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5 exercices pour OShine

Envoyé par christophe c 
5 exercices pour OShine
le mois dernier
Je mettrai un lien vers le fil antérieur quand j'aurai le temps.

A partir du numéro 77 inclus, je les postes dans le cours du fil pour éviter de trop rallonger le présent fil.

Le numéro 77 se trouve ici

Accès à l'exercice 81 en cliquant

Accès à l'exercice 150 en cliquant (exceptionnellement, 2 mois pour le faire)

Accès vers le 82


Accès vers les 83 et 84

Accès à l'exercice 87


Oshine, je passe à la numérotation 70.

Je te mets deux os à ronger qui doivent te prendre TRANQUILLEMENT 2 semaines de réflexion. Ce ne sont pas des exercices très faciles, ni très durs, je les ai inventés exprès en venant de lire ton dernier post pour que tu ne trouves nulle part de correction et que tu n'aies pas besoin de connaissances. Autement dit, ils te feront travailler exactement ce qu'il te faut travailler à savoir la méditation mathématique et le temps de gestation que tu refuses de regarder en face.

Exercice 70 :

$T$ est un ensemble d'ensembles finis. Tous ses éléments ont un cardinal impair. En outre, pour tout $x,y$ dans $T: (x\cup y)$ est aussi dans $T$.

Prouve qu'il existe $a$ tel que $\forall x\in T: a\in x$.


Le 70 a reçu une correction

Exercice 71 sera corrigé vers le 22 mars 2021:

Soit $A$ une partie fermée du plan (doté de sa distance euclidienne usuelle issue du produit scalaire usuel), non vide et telle que tous ses éléments sont à une distance au plus $1$ de l'origine. Prouve l'existence d'un carré tel que: (1) et (2)

(1) tous les éléments de $A$ sont dans ce carré
(2) Chaque côté du carré rencontre $A$

Le carré a le droit d'être un point.




Tu ne pourras pas mettre moins d'une semaine à les résoudre. Tu ne pourras pas juste faire un calcul de fuite. Tu devras formaliser après avoir trouvé le coeur intuitif des mécanismes sous-jacents. Tu as le niveau pour les réussir en moins de 15 105 jours - 3 semaines.

Si tu les boycottes, tu ne seras JAMAIS compétent en mathématiques. Ils ne nécessitent pas de background





Exercice numéro 72 sera corrigé vers le 24 mars 2021:

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire qui n'est pas un corps fini.

Prouve qu'il existe une application $f: A\to A$ telle que
pour tout polynôme $P\in A[X]$,
il existe $a\in A:$ tel que :

si $f(a)=P(a)$ alors $P(a)=P(f(a))$





Exercice numéro 73 sera corrigé vers le 30 mars 2021:

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire.

Prouve qu'il existe une application $f: A\to A$ telle que
pour tout sous-anneau $B$ unitaire de $A$ qui est stable par $f$ et qui n'est pas un corps fini
pour tout polynôme $P\in B[X]$,
il existe $b\in B:$ tel que :

si $f(b)=P(b)$ alors $0_A = 1_A$




Exercice numéro 74 sera corrigé vers le 5 avril 2021:

Soit $K$ un sous-corps de $\C$.

On suppose que pour tout entier naturel $n>0$, toutes suites finies injectives $u_1,..,u_n$ et $v_1,..,v_n$ d'éléments non nuls de $K$, l'équation:

$$ [\frac{u_1}{x+v_1}+\dots + \frac{u_n}{x+v_n} = 0;\ inconnue\ x]$$

a une solution dans $K$.

Prouve qu'alors tout polynôme de degré au moins 1,
dont les coefficients sont dans $K$
a une solution dans $K$.




Exercice 75 (sera corrigé vers le 12/04/2021)

Soit $T$ un ensemble fini de parties finies. On suppose que $\forall x,y$ tous deux dans $T: (x\cap y) \in T$.

On suppose de plus que tous les éléments de $T$ ont un cardinal pair.

Prouver l'existence d'un ensemble $L$ qui ne contient que des ensembles de cardinal $2$ et qui soit tel que tout élément de $T$ est une réunion de certains éléments de $L$.


Remarque: tu as le droit d'admettre le 70 comme un théorème.




