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Qu'est-ce qu'un objet groupe ?

Envoyé par ignatus 
Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Bonsoir,

j'essaie de comprendre la notion d'objet interne à une catégorie, et je prends pour exemple l'objet groupe. Je me base sur cette page.

Quelqu'un avait argumenté sur un autre fil qu'il y avait une différence entre les notions de groupes de Lie, groupes topologiques, et la notion de schéma en groupe.

Je n'ai pas bien compris cette distinction qui était faite. Apparemment, dans la page citée, du point de vue de la théorie des catégories, il n'y en a pas. Si l'on prend les groupes de Lie, on a la catégorie des variétés différentielles, avec la sous-catégorie dont les morphismes de variété différentielle vérifient les axiomes de groupe. Pareil pour la catégorie des espaces topologiques. Quelle serait la différence avec les schémas ? Il faudrait que les schémas en groupe ne soient pas des schémas dont les morphismes respectent les axiomes de groupe. Est-ce le cas ?

ignatus.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Personnellement je pense que ce n'est pas correct de dire que c'est la même chose, mais je comprends néanmoins le point de vue de NoName qui avait fait cette précision dans l'autre fil. Je vais essayer d'expliquer tout ça.

Dans n'importe quelle catégorie $C$ qui a des produits finis, on peut définir la notion de groupe: c'est un $G$ avec $\mu :G\times G\to G, e : 1\to G$ et $i: G\to G$ qui vérifie les axiomes qu'on connait.

De ce point de vue là, "schémas en groupe" = "groupe dans les schémas" est complétement analogue à "groupe de Lie"= " groupe dans les variétés différentielles".

Il y a cependant un truc qui fait "bugger" cette analogie qui est le suivant : dans le cas d'un groupe de Lie, on peut se permettre de dire "un groupe de Lie est une variété différentielle, munie d'une structure de groupe au sens ensembliste, telle que la multiplication (et l'inversion, mais ça se déduit) est $C^\infty$". Il y a deux ingrédients qui font que cette phrase est correcte:

1- Le foncteur d'oubli des variétés différentielles vers les ensembles est fidèle, ce qui signifie qu'étant donnée une application ensembliste entre deux variétés, la question "est-ce un morphisme de variétés ?" a un sens

2- Ce même foncteur d'oubli préserve les produits, de sorte qu'un morphisme $G\times G\to G$ c'est véritablement juste "un morphisme ensembliste $G\times G\to G$" qui s'avère être $C^\infty$.


Ces 2 points sont faux dans le monde des schémas: un morphisme de schémas n'est pas un morphisme sur les ensembles sous-jacents qui [ vérifie telle propriété ], et, de manière plus importante (j'explique juste après pourquoi c'est plus important) le produit schématique n'a pas pour ensemble sous-jacent le produit des ensembles sous-jacents !!
Ainsi, même si c'était fidèle (cf. plus bas), on ne pourrait pas définir un morphisme $G\times G\to G$ en spécifiant ce qu'il fait sur $UG\times UG\to UG$, parce que $UG\times UG \not\cong U(G\times G)$.

L'exemple canonique pour ça est bien entendu $\mathbb A^1$: son produti avec lui-même est $\mathbb A^2$, pour autant $k[X,Y]$ a en général plus d'idéaux premiers que les $(X-a, X-b)$ ! (par exemple, sur $\mathbb R$, $(x^2+y^2-1)$ est un idéal premier qui n'est pas de cette forme.

Bon, à cause de l'échec du point 1, dans le monde des schémas, la question ne se pose même pas, elle n'a pas de sens, c'est pour ça que je ne suis pas trop d'accord avec la manière dont NoName avait formulé la chose.

Par contre, si on fait un truc un peu moins Grothendickien et qu'on regarde par exemple des bonnes vieilles variétés affines sur un corps $k$ , alors on se retrouve avec un foncteur d'oubli qui soudainement est fidèle: un morphisme c'est une application ensembliste qui s'avère être donnée localement par ... euh j'oublie tout le temps si c'est polynôme ou fraction rationnelle mais peu importe, le point étant qu'entre deux variétés affines (ou mets les mots que tu préfères, quasi-projective, whatever, il y a au moins une combinaison de mots qui marche), "cette application ensembliste est-elle un morphisme de variétés ?" est une question qui a du sens.
Puisque la question a du sens, on peut, dans ce contexte, commencer à imaginer qu'un schéma en groupe affine serait une variété affine $X$ avec un morphisme $UX\times UX \to UX$ qui s'avère être un morphisme de variétés.

Eh bien, l'avertissement de NoName est là pour dire: non !! Parce que le point 2 échoue toujours même dans ce contexte simplifié, $U(X\times X)$ n'est pas (canoniquement isomorphe à ) $UX\times UX$

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Soit $C$ une catégorie, $g$ un objet de $C$ tel qu'il existe un produit cartésien $g\times g$ de $g$ avec $g$ dans $C$.
On notera $\pi_1,\pi_2: g\times g \to g$ les projections. Si $u\in C$ et $\alpha,\beta : u\to g$, on notera $ \langle \alpha,\beta \rangle$ l'unique flèche de $u$ dans $g\times g$ telle que $\pi_1 \circ (\alpha,\beta)=\alpha$ et $\pi_2 \circ (\alpha,\beta) = \beta$.

Soit $\mu: g\times g \to g$ un morphisme. On dit que $(g,\mu)$ est un groupe de $C$ si pour tout objet $x\in C$, l'application $\mu_x$ qui à $(\gamma,\delta) \in Hom(x,g) \times Hom(x,g)$ fait correspondre $\mu \circ \langle \gamma,\delta \rangle \in Hom(x,g)$ est une loi de groupe (au sens ensembliste usuel) et si (edit: la mention de cette deuxième condition est superflue, elle découle de la première) pour tous $x,y\in C$ et $\varphi \in Hom(x,y)$, l'application qui à $\varepsilon\in Hom(y,g)$ fait correspondre $\varepsilon \circ \varphi \in Hom(x,g)$ induit un morphisme de groupes entre $\left (Hom(y,g), \mu_y \right)$ et $\left (Hom(x,g), \mu_x \right)$.

On peut vérifier à l'aide de Yoneda que cette définition équivaut à celle usuelle avec des diagrammes (lorsque dans la catégorie en question il y a des produits cartésiens et des objets finaux pour construire les autres flèches d'intérêt en plus de $\mu$).

Comme dit plus haut, les difficultés viennent de ce que pour certaines catégories un peu sophistiquées, le produit cartésien n'est plus le produit cartésien ensembliste.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Foys.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Foys : ta seconde condition sur $\epsilon \mapsto \epsilon\circ \varphi$ est automatique au vu de la manière dont tu as formulé les choses;

Par ailleurs je précise que pour beaucoup de gens (moi y compris), même si elle découle du lemme de Yoneda, je préfère expliciter que $e: 1\to G$ et $i: G\to G$ comme faisant partie de la structure de groupe, pas comme des propriétés ("il existe un neutre", "il existe un inverse")

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Oui, merci Maxtimax, je crois avoir compris ton explication.

En fait, dans le cadre des catégories, tout est pareil parce que l'on parle de produit catégorique qui se ramène au produit ensembliste dans la catégorie des ensembles. Pour les groupes de Lie et groupes topologiques, c'est un produit ensembliste qui est utilisé, ce qui n'est pas possible dans le cadre des schémas où le produit catégorique ne se ramène pas au produit ensembliste (je n'ai toujours pas compris pourquoi le produit tensoriel intervenait, ou alors j'ai oublié depuis la dernière fois...).

Si c'est bien ça, ça montre la supériorité des catégories sur les ensembles...

ignatus.

