peux donc pas m'y retrouver vraiment en un temps décent) le lemme suivant:

2.1/ Lemme1:
soit $(B_1,B_2..) $ une partition de $E$ en $\N$ morceaux. Alors il existe un entier $n$ tel que $\{([f_{|(B_1\cup ..B_n)}], \phi(f))\mid f\in A\}$ est une fonction. Admis (dans l'attente de jours meilleurs. De toute façon, j'ai cru lire un post où Max et Guego le démontrent en quelques lignes, mais c'est très calculatoire. Je mettrai un lien à l'edit.

edit: Foys prouve ce lemme (une version similaire) dans le lien qui suit: [www.les-mathematiques.net]

Dans la suite je note $n(B)$ le plus petit tel entier pour la partition $B$.

2.2/ soit $F$ le filtre engendré par les $R(B) := \{x\mid \exists q\in \N: q=n(B)$ et $x\in [B_1\cup ..\cup B_q] \}$, quand $B$ parcourt les partitions indicées par $\N$ de $E$.

2.3/ Lemme2: soit $U$ un ultrafiltre tel que $F\subset U$. Alors $U$ est stable par intersections dénombrables.
Preuve facile

2.4/ Lemme3: $G:=\{U\in UltrafiltreSur(E) \mid F\subset U\}$ est fini.
Preuve facile en utilisant le lemme2 (tout filtre ayant une infinité d'ultrafiltres qui le prolongent en voit au moins un le prolonger sans être stable par intersections dénombrables).

Remarque triviale: si $U \in G, f\in A$, il existe un unique $p\in \Z$ tel que $\{x\mid f(x) = p\}\in U$. Je note $f[[ U ]]$

2.5/ Lemme4 et fin: $\phi(f)$ ne dépend que de $U\in G\mapsto f[[ U ]]$.
Preuve facile.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Voici les deux liens que j'évoque où les points-clé de la preuve du lemme que j'ai admis sont présents en filigrane, il suffit de restructurer un peu.

[www.les-mathematiques.net]

[www.les-mathematiques.net]

Je gagne de faire d'une pierre deux coups car je vais pouvoir répondre à Max dans un autre fil.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Voici une preuve (à quelques modifications près) du lemme1 que j'ai admis.

[www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
grinning smiley ... je ne m'en remets pas, je me prosterne devant Bezout grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Christophe : attention, je crois (je me trompe peut-être) que tu fais une erreur en pensant que la preuve de Foys implique ton lemme 1.

Ton lemme 1 correspond plutôt à l'autre preuve (elle correcte, je crois, ou celle de Gaussien après) qui se passait dans ce vieux fil. Ce que la preuve de Foys montre (enfin une modification) c'est que si $\phi$ s'annule sur tous les $ext_{1,...,n}(f), f$ définie sur $B_1\cup... \cup B_n$ (où $ext_{1,...,n}$ est l'extension à tout $E$ où je mets de $0$ partout), alors $\varphi$ s'annule.

Il faut travailler un peu plus pour montrer qu'il existe un nombre au plus fini de $B_i$ tels que $\phi$ ne s'annule pas sur tous les $ext_i(f)$, ce qui est (je crois) encore plus calculatoire.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Merci pour l'info, je vais y re-réfléchir en détails (maintenant que j'ai commencé, je finirai totalement) dans les jours qui viennent (surtout si on est reconfinés durement).

Effectivement, il y a de "petites différences" qui ne me semblaient pas "compter", mais si tu dis qu'elles comptent (que ça monte quelques mètres en piste noire disons), comme tu as déjà visité le truc, ça doit être vrai.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
@Martial, si tu me lis, j'envisage de faire un HAL avec toutes les émergences d'ultrafiltres sigma-additifs connues dues aux maths "traditionnelles".

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Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
@Christophe : je n'ai pas lu tout le fil, car le théorème de Maxtimax est à des années-lumière au-dessus de mon niveau, mais j'ai au moins lu ton dernier post.

TRES BONNE IDEE !!!

J'espère que tu y feras figurer le DM de Mazet que je t'avais transmis, avec les produits mesurables de bornologiques.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
C'est bien mon intention. Ces théorèmes sont trop rares pour qu'on en oublie.

Dès que j'aurai trouvé une preuve "douce" (sans calculs ni difficultés abstraites) du présent théorème de Max, je rédigerai.

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Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Faisant plusieurs choses à la fois dans mes journées, avec des utilistions très différentes du cerveau, je vais avancer "par miettes" sur ce fil.

Je rappelle que mon but est de trouver une preuve sans "zone calculatoires ou "cachées" " du théorème principal".

Aujourd'hui, je fais en mode reposant. J'annonce juste que sans perte de généralité, on peut supposer que $\phi (Constante(1)) =1$. Et je laisse ce WLOG (facile, je ne mens pas, ça n'aurait aucun intérêt) au lecteur.

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Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Bon allez, petite contribution quotidienne à la recherche d'une "preuve douce": quand on remplace $\Z$ par $\N$ le théorème est TRES FACILE à prouver.

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Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Ma contribution du jour ne sera pas une nouvelle idée, mais juste la rédaction du post précédent.

1/ on prend le même énoncé mais on remplace $\Z$ par $\N$.

2/ Attention, ANS:

2.1/ Soit $F$ un ensemble fini qui contient toutes les parties de $E$ qui sont standard. Ca a pour effet de partitionner $E$ en $P(F)$ morceaux, dans une partition que je note $S$.

2.2/ Soit $f$ standard. Comme $\phi(f) = \sum_{M\in S} \phi(f_{|M})$, il existe un entier $n$ standard, et des morceaux $M_1,..,M_n$ tels qu'à part eux pour tout autre $M\in S: \phi(f_{|M}) = 0$.

2.3/ Les standardisés (ie les ensembles standards qui contiennent les mêmes éléments standards que) $U_i$ de $\{X\mid M_i\subset X\}$ sont des ultrafiltres.

2.4/ Ils sont tous sigma-additifs, (évident)


3/ La version classicisée de cette preuve ferait 15 à 20 lignes, il n'y a pas de grosse croissance en retirant l'ANS.

Toute la difficulté du théorème est donc que $\phi$ est à valeurs dans $\Z$ et non dans $\N$.

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a trois mois
Mais il n'est pas interdit, du coup, pour les petits (ou grands) malins, de ramener calculatoirement $\Z$ à $\N$ via je ne sais quelle astuce, ni même si elle existe grinning smiley

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Re: Un théorème de Maxtimax que j'isole
il y a deux mois
Je manque à tous mes devoirs.

Il est vrai (par ce théorème même auquel je construis une preuve comme on cuit des tripes) que toute fonction comme celle du fil est la différence de deux positives, donc du coup, peut-être peut-on le prouver directement, ce qui rendrait ce théorème très simple, puisqu'il est trivial pour les positives.

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