Exercice 76 (sera corrigé vers le 19/04/2021) (Merci à JLT)

Soit $A$ une partie COMPACTE du plan euclidien qui n'est incluse dans aucune droite. Prouve l'existe d'un disque fermé $D$ tel que $A\subset D$ et $A$ contient au moins 3 éléments différents sur le cercle bord.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 16 fois. La dernière correction date de il y a treize jours et a été effectuée par christophe c.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Bonjour,
Dans l'exercice 71, ne faudrait-il pas que $A$ soit fermé pour arriver à satisfaire (2) ?
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Bonjour Christophe. Ils ont l'air intéressants ces exercices.
Je vais y réfléchir.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Le 70 m'a l'air dur. Pour l'instant je n'ai aucune piste.

x et y étant des ensembles il ne vaut pas mieux les noter X et Y ?
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
$\cal X$ et $\cal Y$ seraient tellement plus beaux smiling bouncing smiley
JLT
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
On peut aussi les noter $\mathfrak{X}$ et $\mathfrak{Y}$.

Ou encore $\mathscr{X}$ et $\mathscr{Y}$.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Ca donne le tournis grinning smiley
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Par curiosité, JLT tu résous cet exercice en combien de temps ?
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Toujours détourner la conversation...qu'importe...
Citation

Je te mets deux os à ronger qui doivent te prendre TRANQUILLEMENT 2 semaines de réflexion.
Ronge sans t'occuper des autres...
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
C'est étrange mais j'ai l'impression que le 70 est trivial. Je ne me sers pas du cardinal impair.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Pose ton raisonnement alors?
JLT
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
OShine : je répondrai à ta question quand tu auras résolu l'exercice. winking smiley
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Christophe nous donne deux énoncés de style olympiade, très intéressants, mais je ne suis pas certain qu'ils soient ce qui est utile à OShine.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Chaurien.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Noobey en fait c'est plus dur que ce que je pensais.

J'ai essayé une piste mais la subtilité du cardinal impair rend la chose plus difficile. J'ai voulu prendre un exemple, mais je tombe toujours avec un élément de cardinal pair dans l'ensemble vu que l'union de deux ensemble avec un nombre impair d'éléments donne un ensemble avec un nombre pair d'éléments.
Je trouve cela étrange.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
@OShine réfléchir à des exemples, comme tu as commencé à faire, devrait te permettre de trouver des "petits" résultats intermédiaires qui t’amèneront d'ici 3 semaines (grinning smiley) à trouver la démonstration.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Oui Raoul.S il semble qu'il y ait plusieurs cas à traiter.

Je crois avoir trouvé un cas particulier.

Premier cas :
Les éléments de $T$ sont des ensembles disjoints.

Si $T$ possède plus de $2$ éléments, c'est absurde. En effet, notons $X$ et $Y$ deux éléments de $T$. Comme ils sont de cardinal impair, on a $X \cup Y$ de cardinal pair, ce qui est impossible. Donc $T$ possède un élément.

Ainsi, il existe $a \in \R$ tel que $T=\{ a \}$.

Donc $\boxed{\exists a \in \R \ \forall X \in T \ a \in X} $.

Deuxième cas :
Les éléments de $T$ sont des ensembles non disjoints.

Ce cas me semble nettement plus difficile.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par OShine.
JLT
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Relis-toi, il y a des énormités...
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Merci. J'ai vu 2 erreurs à la fin je les ai corrigées.
JLT
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
C'est toujours faux.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Les éléments de $T$ ne peuvent pas être disjoints...

Si $X \in T$ et $Y \in T$ alors $X \cup Y \in T$. Les éléments de $X$ et $Y$ sont dans $X \cup Y$.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Merci à toutes les personnes qui m'ont signalé des coquilles en MP, je viens de les recevoir et j'ai corrigé.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
JLT
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
OShine : n'empêche qu'il reste des erreurs, il y a au moins deux caractères à corriger.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
@OShine : Tu dis
Citation
OShine
J'ai essayé une piste mais la subtilité du cardinal impair rend la chose plus difficile.