Edit : Ah, pendant que je prenais le temps d'écrire et de réfléchir, il y a eu des messages !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par ignatus.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@Maxtimax: exact, ça découle de la définition de produit cartésien!
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
ignatus: ça ne montre la supériorité de rien sur rien, ça montre simplement que la théorie des catégories permet parfois de poser les bonnes questions, ou permet d'introduire des notions qui sont difficiles à présenter d'un point de vue ensembliste.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Du coup, est-ce qu'on peut dire qu'un objet groupe dans une catégorie C est un modèle de groupe dans la catégorie C ?

Parce qu'alors, on pourrait dire que les groupes de Lie et les groupes topologiques sont des exemples de modèles de groupe dans la catégorie des ensembles, ce qui n'est pas le cas des schémas en groupe. On aurait donc un exemple de modèle de groupe qui n'est pas un modèle ensembliste.

ignatus.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@Maxtimax : Il ne faut pas prendre au pied de la lettre ce que j'écris... C'est simplement que j'essaie de comprendre les relations entre catégories et ensembles, et là je viens de voir un phénomène nouveau qui m'impressionne beaucoup.

@Foys : Je te remercie pour ton intervention. Je ne comprends malheureusement pas trop Yonéda, et donc je me demande si la définition que tu donnes d'un objet groupe est universelle, car en fait c'est une définition fonctorielle, Je ne suis toujours pas très au clair avec ces histoires de foncteur représentable...

ignatus.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par ignatus.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Non, un groupe de Lie ce n'est pas un ensemble, donc un groupe de Lie c'est déjà un modèle 'non ensembliste'. Son ensemble sous-jacent est canoniquement muni d'une structure de groupe cependant, et ça ce n'est pas vrai pour les schémas en groupe.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Tu as peut-être raison Maxtimax, puisqu'une variété est un recollement d'ouverts, mais je ne saurais pas démontrer pourquoi il existe des recollements qui ne peuvent pas s'obtenir à partir de constructions ensemblistes. Ce pourrait être intéressant de comprendre où se trouve l'obstruction, elle ne me saute malheureusement pas au yeux...

Pour ce qui est de Yoneda, je viens de comprendre. Encore une fois, c'est parce que le foncteur de Yoneda est pleinement fidèle. Donc je peux traduire la caractérisation du produit sous forme de diagramme en passant à la catégorie des préfaisceaux.

ignatus.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Citation
Max
ça montre simplement que la théorie des catégories permet parfois de poser les bonnes questions, ou permet d'introduire des notions qui sont difficiles à présenter d'un point de vue ensembliste.

Je dirais personnellement la chose autrement. Ce qu'il se passe c'est que les gens sont souvent plus à l'aise avec l'approche sémantique. Alors que les mécanismes discutés et sous-jacents sont en réalité syntaxiques.

Le fait de ne pas utiliser certains aspects "trop puissants et platonisant" de ZF pour prouver ceci ou cela est alors vu comme un défaut (alors que "ne pas utiliser, c'est ne pas utiliser, c'est tout") entre car trop difficile à retenir (évidemment puisqu'on retient les théorèmes et non les preuves qui les ont fait buzzer.

En se plaçant dans des systèmes formels où la non-utilisation de tels et tels aspects est INEVITABLE (car tout simplement le système ne le permet pas, donc on ne risque pas d'oublier qu'il ... ne le permet pas), on gagne effectivement ce "supplément de mémoire".

Cela étant dit, le problème est ailleurs, et ne peut réellement se résoudre comme ça (par la déclaration religieuse de ignatus par exemple, qui a d'ailleurs "raison" si on accepte son graphe de préférence (sauf qu'il contient des boucles et que ce n'est pas un préordre non trivial).

Il est dans "la carence" que nos habitudes ont renforcée à "vivre sémantiquement" la production scientifique. C'est un bien par bien des aspects, je ne le nie pas, mais dès que ça se corse un peu ET SEULEMENT DANS CERTAINES SPECIALITES, cette habitude devient sa propre auto-ennemie.

Quand je dis que la voie sémanqtique sera de toute façon sans issue, bin on le voit bien avec les gros pros de ces domaines qui ne formalisent pas assez et sont ésotériques pour les autres (le truc est dans leur tête et pas dans leurs textes). C'est pourquoi (voeu pieu du samedi soir), il serait tout de même bien qu'un jour on réhabitue les scientifiques professionnels à "accepter" de penser syntaxiquement (et à regarder plus les preuves que leurs conclusions donc).



@ignatus :

1/ on peut faire tout ça avec n'importe quoi de "bien défini au premier ordre", pas que les groupes. Si tu as le temps amuse-toi avec d'autres notions.

2/ C'est assez maladroit d'appeler ça "objet" (même si je sais que c'est au sens informel). En catégorie, les flèches comptent 1000 fois plus que les objets. Pour la catégorie ENS (donc la vraie, sans perte) par exemple, tu peux très bien prendre les cardinaux pour objet. Sans les flèches tu vois que tu n'as pas grand chose.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Citation
ignatus
pourquoi il existe des recollements qui ne peuvent pas s'obtenir à partir de constructions ensemblistes. Ce pourrait être intéressant de comprendre où se trouve l'obstruction, elle ne me saute malheureusement pas au yeux...

C'est normal qu'en le disant comme ça, tu crois voir des obstructions. Tout se fait de manière parfaitement ensembliste, là n'est pas la question. Ce qu'il se passe, c'est plutôt que tu vas pouvoir continuer de donner un nom "groupes, anges, démon, tarte aux cerises, etc" à des choses (tout à fait ensemblistes là n'est pas la question) qui ne peuvent pas être ainsi vu en tant qu'ensembles.

Ce n'est pas une question d'obstruction, mais de représentation. Par exemple $(0,1)$ est le nombre complexe $i$, mais ensemblistement, ce n'est pas un nombre, c'est un banal couple. C'est en tant qu'élément du corps $\C$ qu'il acquiert sa décoration "nombre".

En informatique, c'est pareil, tu as ce qu'on appelle les formats de fichier. Tu pourrais tout à fait ouvrir un fichier jpg avec le bloc note, mais tu ne serais pas très content de ce que tu verrais.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Bonjour christophe c,

je viens de lire ta première intervention. Elle n'est pas très claire pour moi...

J'ai l'impression que tu dis que c'est parce qu'on adopte une approche constructiviste que les catégories peuvent se révéler plus utiles. Que seraient les mathématiques sans les schémas en groupe ? N'est-ce pas un gain d'intelligibilité ? La façon catégorique de faire des mathématiques a, à mon sens, permis de nombreuses avancées en mathématiques. Qu'aurait-on fait uniquement avec la théorie des ensembles ?

Le deuxième aspect que tu soulignes, dont je ne sais pas comment il est relié au premier, c'est le primat du sémantique sur le syntaxique, pour le gain de mémoire (i.e si on écrivait tout syntaxiquement, ce serait illisible et beaucoup trop long...), et cela peut être dommageable dans des disciplines très sophistiquées, car du coup, on ne sait pas si le théorème est vrai, mais on fait confiance à la réputation du mandarin mathématicien.

Quand je lis ta deuxième intervention, j'ai l'impression que tu reviens sur cette idée de sémantique. Au niveau syntaxique, tout est ensemble, mais ce n'est qu'au niveau sémantique que les objets mathématiques apparaissent.
Si je devais faire la synthèse entre tes deux interventions, je dirais que tu plaides pour un bon dosage entre syntaxe et sémantique dans la pratique des mathématiques.

En conclusion, je dirais que tu affirmes que les catégories, en tant que mathématiques constructives, sont une partie du monde des ensembles. Je ne sais pas s'il est possible de construire un équivalent des schémas en groupe seulement dans le cadre des ensembles, mais est-il raisonnable de dénigrer une partie des mathématiques de plus en plus importante sous prétexte qu'elle n'utilise pas toute la puissance des ensembles, et qui de plus n'a émergé dès lors que l'on s'en est dispensé ?

ignatus.


