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Définition d'un ensemble donnée par Cantor

Envoyé par Cantor-Bernstein 
Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
avatar
Bonjour à tous voici la définition.

« Par ensemble, nous entendons toute collection M d'objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M »

Je vais sûrement poser une question dont la réponse doit être évidente.
Quel est le sens de "distincts" dans cette définition ?
Pour des nombres ça me semble clair mais pour des objets généraux ... des oranges par exemple ?
Est-ce vraiment une évidence ou y a-t-il une subtilité ?



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
Cantor-Bernstein
Bonjour, je vais tenter une réponse physique, logique et philosophique, biologique et psychanalytique. Si c'est des oranges (des objets macroscopiques) alors elles n'ont pas la même position, si c'est des particules ce n'est pas clair du tout (il y a les particules jumelles... mais je ne suis pas spécialiste). En logique on parle de la tautologie de l'égalité : c'est une proposition toujours vraie (définition du petit Robert) c'est la tautologie $x=x$ qui signifie quelle que soit sa nature et indépendamment du temps et de la position $x$ est égal à lui-même. Biologiquement vous n'êtes pas égal à vous-même puisque votre corps évolue physiquement et chimiquement. Quand vous parlez de votre personnalité vous parlez de vos pensées conscientes (une instance le Moi selon Sigmunt Freud, plusieurs instances selon les neurologues) et inconscientes (le Ça selon Sigmunt Freud c'est-à-dire des pulsions enfantines essentiellement orales et sadiques et le Surmoi : siège de la censure et de la pensée morale. Les neurologues font remarquer que les intestins contiennent des neurones ce qui fait le lien avec la pensée d'extrême-orient qui accorde une grande importance au ventre et au souffle)...

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
Bonjour.

Une réponse plus mathématique, puisque Cantor parle mathématiques, est que "distinct" est simplement le contraire de "égal".

Cordialement
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
Ici "distincts" veut simplement dire que quand tu regardes une collection, qui peut t'être donnée sous une forme ou une autre, s'il y a des répétitions ($\{a,a,b,c\}$), ces répétitions ne doivent pas rentrer en compte dans l'ensemble que tu as défini, i.e. $\{a,b,c\} = \{a,a,b,c\}$.

Il faudrait aussi parler de l'ordre et dire qu'il n'importe pas. Essentiellement, ce qu'il énonce ici est (une forme de) l'axiome d’extensionnalité : un ensemble est déterminé par ses éléments, pas "le nombre de fois" ou "l'ordre" dans lequel ils apparaissent.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
Cette définition est tellement nulle que je suis un peu gêné de le dire. Ne surtout pas la prendre dans quelque cours ou livre que ce soit. Il y aurait écrit: nous entendons par ensemble un ensemble d'objets, ça aurait été presque plus assumé.

Pour ce qui concerne le mot distinct, l'apsect opératoire t'a été donné par Max : c'est l'axiome d'extensionnalité (il arrive les mêmes choses aux ensembles ayant les mêmes éléments).

Le mot ensemble n'a pas de définition puisqu'il permet de définir tous les autres, donc tu tomberas forcément sur des circularités.

Opératoirement, un nom $A$ désigne un ensemble quand pour tout $x: x\in A$ est une phrase.

Autrement dit, tu ne définis pas le mot ensemble, mais comment un truc qui a déjà un nom se comporte. J'ai un peu menti car j'ai supposé que $\in$ est donné.

En fait, la bonne définition est la suivante:

$<<X$ est un ensemble$>>$

veut dire

$<<$ pour tout $Y: (<<X(Y)>>$ est une phrase$)$.

Mais pour plus de comodité, on notera $Y\in X$ à la place de $X(Y)$.


Tu ne peux pas utiliser le signe $=$ et dire que "distinct" est son contraire, car tu n'as pas encore défini $=$ quand tu définis "ensemble".

L'axiome d'extensionnalité dit que pour tous ensembles $a,b$ :

Si $\forall x: [(x\in a)\iff (x\in b)]$

Alors $\forall x: [(a\in x)\to (b\in x)]$

Si tu veux tu peux abréger par $x=y$ la phrase $\forall t: (x\in t\to y\in t)$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
avatar
@cc la définition donnée par Cantor-Bernstein est censée être intuitive pas formelle... tu n'intuites pas ?
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
avatar
Merci @AlainLyon, @gerard0, @Maxtimax,@christophe c pour ces précisions.