Mais ça montre que tu n'as pas compris un truc sur les maths : sans l'hypothèse de cardinal impair, l'énoncé à démontrer est peut-être faux ! Au contraire, la chose est plus facile avec cette hypothèse. C'est comme si tu disais, avant de partir à l'aventure, à quelqu'un qui te donne un couteau-suisse "oulala, je vais moins pouvoir me débrouiller, maintenant". C'est absurde !
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
George Abitbol oui j'ai bien compris par la suite avec des exemples l'importance du cardinal impair.

JLT je crois que c'est $T$ possède un élément ou aucun. L'autre erreur je ne vois pas.

Si $T$ possède un unique élément, le résultat est vrai. Supposons à présent que $T$ possède au moins $2$ éléments.

Supposons par l'absurde que $\forall a \in \R \ \ \exists X \in T \ a \notin X$. Posons $n=card(T)$

Soit $a \in \R$. Alors il existe $X \in T$ tel que $a \notin X$.

Notons $q= card( Y \in T \ | \ a \not\in Y \}=card(A)$. Donc $card(B)=card( Y \in T \ | \ a \in Y \}=n-q$

Notons $X_1, \cdots, X_k$ des éléments de $T$.

On sait que $\displaystyle\bigcup_{Y \in A} Y \in T$ et $\displaystyle\bigcup_{Y \in B} Y \in T$

Voilà où je suis arrivé aujourd'hui j'ai cherché environ 2 heures, j'ai compris le principe sur des exemples mais la théorie je n'y arrive pas. Je fais une pause.

Il va peut être me falloir un an pour le résoudre sad smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par OShine.
JLT
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Pourquoi tu parles de $\R$ ? Il n'y a pas de $\R$ dans l'énoncé.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Le $a$ dans l'énoncé il vit dans quel ensemble ?
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
@OS : bonsoir. S'il existait $x$ et $y\in{}T$ disjoints, i.e. tels que $x\cap{}y=\emptyset$, alors le cardinal de $x\cup{}y$ serait nécessairement pair, de sorte que $x\cup{}y\not\in{}T$, contrairement à l'hypothèse.

Je te laisse finir.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Thierry Poma.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Bonsoir,

> $\forall a \in \R$ ..................

Que vient faire ce $R$ ici ? Il n'est pas question du moindre nombre réel dans l'énoncé.
Les ensembles contenus dans $T$ peuvent aussi bien être des ensemble de carottes.

Cordialement,

Rescassol
JLT
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Ce n'est pas spécifié.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
"un an"?

Tu dis ça au bout d'une journée alors que je t'ai pronostiqué 2semaines. Et en plus tu as pas cessé de bavarder" avec autrui pour tenter de chasser des idées.

Je te conseille de jouer le jeu et ne plus chasser de la conversation inspirante car à tout moment tu risques qu'un intervenant te mette "trop" sur la voie malgré lui par un mot ou une sonorité et alors l'éternité ne te suffirait plus puisque tu pourrais toujours te dire en souvenir "on m'avait aidé".

Peu dispo, j'ai juste parcouru et pour l'heure la difficulté semble intacte donc tu n'es pas spoiled. Mais joue le jeu, tout matheux a déjà plusieurs fois de sa vie réfléchi plusieurs semaines à des casse tête.

@chauirien: ce n'est pas du tout le même niveau qu'olympiade, je rassure OS. C'est bien moins difficile. Ce n'est juste "pas donné". Mais l'inspiration nécessaire est peu car il y a pas "36000" abords directs possible et l'un d'eux marché.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Thierry oui c'est ce que j'avais écrit sur mon brouillon.

Christophe de toute façon ce qu'a écrit Thierry je l'avais écrit sur ma feuille et je l'avais découvert à travers des exemples.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Je n'ai pas dit « olympiade internationale », j'ai dit « style olympiade ». Un professeur de mathématiques peut faire une carrière entière tout à fait convenable sans avoir jamais à résoudre un problème de ce style.
P.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
L'exo 70 est tres amusant, il se fait de tete, mais pas en 30 secondes. D'ou le sors -tu ?
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Thierry Poma,

Tu ne peux pas t'empêcher de faire l'exercice à la place de O Shine. C'est à lui de trouver ça (et il ne l'avait pas vu, il ne voit que ce qu'on lui dit), pas à toi. Toi, on sait que tu sais faire !

Cordialement.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Christophe,
Je vous ai envoyé mon idée en MP
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Citation
OShine
Ainsi, il existe $a \in \R$ tel que $T=\{ a \}$.