PS : Il est possible que je n'ai rien compris. Ceci est seulement mon interprétation de tes deux interventions.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Citation
ignatus
Je ne sais pas s'il est possible de construire un équivalent des schémas en groupe seulement dans le cadre des ensembles

Mais non seulement c'est possible, mais c'est même déjà fait, puisque tu as besoin des ensembles pour définir tout ça (ça ne veut rien dire une catégorie toute seule, tu définis ces notions dans les ensembles).

Citation

mais est-il raisonnable de dénigrer une partie des mathématiques de plus en plus importante...

Attention, je ne dénigre rien du tout. Je t'ai même "soutenu" quand j'ai répondu à Max que tu n'avais pas tort de communiquer tes ressentis, en disant que c'est "supérieur" selon toi (alors que Max t'a pluss repris que moi). En effet, un ressenti, c'est selon une échelle personnelle, j'ai juste précisé que localement tu vois peut-être un grahe transitif sans boucle, mais en fait il est tout bouclé dans tous les sens grinning smiley Bref, ton préordre est réduit au singleton. On peut tout représenter dans tout dès lors que c'est récursivement énumérable créatif.

Pour le reste, oui tu as compris, je peux essayer d'être un peu plus précis:

1/ Syntaxe : on vient de prouver blabla sans se servir de l'axiome de truc

2/ Sémantique : on vient de prouver que dans tous les prémachins blabla est vrai (les machins étant les prémachins vérifiant truc)

L'aspect (2) est souvent psychologiquement rassurant, mais si on n'y prend pas garde les spécialistes tombent souvent (et à leur corps défendant, ce n'est pas choisi et consenti) dans des modes de communicqtion ésotériques

L'aspect (1) est certes moins mnémotechnique sur le plan psy, mais il a l'avantage de rester stable : on constate qu'on n'utilise pas un axiome, point, rien ne change.

Je te conseille aussi (je n'ai pas suivi ton évolution sur le forum), de ne pas succomber aux publicités (une partie de ton post le laisse un peu craindre) que les labos de catégories ont dû émettre pour violenter un peu le système qui les ostracisaient dans les années 60-70. De là, émergent beaucoup d'apprentis (même si Pablo est un exemple excessif) qui SEMBLENT avoir été trompés sur la marchandise (ce n'est pas le cas de Max et des gros experts par exemple, qui s'en foutent du cadre du moment que ça marche).

En dehors d'un "en pratique" bienvenu chez certaines tournures d'esprit, ne vas pas croire qu'il y a des "substances cachées" (ou une arche perdue grinning smiley ) qui serait extractible du paradigme de recherche catégoricien et qu'on ne verrait pas ailleurs. Il est prouvable que ce n'est pas possible (froidement une catégorie c'est un ensemble de triplets, rien de plus). Ce qui semble s'être développé (en dehors du typage) c'est que les gens s'entendent plus vite sur les quantificateurs implicites et le $\exists!$ quand ils communiquent, et apparemment Latex fournit aussi (j'imagine) de quoi dessiner vite les diagrammes commutatifs.

Je peux témoigner personnellement que c'est très exactement ce qui me bloque moi, qui aime voir les quantificateurs et non pas les deviner en sous-entendus.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Christophe: pas d'accord avec "Ce qui semble s'être développé (en dehors du typage) c'est que les gens s'entendent plus vite sur les quantificateurs implicites et le $\exists !$ quand ils communiquent, et apparemment Latex fournit aussi (j'imagine) de quoi dessiner vite les diagrammes commutatifs." : les quantificateurs sont toujours explicités ("pour tout diagramme tel que bidule il existe un unique machin tel que truc" est une des phrases les plus communes dans ce business)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Une catégorie est déjà dans les cas particuliers non triviaux une paire de formules du premier ordre: $C:Set \to Prop$ et $Hom_C (-,- ) \to Prop$;
ZFC est devenu une prison trop petite pour certaines mathématiques, dans les applications, il est inconcevable d'imposer que toutes les catégories possibles soient des ensembles (les catégories des ensembles, des groupes, des anneaux n'en sont pas et celle des ensembles joue un rôle important).

De toute façon même les set theorists ne respectent pas le dogme d'airain du "paradis Cantorien, qui est vraiment le vrai monde contenant tout" puisqu'ils "sortent de l'univers" quand ça les arrange: "soit $V^*$ un univers contenant $V$ strictement, définit comme suit" (forcing).

Quant à "prenons une théorie encore plus spéculative que ZFC, soit $m$ un modèle de ZFC, une catégorie est une partie de $m$" (cardinaux inaccessibles), je pense que c'est encore pire... Que d'efforts pour éviter de parler de hiérarchie de types.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Foys.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@max :merci. Bon je pense qu'il faut tomber sur les textes soignés.

@foys: j'ai l'impression que tu te fourvoies sur la façon dont sont utilisées ces structures. C'est rarement pour spéculer. C'est principalement en algèbre et pour retrouver des résultats en économisant justement des axiomes trop infinistes.

Le reproche n'est pas que ZF est "trop emprisonnant", mais trop platonicien.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@foys, étant sur un pc, je te réponds plus précisément. S'il y a bien quelqu'un dans la bouche de qui je ne me serais pas attendu de lire:

Citation
foys
il est inconcevable d'imposer que toutes les catégories possibles soient des ensembles (1)

confused smiley ou encore

Citation
foys
puisqu'ils "sortent de l'univers" quand ça les arrange (2)

ou encore

Citation
foys
je pense que c'est encore pire... Que d'efforts pour éviter de parler de hiérarchie de types (3)

Je ne vais pas trop détailler, mais tu n'as peut-être pas visité certaines contrées. D'une part, il n'y a pas d'efforts à faire, JUSTEMENT, les efforts sont dans l'autre sens, à savoir essayer de mettre des types sur des trucs un peu chauds ou puissants, mais surtout, ça me rappelle qu'une fois tu avais dit "au fond tout est diophantien de la forme $ZFC\vdash Phrase$" et j'avais pensé que c'était une plaisanterie.

Et bin non, tu réitères aujourd'hui, en filigrane, cette idée, car ce que tu dis va dans le même sens.

Je te donne quelques réponses techniques:

(1) toute catégorie étant un ensemble, c'est bizarre de lire "il est inconcevabe que" devant cette affirmation. C'est non seulement concevable, mais en plus prouvable (justement, typement), autement dit c'est l contraire qui n'est pas concevable. J'ai l'impression que ton corps a été envahi par les gens qui pensent qu'il y a des ensembles et des collections grinning smiley grinning smiley . La gestion par ZF est anecdotique (et habituellement, tu as plutôt tendance à le savoir, c'est bizarre ce demi-tour soudain, où tu voudrais qu'on ne parle plus d'ensembles à propos des groupes d'un univers ZFien)

(2) C'est comme si tu te mettais à engueuler un algébriste "qui taffe dans un anneau non intègre quand ça l'arrange grinning smiley . Voire dans un non corps ... Pour le coup, tu INTRODUIS toi-même un platonisme similaire aux amateurs qui ignorent que Lowenheim Skolem n'est pas un paradoxe pour in fine te ranger dans un coup plutôt critique à l'égard du platonisme en général. C'est assez étonnant comme prise de position, on dirait que tu es énervé...

(3) J'y ai déjà répondu, les usines à gaz qui ont réagi aux contradictions de la fin du 19ième sont totalement incapables de se prononcer sur 100% à la limite des énoncés mathématiques. C'est un théorème. Alors que ZF ne suffise pas c'est une chose, mais vouloir retourner sur des systèmes " à la $V_{2\omega}$, c'est vraiment vouloir se faire du mal pour le coup. C'est un peu comme si tu rouspétais contre l'infini.