Citation
@christophe c
<<X est un ensemble>>

veut dire

<< pour tout Y:(<<X(Y)>> est une phrase).

Du coup si je prends X := l'ensemble des fruits, le "pour tout " m'autorise le choix de Y:= une voiture et donc l'affirmation :

Une voiture est un fruit (?)




$\forall x:[(x\in a) \leftrightarrow (x\in b)]$ : oui effectivement mais dans $\forall x:[(a\in x) \rightarrow (b\in x)]$ pourquoi les ensembles prennent-ils la place des éléments ? Que signifie $\rightarrow$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Cantor-Bernstein.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
Cette définition a surtout un intérêt historique. Les théories des ensembles des mathématiques contemporaines prennent les ensembles pour objets premiers et donc ne les définissent pas. Ce sont les axiomes choisis pour la relation d'appartenance qui font que ces objets vont pouvoir être pensés au moins intuitivement comme des collections d'objets particulières.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
@Christophe : je trouve que tu es un peu dur avec Cantor. (Le vrai, pas CB). Bon, d'accord, c'est mon pote alors ma vision est peut-être un peu biaisée.

Mais ce que je veux dire c'est qu'il faut reconstituer les choses dans le contexte. On est au tout début de la TDE, les gens sont très frileux avec la notion d'ensemble, en particulier infini. Donc à l'époque tu ne peux pas commencer un traité en parlant d'un type d'objet que tu n'as pas défini, même si la définition est bancale. (Ce dont, j'en suis à peu près sûr, Cantor est parfaitement conscient).

D'ailleurs je crois que Dedekind dit la même chose. De mémoire : "J'appellerai multiplicité (Mannigvaltigkeit) la mise en commun d'objets issus de notre pensée".

Bon, mais tout cela n'est pas bien grave...
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
Bon, j'en rajoute une couche.
Cantor définissait un ordinal comme étant obtenu par une abstraction des noms des éléments d'un ensemble, et un cardinal avec une double abstraction : les noms des éléments, et l'ordre dans lequel on les écrit.
Il a essuyé de vives critiques de la part de Frege , genre : "on ne fait pas des mathématiques à coups d'abstractions, gnigni gnigna".
Et pourtant, ces deux abstractions signifient qu'il avait tout compris.

Pour la petite histoire, un jour (il ya très longtemps), j'ai écrit un mail à Patrick Dehornoy au sujet des modèles non standard de ZFC. Je lui ai donné mon interprétation des faits, et mon mail se terminait par : "Je ne sais plus à quel saint me vouer".
Dans sa réponse il me disait que mon analyse était correcte, et à la dernière question il répondait : "à Saint Cantor, bien sûr !".

Just for the fun.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
De mon téléphone@Martial. Je ne voulais pas critiquer Cantor bien sûr mais la définition circulaire.

Pas sûr d'ailleurs qu'à l'époque Cantor ait appelé ça une définition, je ne suis pas cultivé.

@CB: EtreFruit(voiture) est une phrase. Fausse.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
@Christophe : je sais très bien que tu n'as rien contre Cantor, it was a joke.
Je ne pense pas non plus que Cantor ait parlé de définition. Il était dans un tout autre état d'esprit que le nôtre maintenant : pas question de pondre les choses rigoureusement, genre à la Bourbaki, mais faire avancer le schilimimi... Et dans ce sens, le moins qu'on puisse dire c'est qu'il a réussi.
Cf Hilbert : "Nul ne nous fera sortir du paradis que Cantor a construit pour nous".

Bon allez, juste pour la route : il fut une époque (2009/2010/2011) où j'allais très souvent à Berlin. La dernière année j'ai fait le pélerinage (160 km) jusqu'à Halle, où j'ai vu la tombe de Cantor... qui est une fausse tombe, en fait il est enterré ailleurs, Dieu sait où.
J'ai aussi vu sa maison, où il y a une plaque commémorative, de mémoire : "Ici vécut Georg Cantor, inventeur de la Menge Theorie" (théorie des ensembles). J'ai une photo quelque part, je vais essayer de la retrouver.