Donc $\boxed{\exists a \in \R \ \forall X \in T \ a \in X} $.

Il y a une confusion entre les éléments, les ensembles et les ensembles d'ensembles.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Calli.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
@OS : mon intervention n'a eu pour effet que de lisser intégralement ton intervention. Que sait-on de plus désormais ? Comment montrer ceci ?\[(\exists\,a)(\forall\,x)(x\in{}T\Longrightarrow{}a\in{}x)\]Ce bel exercice est loin d'être clôturé.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Thierry, pourquoi guider OS alors que christophe souhaite qu'on ne l'aiguille pas et qu'il cesse les "bavardages" ?
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Traduction de P. en français :
L'exo 70 est très amusant, il se fait de tête, mais pas en 30 secondes. D’où le sors -tu ?
ev
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
@ Chaurien.

Un problème d'accent ou est-ce que c'est la déclaration de guerre du cassoulet ?

e.v.

Si tu ne supportes pas la soutane, ne reprends pas du missionnaire. (Authentique proverbe bantou inventé par Alexandre Vialatte.)
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
De mon téléphone. Je l'ai inventé (après avoir lu l'introduction d'un article qui disait à propos de tout autre "we we pas cool comme les preuves d'existence de machin utilisent impair => non vide on ne peut pas contrôler et ça a rien de constructif"). J'ai pris un peu la première phrase venue parla t de nombres impairs ET RIEN D'AUTRE. Et il s'est trouvé qu'elle était vraie en ajoutant bin l'hypothèse paresseuse de base grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
P.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Tu es tres ruse.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
Il est aussi torture et supplice pour le pauvre OShine.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
@P: étant sur mon pc, je peux préciser le document (bon, ça n'a certes rien à voir) qui a fait que j'ai pensé au 70. Il est en lien dans le post:

[www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par christophe c.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
Calli

$T$ est un ensemble d'ensemble.
$X$ est un ensemble qui appartient à $T$ et $a$ est un élément de l'ensemble $X$ non ?

Thierry Poma.

S'il existait $X$ et $Y$ disjoints, alors $card(X \cup Y)=card(X)+card(Y) \in 2 \Z$ ce qui est absurde.

Donc tous éléments de $T$ sont non disjoints $2$ à $2$. Il reste à montrer que tous les éléments de $T$ possèdent au moins un même élément $a$.

Christophe c

$T$ est un ensemble fini ou pas forcément ?
JLT
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
avatar
OShine, réécris déjà tout sans les $\R$ parasites sinon on ne sait pas de quoi tu parles.

Par ailleurs T n'est pas nécessairement fini, pourquoi tu demandes ? L'énoncé est clair, il suffit de savoir lire.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
JLT il n'y a pas de $\R$ dans mon dernier message. Mes autres messages ne donnent pas la solution de toute façon, ce ne sont que des brouillons faux.

Ok pour la dimension.

Supposons par l'absurde qu'il existe $a \in X$ mais $a \not\in Y$ avec $X,Y \in T$.

On sait que $a \in X \cup Y$. Et $card(X \cup Y)= card(X)+card(Y)- card(X \cap Y)$.

Notons $card(X)=2p+1$ et $card(Y)=2q+1$. Supposons que $card(X \cap Y)=k$

Alors $card(X \cup Y)=2(p+q+1)+k$ donc $k$ est impair.

Voilà où je suis arrivé mais je n'avance pas.
Re: 2 exercices pour OShine
le mois dernier
A 3h30, tu aurais mieux fait d'aller dormir... J'espère que tu n'enseignes pas ce matin !
Christophe t'a donné plusieurs semaines, ne viens pas poster chacun de tes brouillons ici pour essayer de grappiller des indices, prends ton temps et reviens quand tu seras convaincu par ta démonstration !
Re: 2 exercices pour OShine
il y a sept semaines
Christophe C j'ai abandonné. Plus la motivation je ne trouverai jamais la solution.
Re: 2 exercices pour OShine
il y a sept semaines
Bonjour,

On t'a dit qu'il fallait deux semaines, c'est normal que tu n'aies pas encore trouvé.
Le but n'est pas l'instant de la découverte, c'est la phase de recherche.

Cordialement,

Rescassol
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