Le catégorisme, c'est très bien, ça permet des trucs aux spécialistes, mais ton post donne l'impression qu'il faudrait fouetter et emprisonner les gens qui mettent des surjections de $\N$ sur l'ensemble des éléments définissables d'un univers au titre de "viol de typage" grinning smiley grinning smiley Ca me semble un peu sévère quand-même.Je ne suis cependant pas sûr de t'avoir forcément bien compris dans ce que tu voulais dire.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@Foys : "De toute façon même les set theorists ne respectent pas le dogme d'airain du "paradis Cantorien, qui est vraiment le vrai monde contenant tout" puisqu'ils "sortent de l'univers" quand ça les arrange"

Là, tu joues sur les mots. Tu sais aussi bien que moi que quand les settheorists font ça ils se permettent juste un abus de langage : normalement on devrait partir d'un modèle transitif dénombrable $M$ de ZFC et en construire des extensions génériques. Et là ça marche à tous les coups car dans le cas dénombrable il y a TOUJOURS un filtre générique.
Mais la tradition a voulu qu'on remplace $M$ par $\mathbb{V}$. C'est ce que Christophe appelle "le faire cavalièrement".

Bon, on peut aussi "changer la notion de vérité" en jouant avec des algèbres de Boole complètes, mais là je suis moins à l'aise.

"ZFC est devenu une prison trop petite pour certaines mathématiques, dans les applications, il est inconcevable d'imposer que toutes les catégories possibles soient des ensembles".

Et tu fais quoi des univers de Grothendieck, qui en gros reviennent à considérer une classe propre d'inaccessibles ?

Je suis comme cc, j'ai l'impression que tu te vénères pour rien.
Bon, comme lui, j'ai peut-être tout compris de travers...
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Foys adopte parfois des positions très classiques en fait.

Je ne sais pas si c'est son cas, mais tout au long des premiers temps du 20ième siècle, on a vécu avec une prosternation devant "la main invisible" qui a culminé et explosé avec des techniques (qu'on savait au fond de nous connues) similaires à Lowenheim Skolem.

On retrouve aussi ces "tendances" dans certaines interventions passées sur le forum de l'intervenant GG.

Il y a un proverbe qui regroupe le tout sous : "Dieu a créé les entiers, l'homme a fait le reste"

En réalité, non, Dieu n'a "même pas créé" les entiers. Si j'ose dire, même, ce sont les objtes les plus subjectifs et humains qui semblent avoir été créés (et on en a pour son argent et ses larmes, puisqu'ils livrent de l'indécidable au kilo).

Je rappelle pour les visiteurs ce qu'est ZF, etc. Et pourquoi tout est fait dedans, même par les gens qui prétendent ne pas l'évoquer.

En fait, ZF n'a pas d'importance puisque c'est un ensemble d'axiomes. Ce qui est important c'est que toute définition de maths est une infraction au droit de faire de la science sans prendre des risques (qui seront ensuite réinventoriés comme hypothèses) au sens où :

Nouvel adjectif bleu(x) := blabla x blabla x blabla x


montre d'emblée que "bleu" quand on voudra le traiter comme objet mathématique nous conduira à violer son type, puisque c'est une propriété.

Ce "drame" est incontournable, ce n'est même pas la peine de chercher à le contourner. Mettre en place des usines à gaz en prétendant l'éviter, c'est juste "interdire de regarder le film".

La TDE, contradictoire, originelle, n'avait qu'un seul axiome:

$$ [\forall xR(x)] \to R(Chaque(y): \frac{S(y)}{y\in x})$$

qui s'est avéré contradictoire comme on le montre ci-dessous :

1/ Du fait que $\forall x\exists y\forall t: [t\in y\iff t\in x]$, il suit :

2/ $\exists y\forall t: [t\in y\iff t\notin t]$ (j'ai remplacé un truc valable pour tout $x$ quand on utilise le verbe $u\in x$ par le verbe $u\notin u$)

Ce traumatisme NE DOIT PAS continuer de faire "couler le sang cérébral des matheux". Ce serait dommage. Il faut accepter que les phrases scientifiques puissent avoir autre chose que des valeurs familières, c'est tout. Ici on obtient une $A$ telle que $A=non(A)$ à laquelle il a fallu attendre la théorie quantique pour s'habituer, c'est à dire que 2 générations ont séparé la preuve diagonale et le traumatisme (renommé par les historiens "crise des fondements") et la ré-activation du front à faire face à des $X$ telles que $X=non(X)$, qui ne sont pourtant pas les plus méchantes.

ZF a l'avantage d'avoir tout renvoyer vers la quantité, c'est à dire permet d'étudier les petits ensembles et de ne pas chatouiller les gros comme $\{x\mid x\notin x\}$ qui ont une puissance suffisante pour dépasser la longueur du chemin égalitaire qui force vrai = faux.

Et grâce à ça, on n'a plus de problème. Les seuls qui restent relèvent de la compétition: à qui va nous prouver $0=1$ en utilisant la plus petite collection possible?. Pour l'instant, on n'est même pas vraiment parvenu à distinguer les grosses (ON et V ont des tailles similaires et même égales en présence de l'axiome du choix) entre elles, et les petites ne prouvent pas que $0=1$, mais juste qu'il y a une infinité de nombres premiers et des trucs comme ça (les théorèmes de maths quoi)

Il faut comprendre qu'en sciences exacte, c'est à dire dans les versions finales, il n'y a pas de définitions, mais que des théorèmes. De plus, il n'y a pas de répétitions de variables (chaque signe, variable, etc a vocation à n'avoir qu'une occurrence). Comme ce n'est pas possible d'écrire comme ça, on utilise des artefacs, mais il faut garder à la conscience que c'en sont. Par exemple $R(x,x)$ devrait plutôt s'écrire $(x=y)\to R(x,y)$, même si dans cette deuxième on a encore deux occurrences par lettres, à tout le moins la deuxième a un statut spécial.

Bref, l'opération nommée, pour être assumée est $\in$ (ou si on préfère parler fonctionnellement "Ap", ie $Ap; f\mapsto (x\mapsto f(x))$ ).

La seule chose en amont qui va diriger des gens vers le catégorisme n'est pas "la théorie des catégories" qui n'est froidement qu'une banale théorie des graphes orientés*** et ne donne du jus que nourrie à gros renforts d'ensemblisme et de quantificateus. C'est, je l'ai déjà dit, le fait de:

1/ renoncer à $Ap$ de façon "assez insistée"
2/ Le remplacer par $\circ$ (la composition (syntaxique))
3/ ET GAGNER de travailler avec une opération associative

Même si ce n'est pas conscient, je suis profondément convaincu que cette motivation est majeur dans l'accumulation de choses techniques.

Hélas ça a été pour l'instant un échec**. On rajoute $Ap$ sans le dire, via des choses comme $1\to A\to B$ ou comme l'équivalence :

$$ [Kr = u\circ (Kv)] \iff r=(u(v))$$

qui permet de calculer l'image de $a$ par $f$ en composant $f$ avec la constante $[x\mapsto a]$, puis en "déconstançant".


Bon, j'ai digressé, mais en gros il faut renoncer à la main invisible et à l'idée que la Nature rend des comptes ou que nous aurions à lui en rendre. Il ne changera jamais qu'une définition sera toujours une hypothèse que l'on PREJUGE inoffensive car "retirable" (sauf qu'on les retire jamais complètement et on se contente de rêver de loin et par référence à ce que ça donne une fois retirées) et qu'on pourrait éternellement formuler tous les théorèmes avec un style :

SI $x=expression$ ALORS blabla

plutôt que

posant $x:=expression$, il suit blabla

où le seul truc qui compte et apparait est la nécessité de disposer d'assez de noms.