Voili voilou, je suis un grand nostalgique.

Et sa race, je ne sais pas pourquoi le logiciel me souligne en rouge le mot "pélerinage".



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
Pour la mémoire...


Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
@Martial : J'ai vu la tombe de Hausdorff à Bonn, qui a contribué à la théorie des ensembles également il me semble (en plus d'autres choses pour lesquelles il est plus connu).
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
avatar
Citation
Christophe c
EtreFruit(voiture) est une phrase. Fausse.

Du coup c'est quoi un ensemble faux ?


On peut donc créer toute sorte d'ensembles sans qu'aucune propriété ne lie de façon cohérente ses éléments ? Voire même mettre tout et n'importe quoi dans le même sac (absence de propriété) ? confused smiley

Etrange ...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Cantor-Bernstein.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
Citation
Martial
Et sa race, je ne sais pas pourquoi le logiciel me souligne en rouge le mot "pélerinage".
Serait-ce parce que la bonne orthographe est "pèlerinage" ?
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
@Foys : pèlerinage
Bon ben merci, j'aurai appris quelques chose aujourd'hui... et ça fait environ 58 ans que je l'écris avec un accent aigu.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
@Cantor-Bernstein : Connais-tu l'ensemble vide ?
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
@CB : oui, en théorie naïve tu peux mettre tout et n'importe quoi dans un ensemble. C'est une idée relativement récente (18ème, 19ème). Auparavant on ne considérait (au mieux) que des ensembles de nombres, ou de points, ou de moutons etc, mais pas question de mélanger.
Suite aux travaux de Bolzano et Riemann on s'est autorisés à mélanger les genres : un ensemble $A$ peut contenir une voiture, un fruit, une fonction et 54 dés.

@Poirot : je n'ai pas compris ton intervention concernant $\emptyset$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
avatar
Citation
Martial
je n'ai pas compris ton intervention concernant $\emptyset$.

Idem ?

Citation
Martial
oui, en théorie naïve tu peux mettre tout et n'importe quoi dans un ensemble.

Et sous des théories non naïves ?

--------------------------------------------------------------

@Christophe C : Du coup c'est quoi "un ensemble faux" ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Cantor-Bernstein.
Re: Définition d'un ensemble donnée par Cantor
il y a deux mois
@CB: je viens seulement de voir ta question, mais je ne comprends pas ce que tu cherches à savoir.

1/ Tu as des phrases et des ensembles

2/ Un ensemble est une fonction qui envoie tout objet sur une phrase

C'est le standard grammatical le plus courant.

Le standard équivalent, mais unitype est: tu n'as que des fonctions et tu appliques n'importe quoi à n'importe quoi. Pour décrire une nouvelle fonction tu utilises

$$x\mapsto \dots$$

comme syntaxe (il y a d'autres moyens, mais peu importe).

Pour es raisons de confort, les gens ont historiquement décidé de "cloturer", c'est à dire d'avoir la phrase comme objet acceptable dans un texte, ce qui peut se comprendre. Avec l'habitude, on n'aime pas les suites de mots non terminées, comme par exemple

"le chat qui voit la lune"

on préfère

"le chat qui voit la lune miaule"

C'est conventionnelle + c'est pratique car on a pris l'habitude de voir la valeur d'une phrase comme habitant un ensemble $\{faux; vrai\}$, muni d'opérations assez canoniques et qui sont les plus utilisées de l'histoire dans tous les textes (négation, conjonction, disjonction, implication)

Mais opératoirement, ça ne change rien, que tu dises que:

$a\in [x\mapsto (x$ est pair$)]$

ou que tu dises

$a\in \{x\mid x$ est pair$\}$

c'est juste que le mapsto est changé en accolades et mid.

Grammaticalement, $a\in \{x\mid x^2>50$ et $(x^3+1)\}$

veut dire

$[a^2>50$ et $(a^3+1)]$

et comme ça n'a pas de vocation à être dans $\{faux; vrai\}$

il est traditionnellement préféré l'écriture

$[x\mapsto (x^2>50$ et $(x^3+1))] (a)$

qui se lit "machin de a"

plutôt que "a appartient à machin"

mais dont la valeur est toujours

$[a^2>50$ et $(a^3+1)]$

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