Pour dire un mot sur les inconvénients du typage et autres "aspirations vers les axiomes faibles et bien rangés", c'est littéralement passer à côté de la psychanalyse scientifique qui a donné:

- l'axiome d'extensionalité
- l'axiome du choix
- la logique

et permis de comprendre l'inoffensivité de l'axiome du choix (témoins de Skolem, réalisation RECENTE par Krivine de l'axiome du choix (non extensionnel) via l'aspect "anti-typage-bordel-volontaire" (il a appelé ça "une horloge", mais ce n'était que pour injecter "l'univers traité au cours de la preuve" dans $\N$) où on "comprend" en le voyant que quand on prouve $A\to (\forall xR(x))$, on ne "se permet pas" de prouver $A\to R(\sigma(R))$ en prétendant axiomatiquement que $\sigma(R)$ ne dépend que de $R$, mais qu'on prouve $A\to R(\sigma(S))$ où $S:x\mapsto (A\to R(x))$

($A$ est supposé ne pas parler de $x$)

Ces prises de conscience se sont reperdues ensuite à cause de l'extensionalité. Le gros défaut du catégorisme, c'est non seulement de vouloir de l'extensionalité, mais même de s'arranger pour le prouver dans des fragments accessibles alors qu'il permet de rendre contradictoire AFFINEMENT la TDE.

Encore une fois, je ne fais pas le procès du catégorisme dans sa qualité d'outil de recherche, mais dans certains slogans, qui sont encore apparus dans le présent fil, qui le voudrait capable de ce qu'il ne peut pas donner. Le fait de ne pas s'occuper de 3kg+5secondes n'est pas une attitude qui le fait disparaitre. Avoir le choix, ce n'est pas être privé de tout, c'est juste ne pas avoir de fonction canonique.







*** en fait c'est un cas particulier de théorie des monoides associatifs dont on a viré le $0$ (où $uv=0$ signifiait que les flèches $u,v$ ne se composent pas)

** j'avais fait un fil dans le passé pour inviter à travailler sur cette question "frontalement" (un thésard par exemple). Actuellement, sans tricher, on ne sait pas vraiment si on pourrait faire des maths "non codées" de manière purement associative (c'est à dire ou l'opération de base le serait).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
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Moi une question que je me pose est : si CC postait dans la section "Fondements et Logique" en se faisant passer pour un nouveau membre est-ce que son post serait directement déplacé dans Shtam ? smoking smiley
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
J'avoue que le précédent est peu clair en tout cas, j'ai regretté un peu son manque de structure. J'étais parti pour raconter des trucs et me suis aperçu en route que ça nécessiterait 20 pages.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Bon, en résumé, quand plus haut (pas juste dans le précédent), je parlais de "syntaxe", pour le dire vite et simplement, les gens croient souvent "définir des tsructures, des concepts, etc", mais en fait ils produisent des preuves et c'est tout. Il n'y a pas besoin de prétendre les placer dans une théorie. Un langage suffit. Si demain quelqu'un prouve que 3kg + 8années-lumière = 15 tonnes d'orange, et bien on regardera ce qu'il a admis, pas dans quelle théorie il parle.

La mouvance politique catégorienne (dont je rappelle qu'elle est une résistance avant tout à une ostracisation des années 70 pluss qu'autre chose), même si elle ne le veut pas a tendance à développer des adages faisant trop oublier ça.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Citation
raoul.S
Moi une question que je me pose est : si CC postait dans la section "Fondements et Logique" en se faisant passer pour un nouveau membre est-ce que son post serait directement déplacé dans Shtam ?
christophe c a déjà écrit sous d'autres pseudos sur le forum par le passé. Le truc c'est que c'est trop facile de le reconnaître winking smiley On a des façons d'écrire. Les messages en question demeureraient à leur place.

Citation
christophe c
ZF a l'avantage d'avoir tout renvoyer vers la quantité, c'est à dire permet d'étudier les petits ensembles et de ne pas chatouiller les gros comme $\{x| x \notin x\}$ qui ont une puissance suffisante pour dépasser la longueur du chemin égalitaire qui force vrai = faux.
Du coup tout serait donc plus simple si on reconnaissait une fois pour toutes qu'il y a d'autres objets que des ensembles, au moins au niveau syntaxique, au lieu de vouloir s'encombrer du "tout est ensemble" pour l'amender plus tard avec des adjectifs quand les problèmes (récurrents) surgissent. Ils l'ont bien fait dans NBG (qui est conservative sur ZFC).
"Tout est ensemble, mais certains sont plus des ensembles que d'autres" pour pasticher un vieux slogan politique.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Foys.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@foys: je n'ai pas vraiment compris ta deuxième partie qui critique le "tout est ensemble".

Je ne crois pas que qui que ce soit considère qu'un lampdaire est un ensemble ou qu'une application linéaire est un ensemble "en pratique", mais le fait qu'une application linéaire en soit un ne me semble pas ne poser.

Ce qu'il y a d'étrange dans cette "anti-ensemblisme" c'est que prendre des objets mathématiques (qui sont donc des ensembles) et de demander ... qu'ils n'en soient pas.

Personne n'a rien forcé du tout à ce que je sache. Je ne défends pas que dans le futur d'éventuels objets mathématiques n'en soient pas. Ce'est un fait pas une désir qu'ils le soient tous (essentiellement parce que ZF est devenue le sigle tacite)

Par contre, où je ne suis pas d'accord avec ton accusation, c'est sur la grammaire. Le type ensemble est défini par :

$$ SET := (SET\to PHRASE)$$

Tu as de nombreux objets qui ne sont pas utilisés de cette manière (rien qu'une fonction, par exemple, on attend d'elle une sortie qui n'est pas forcément vrai ou faux). A mon sens, ce n'est pas grave (et de toute façon, on aurait la même discussion avec le type en amont de fonction qui est défini par $$ fonction := (fonction\to fonction) $$ donnant en fait le point de départ de tout qui est le "mot".

Par contre, j'ai cru comprendre que tu utilises la taille? Enfin que tu veux utiliser "collection" pour les ensembles trop gros? Ne me dis pas que je me suis aussi mal expliqué et qu'on discute de ça quand-même? grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Citation raoul.S : "Moi une question que je me pose est : si CC postait dans la section "Fondements et Logique" en se faisant passer pour un nouveau membre est-ce que son post serait directement déplacé dans Shtam ? "

Moi j'ai un pb similaire, mais moins conditionnel : quoiqu'il arrive j'ai l'impression que Foys ne me calcule pas. Que je lui parle de ZFC, de la pluie ou du beau temps, il ne répond jamais à mes questions, qui pourtant lui sont adressées directement.

@Foys : do you want me to speak English ? German ? Japanese ? Chinese ? Arabic ?
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
avatar
@Foys : ton point de vue m'intéresse.

Voici un document rédigé d'après un cours de Monsieur Alexandre Grothendieck, faisant reposer la construction de ses univers sur la théorie des ensembles de Bourbaki (je n'ai pas dit ZFC qui n'est pas pourvue de sélecteur). L'on y remarque la présence de l'axiome des univers $(a_1)$, mais également la présence de l'axiome $(a_2)$ permettant de "plonger" le terme $\tau_xR(x)$ dans un univers, pourvu que $R$ soit une relation dans laquelle figure une lettre $x$ et que pour un certain élément $X$ appartenant audit univers l'on ait $(X|x)R$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Thierry Poma.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - GrothAlgiers.pdf (4.48 MB)
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Citation
Thierry Poma
@Foys : ton point de vue m'intéresse.

Citation
Martial
Moi j'ai un pb similaire, mais moins conditionnel : quoiqu'il arrive j'ai l'impression que Foys ne me calcule pas. Que je lui parle de ZFC, de la pluie ou du beau temps, il ne répond jamais à mes questions, qui pourtant lui sont adressées directement.
Bonjour Martial et Thierry; je n'avais pas vu ce message:

Citation
Martial
Et tu fais quoi des univers de Grothendieck, qui en gros reviennent à considérer une classe propre d'inaccessibles ?

Ce qui va suivre contient des opinions qui n'engagent que moi.
Je pense qu'il a fait cette concession pour aller plus vite (et pour se plier aux exigences de rédaction du discours mathématique normal, NBG s'étant révélée insuffisante mais noter que cette dernière montre qu'on peut déjà parler de "collection" ou autre appellation, peu importe). Le texte mis en lien par Thierry Poma est intéressant. Le problème (ce n'est que mon avis) est que cette approche
-rajoute des axiomes à la théorie de base. Donc on ne sait pas si les résultats obtenus sont des théorèmes de systèmes d'axiomes aujourd'hui consensuels (ZFC etc). Et puis les axiomes de type "grands cardinaux" rajoutés ne sont pas des axiomes anodins non plus.
-n'est pas "dans l'esprit" de la pratique des catégories: la catégorie des ensembles avait bel et bien vocation à être celle de tous les ensembles, idem pour les groupes, anneaux, espaces vectoriels, préfaisceaux, schémas etc. S'il est "démontrablement impossible" de faire figurer la classe de tous les ensembles dans le discours mathématique alors pourquoi un truc comme NBG existe et pourquoi est-ce une extension conservative de ZFC?

Je suis (à titre personnel) presque 100% sûr qu'on peut améliorer NBG et produire un système formel conservatif sur ZF/ZFC dans lequel on peut faire des catégories de la bonne façon, avec système de typage adéquat pour cette tâche.
Quand on y pense, dans la plupart des travaux impliquant des catégories à un moment où à un autre, les références aux catégories sont toutes éliminables, quitte à produire des textes longs et illisibles. Regardez comment le traité Bourbaki est rédigé: il n'y a pas dedans une seule référence aux catégories alors que les auteurs étaient pour la plupart des catégoriciens émérites entre autres (il y a évocation du concept de "structure" au début, un ovni qui n'a jamais été mentionné ailleurs que dans ce livre où il est très peu utilisé); mais pourtant le traité abonde de notion catégoriques (ex: limites inductives/projectives, morphismes, propriétés "universelles" de structures) et en fait le livre fait 25 fois les mêmes choses. En fait le langage catégorique peut être (à mon avis) vu comme une sorte de langage de macros haut niveau, servant à produire des théorèmes et des schémas de théorèmes dans ZFC basique. C'est d'autant plus faisable qu'en catégories tout est constructif du début à la fin (de ce que j'ai vu en tout cas). Les constructions d'adjoints de foncteurs sont toutes constructives, mais vous pouvez enlever la notion générale et vous retrouver avec 50 théorèmes qui disent que "tel machin est l'unique tel que ..." où "il existe truc", obtenus tous de la même façon. Donc dans un tel langage de macros vous écrivez "soit T la transformation naturelle", "on prend la catégorie des catégories telles que ceci" et on prouve X (énoncé du premier ordre sur le langage =,$\in$), et in fine vous avez une preuve de X à rallonge sans ces choses.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Foys.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@Foys : merci pour ta réponse très claire.

Si je comprends bien ton point de vue (qui, tu l'as bien précisé, n'engage que toi), les catégories sont un outil puissant et efficace pour prouver des théorèmes, mais dans l'absolu on pourrait s'en passer au prix d'un lourd effort de notation et de rédaction. Mais en tout état de cause on ne "vit pas" dans le monde des catégories, mais dans celui de ZFC, NBG ou amélioré.

Hélas je ne peux pas te dire si je suis d'accord avec toi ou non, étant trop nul en catégories.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Quand je vois ce que tu écris foys, je ne peux te faire qu'une seule suggestion : comme tu as brillamment acquis les idées et beaucoup de techniques de la CCH, tu devrais te mettre aussi à la TDE.

Tu es d'autant plus impressionnant que tu parviens finalement à poster en un post des livres entiers sans la connaitre vraiment, or quand on te lisait, on pouvait préjuger que tu la connaissais super bien ce qui te donnait cette aisance et cette concision.

Mais en fait, non, ce sont tes qualités personnelles propres qui te permettait ça, et tu as gardé une approche "des années 50" dès lors qu'on semble aller explorer ton intimité (ça s'était un peu vu récemment d'ailleurs, face aux ultrafiltres sigma-additifs).

Dans le document de Grothendieck, pourtant écrit dans les années 60, dès les premières lignes il explique pourtant très très bien pourquoi il ne tombera pas dans les TOC platoniciens inutiles de distinguer classes et ensembles et pourquoi il va faire les choses proprement.

Or à ce propos tu écris "ça invite des axiomes plus forts, donc c'est plus risqué".

C'est évidemment presque totalement faux. Il s'agit d'un cadre simplifiant, il est "évident" qu'on peut utiliser des $V_\alpha$ conservatifs, mais il n'a pas envie d'encombrer (à l'époque pas de latex en plus) les lecteurs avec des considérations (qu'il ne connait probablement à l'époque qu'impressionnistement) de consistency-strength


Tu écris:

Citation
foys
la catégorie des ensembles avait bel et bien vocation à être celle de tous les ensembles, idem pour les groupes, anneaux, espaces vectoriels, préfaisceaux, schémas etc.


Mais ça n'a aucun sens, c'est une déclaration religieuse et platonicienne. Prendre TOUS les groupes d'un univers dénombrable, c'est prendre une quantité dénombrable de groupe. C'est comme si tu disais "je veux tous les entiers, mais RIEN QUE les vrais entiers". Ca n'a aucun sens.

Plus simplement que les groupes, pour éviter un floçu, prends tout bêtement .. les singletons. C'est comme si tu disais "je veux tous les singletons, RIEN QUE les singletons".

Autre exemple, à propos des monooides associatifs: "je veux toutes les fonctions, rien que les fonctions, et je dote le tout de l'opération $\circ$"

Tu t'exprimes comme à la fin du 19ième siècle où on croyait à "la main invisible" qui envoie chacune de nos phrases, chacune de nos expressions sur "sa valeur réelle", comme si $\omega_1$ (en tant que signe) renvoyait au vrai $\omega_1$ ou $\mathbb{\N}$ renvoyait "au vrai ensemble des entiers naturels, tous et RIEN qu'eux"

Toutes ces acrobaties entre le syntaxique et le sémantique, dont je reconnais que je ne découvre pas aujourd'hui que tu les abordes rarement et que tu n'es pas un grand consommateur de leurs natures, sont "résolues" et étudiées depuis AU MOINS le début des années 60. C'est tout de même dommage de regarder ça de loin et de lancer des flechettes dessus, non? grinning smiley

J'attire aussi ton attention sur le fait que l'approche que tu critiques, celle où on se met bien et lâche ses coups, introduite par Grothendieck est LA BONNE APPROCHE D UN POINT DE VUE D'UN FOYS qui se serait mieux renseigné.

En effet, à se noyer dans des verres d'eau-moulins-à-vent, les amateurs qui différencient "petite catgorie", "catégorie localement petite", etc, etc, croyant au grand purgatoire du seuil de l'enfer et du paradis du haut de l'univers ensembliste, et manifestant ainsi un syndrome de Stockholm qui serait comique s'il n'était pas techniquement blaquant, a des conséquences techniques sur leurs compétences t leurs blocages, car comme un débutant au babyfoot, ils tremblent et donc c'est une entrave (souvent inconsciente) à lâcher les coups. Or en math, tout est permis du moment que tu inventories explicitement ce que tu supposes. Faire trembler un chercheur, c'est le rendre moins efficace.

C'est totalement contre-productif de trembler pour rien comme ça, devant "rien" qui est fantasmé en chose importante. Nous n'utilisons qu'un nombre fini de mots et un nombre fini suffit à diagnostiquer $\{x\mid x\notin x\}$. Bien que ZF ait été conçu pour privilégier le cardinal (être un ensemble = être une collection de petit cardinal) bien concret sur d'obscures histoires de complexité ou autre (NF, etc (être un ensemble = être une collection "douce" dans sa complexité)), ce n'est pas un argument recevable pour affirmer ce que tu affirmes. "Il est conçu pour", mais il n'est pas garanti par "la main invisible".

Quand tu écris que Boubaki répète 25 fois la même preuve, que tu appelles "donc" une amélioration de NBG (améliorée et classée depuis longtemps), tu as l'air de dire que c'est dommage qu'un chef de service centralisé de l'administration ait l'obligation de faire figurer sa signature 25 fois sur les documents, et tu as l'air l'air de dénoncer un tampon que tu appelles de tes voeux. Mais c'est une erreur totale de ta part. JUSTEMENT LE TAMPON a été construit et sert JUSTEMENT renvoyer les 25 copies de la signature. Tu dénonces "un progrès fait" pour l'appeler de tes voeux, il y a quelques chose d'incohérent dans ce que tu demandes, je trouve. C'est comme si tu disais "on ne devrait pas enseigner à 12000000 de gamins la même chose, ça fait des répétitions". bin elles sont même faites exprès lesdites, ce ne sont pas "des faiblesses"

Autre exemple: c'est comme si tu disais qu'un algorithme ne doit être appelé qu'une seule fois par un programme. Bin, justement, non, en général il a été implémenté pour être appelé plusieurs fois, avec des données différentes, mais de même nature.

En bref, je ne te comprends pas dans ce que tu demandes bien avant d'être en désaccord. Au moins quand tu te prononçais sur les décalages bleu/rouge ou sur le report de tout l'alea naturel dans la condition intiale, je n'étais pas d'accord, mais saissais parfaitement ta position. Là, je ne la saisis même pas. Et en plus, je n'ai pas trop l'impression de l'avoir déjà beaucoup lue. Serait-ce une prise de position récente?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@Martial: j'ai l'impression qu'il s'engage plus que ça, et réclame un platonisme dont il semble ignorer qu'il a été prouvé depuis longtemps qu'il n'est pas accessible de cette façon (la main invisible).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Que veut dire "main invisible" ici?

Ce que dit Grothendieck dans son intro (le seul passage non formel mais où il se justifie), c'est juste qu'il ne peut pas utiliser NBG parce qu'il doit pouvoir définir certains objets sur lesdites catégories et que ces derniers ne pourront pas être des classes même si les catégories en question le sont.

Et puis ce ne sont pas les catégoriciens qui se brident (au contraire, dans les bouquins que j'utilisais jeune les auteurs se fichaient complètement de ces histoires, une catégorie c'était une collection et basta, les raffinements logiques passaient à la trappe) c'est pluôt toi qui introduit un bridage avec ton affirmation récurrente "toutes les catégories sont petites" (tu ne l'as pas dit dans ce fil en ces termes mais dans d'autres).
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
On a vraiment un malentendu.

Tu écris ".. collection et basta.."

J'écris " .. ensemble et basta.. "

et tu sembles dire qu'on est en désaccord. Mais le désaccord JE NE LE VOIS MEME PAS.

De même : tu cites Grothendieck en apparence pour argumenter CONTRE un truc que j'aurais dit, alors que la seule chose que moi je vois c'est un argument EN POUR.

Bon mais je suis sur mon téléphone. Ce que je ferai de mon pc, c'est faire un post vraiment détaillé que je mettrai dans le fil "TT CP évidence" et mettrai juste un lien ici.

Je pense que tu confonds la monnaie et son utilisation. Le problème est que même si ce n'est pas ce que tu veux dire, les débutants qui te lisent risquent de croire qu'il y a pas de topos de Grothendieck dénombrable etc, bref , par ton discours, tu cachés des structures très simples, dénombrables et même quasi récursives en donnant l'impression qu'avoir droit à ZF, c'est consommer tout ZF.

Un peu comme JLM ou Poutou qui divisent le patrimoine bancaire de Bernard Arnault ou Bill Gates par le prix du kilo de tomates pour montrer à quel point ces riches confisquent des tomates. (Bon j'avoue que je te provoque).

Je serai plus précis d'un pc.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Pardon. Ce que appelle la main invisible est l'extension platonicienne qu'il existe au moins dans l'absolu un univers qui ne contient pas d'entiers infinis (ou ne dit qu'une équation diophantienne a des solutions que si elle "en a vraiment" (des entiers finis).

Ou encore qu'il existe au moins un univers qui contient bien TOUTES les parties de IN, ou même dans lequel la réponse à HC? serait "la bonne réponse".

Sur Twitter et autres RS j'ai découvert que cette erreur est fréquente (elle est commise par Penrose dans la partie1 des ombres de l'esprit). Elle consiste à admettre SANS EN ETRE CONSCIENT, l'axiome "si Dieu existe ALORS les religions RÉVÉLÉES rapportent des faits réels et non des délires humains.

C'est utilisé MASSIVEMENT dans la propagande islamique sans que je sois même parvenu à établir si les AUTEURS sont de bonne foi ou non.

On a une admission d'axiomes SANS MEME que sa négation ait été "envisagée". Pour des matheux ça paraît inouï, mais c'est très facile à vérifier (l'ancienne chanteuse Diams base tout son livre sur cet axiome faux, or je pense que si elle avait eu conscience de sa fausseté évidente elle n'aurait pas perdu tout ce temps ou alors au moins consacré un chapitre à ... JUSTE AU MOINS DIRE qu'il est vrai (le défendre).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Je n'ai pas encore tapé les réponses, mais je le ferai plutot au lien suivant, pour ne pas encombrer les fils :

[www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Citation
christophe c

C'est évidemment presque totalement faux. Il s'agit d'un cadre simplifiant, il est "évident" qu'on peut utiliser des $V_{\alpha}$ conservatifs, mais il n'a pas envie d'encombrer (à l'époque pas de latex en plus) les lecteurs avec des considérations (qu'il ne connait probablement à l'époque qu'impressionnistement) de consistency-strength
En fait non, ou en tout cas dès qu'il y a des constructions un peu grosses (ex: le prétendu gros ensemble qui contient tout doit être stable par réunion de familles $(F_i)_{i\in I}$ où tous les $F_i$ ainsi que $I$ sont dans ledit ensemble), on va s'en sortir à coups de schémas de réflexion si je ne me trompe pas et donc ce ne sera pas vraiment le même $V_{\alpha}$ tout le temps ... On avait un peu la même chose avec l'analyse non standard où Nelson procédait comme ça pour récupérer un des schéma d'axiomes, faut que je regarde à nouveau.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Foys.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
avatar
@Foys : bonjour. Je te remercie pour tes explications. Dans son ouvrage "Topologie algébrique", le néo-collectif Bourbaki insère le concept de catégories, à sa sauce. Tu y verras des appuis sur le livre "Théorie des ensembles", en particulier le chapitre sur les structures. Dans l'exemple 2), page 160, le collectif clôture ledit concept en le reliant étroitement au chapitre IV du livre "Théorie des ensembles".

A mon avis, il y est question de petites catégories. Mais l'on peut compliquer légèrement les choses en convenant de prendre pour S l'ensemble des couples $(x,\,s)$ où $x$ est un ensemble de base principal et $s$ la structure (générique) sur $x$ d'espèce $\Sigma$, de cardinal inférieur à un cardinal fixé $\mathfrak{s}$. L'on peut encore compliquer le tout en considérant des ensembles de base principaux et des ensembles de base auxiliaires de $\Sigma$. Tout est possible.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Thierry Poma.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Les catégories selon Bourbaki.pdf (622.9 KB)
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@Foys: je détaillerai. J'ai commencé au lien annoncé d'ailleurs.

Non mais tu te trompes, les catégories n'utilisent que des fragments hyper inoffensifs, et de mon téléphone, c'était juste pratique pour moi de parler des $V_\alpha$ car je me doutais que tu connaissais le théorème de réflexion, mais c'est évidemment un marteau pour tuer une mouche. Il n'y a aucune commune mesure de risque entre l'ensemblisme "platonicien" et les raisonnements basiques et constructifs des catégories. Disposer de ZF, ce n'est pas "consommer tout ZF". L'approche catégorique donne des propriétés d'ensembles finis et dénombrables même si c'est exprimé avec "un air lisse"***, le topos sont dénombrables, etc.

Par ailleurs, une preuve est finie mais faut attendre la fin pour lister ce qu'on a utilisé. La dynamicité que tu évoques s'arrête au milieu des textes de preuves.

*** je prends un exemple: tu as un groupe $G$ de présentation finie contenant $a,b$ et dont tu ne sais pas si $a=b$. Tu peux lancer un logiciel qui cherche,

- tu peux chercher tout seul,

- tu peux aussi passer un dimanche à construire un espace topologique $E$ dont le $\pi_1$ est $G$, aller faire des courses le Lundi pour te fournir en cordes et ficelles, jouer, et présenter je ne sais pas moi, 20 jours plus tard une conférence de maths formelles et payées où tu prouves que $a=b$ (ou que $a\neq b$).

Qu'auras-tu fait? Tu auras construit ton $E$ avec de la colle (ou de la couture) pour joindre tes ficelles, bidouiller dans tous les sens, etc. Et à la fin, "vu" ou "compris" quelque chose. Puis tu appelles ta secrétaire (si tu es président de l'UFR d'une grande fac grinning smiley ) ou un thésard en panne d'idée et tu lui fais rédiger formellement la preuve.

Alors lui évidemment, il évoquera le TVI, il fera plein de diagrammes en latex. Si on lui demande de justifier le TVI, il évoquera la complétude de $\R$ (qui entraine la consistance de l'arithmétique de Peano, etc). Bref, l'exposé aura un ZF-air, mais les propriétés des cordes physiques achetées chez bricorama n'ont pas besoin d'être garantie par les travaux du labo de théorie descriptive ou par la détermination borélienne.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
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@Christophe : bonjour. Voudrais-tu être plus concis et être plus clair, s'il te plait ? Je pense avoir déjà posé la question à laquelle j'ai eu quelques réponses. Je la repose : si l'on adjoint l'axiome des univers U aux axiomes de ZF[C], sait-on (méta-)montrer que ZF[C]U est non-contradictoire ? Dans la négative, a-t-on la pleine certitude que la théorie ainsi obtenue ne fera pas émerger des contradictions qu'il faudrait dissoudre ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Thierry Poma.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
1/ oui à ta première question

2/ non à ta deuxième (on n'est jamais sûr d'une consistance, même pas de celle de Peano)

3/ La théorie ZF+Inacessible est légèrement plus forte que ZF.

Pour l'usage catégorique, évidemment ça ne joue pas. On ne se sert absolument pas des propriétés fines et risquées de ces théories.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
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@CC : merci pour ta réponse concise. Qu'entend-on par "risqué" ?
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
En fait les théories sont classables par leur consistency-strength. Quand tu as

$$T\vdash U + cons(U)$$

on dit que $T>U$.

La coutume est de dire "j'ai utilisé $T$, j'ai donc travaillé dans une théorie plus risquée que si je l'avais prouvé dans $U$".

Mais tu n'as pas de traduction en termes numériques, ce sont des zéros comparés entre eux et différents (au même titre qu'il y a des infinis différents).

En gros si tu veux, de la même façon qu'on se balade entre $\N$ (le premier infini) et $0=1$, tu peux "juste prendre l'inverse", ce qui fait se balader entre $1/\N$ et $0 = \frac{1}{[0=1]}$.

Il est à" craindre" (mais ça n'a pas été prouvé) ou 's'en réjouir" qu'un jour on prouve que $0 = \frac{1}{\R}$. Il y a des indications dans ce sens, à commencer par la largeur d'un point (qui est VRAIMENT nulle)

Par contre, quand tu fais ces comparaisons, c'est assez facile de trouver à quel moment on se balade disons entre $\frac{1}{\N}$ et $1$ et à quel moment on se balade plus au niveau de $\frac{1}{\R}$ qu'autre chose, ce ne sont pas du tout les mêmes maths, ni les mêmes ensembles, en particulier, dès qu'il y a de la "canonicité", tu sais que tu es plutôt en train de jongler avec des particules de taille $\frac{1}{\N}$ (le borélien ou le projectif en gros).

Une preuve de cette robustesse est donnée par le fait que si tu as un espace topologique compact $E$ et une relation $R\subset E^n$ qui est fermée, sa théorie est forcément simple (ie en complexité elle ne dépasse pas la gestion des ouverts de $E$ en gros).

C'est dû au fait que $$\{x\in E \mid \forall \exists \forall \exists \forall \exists \forall \exists (x,blabla)\in S\}$$

est un fermé pour tout $S$ fermé quels que soient les quantificateurs et le nombre d'alternance. (L'image directe d'un compact par une continue est compacte et les $\exists$ sont des projections)

C'est assez exceptionnel car on peut par ailleurs prouver que l'ordre engendré par les $(\exists A) > A$ est forcément bien fondé. Autement dit, l'ensemble des complexités quoiqu'ait comme définition "complexité" du moment qu'on ne triche pas est bien fondé, donc on a naturellement des ordinaux qui leur sont attachées. .

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par christophe c.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Et voilà comment un fil est pollué par christophe c qui ne supporte pas que l'on puisse comprendre que les catégories ont beaucoup de choses à dire...

Des tonnes de verbiage pour noyer le poisson... Qui parle d'idéologie ?

ignatus.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
Mais redescends, là, tu es en train de faire une fixette. Ci-dessus je ne répondais que de mon mieux à titi.

Vas prendre un plat de carottes, respire, détends-toi.

Si je t'ai blessé, envoie-moi un MP. C'était involontaire, on peut échanger, je ne suis pas rigide. C'est effrayant comment tu as l'air en colère à cause de l'expression "profession de foi" qui était juste un petit coup d'humour.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
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@ignatus : effectivement, CC me répondait et j'ai oublié de le remercier. A l'avenir, il serait peut-être utile de ne pas porter de jugement trop hâtif.
Re: Qu'est-ce qu'un objet groupe ?
il y a deux mois
@Thierry Poma : ok, je veux bien te croire. J'ai arrêté de lire quand j'ai vu que la conversation partait dans une autre direction...

ignatus.
Chamailleries autour de la TDE
il y a deux mois
Bonjour,
je me suis beaucoup amusé en lisant un fil très récent de cette rubrique.

On peut y voir les habituels aficionados de la théorie des ensembles se battre pour défendre une théorie qui n'a jamais fait avancer les mathématiques, dont tous les mathématiciens se foutent, mais qui leur sert surtout à passer pour des gens du grand monde, surtout lorsqu'ils pondent des messages à rallonge en cherchant explicitement à ne pas se faire comprendre, histoire de donner l'illusion de dire des choses profondes...

Je propose d'ouvrir UN UNIQUE fil dans la rubrique shtam de ces nostalgiques d'une théorie du 18e siècle qui n'a jamais fait avancer un bateau à vapeur. Il faudrait qu'ils arrêtent de polluer et monopoliser la rubrique Fondements et logique.
ignatus.

[Avant de le verser dans shtam, restons dans la discussion initiale. AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: chamailleries autour de la TDE
il y a deux mois
@ignatus : les aficionados, ils te disent bien des choses !

Mais ce qui est bien c'est que tu n'as pas perdu ton temps, tu viens d'inventer le voyage dans le passé. Je sais depuis plus de 40 ans que la théorie des ensembles est née dans les années 1870 avec les travaux de Cantor et Dedekind, et là tu viens de nous apprendre qu'elle est morte au 18ème siècle. Je n'aurai qu'un mot : respect !

Juste une question bête : si on interdit la théorie des ensembles, qu'est-ce qu'il va rester dans "Fondements et logique" ?
Re: chamailleries autour de la TDE
il y a deux mois
Les catégories, la théorie de l'homotopie, les infini-catégories ?

ignatus.
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