Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
211 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

5 exercices pour OShine

Envoyé par christophe c 
Re: 5 exercices pour OShine
il y a quatre semaines
J'ai résolu l'exercice de Rescassol, ça m'a pris au milieu de la nuit, je me suis dit que je pouvais le résoudre en moins de 15 minutes et c'est fait.


Re: 5 exercices pour OShine
il y a quatre semaines
Super, tu as utilisé la calculatrice, bravo OS, t'es vraiment trop fort. Comme quoi, la nuit, tu fais rien de mieux que le jour, Batman enfin "Bad maths", je veux dire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Alexique.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a quatre semaines
Rescassol a précisé qu'on pouvait utiliser la calculatrice.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a quatre semaines
Bonjour,

Oui, mais c'était la question $1$.
Maintenant, question $2$, sans la calculatrice, et bien sûr sans faire la moindre multiplication dépassant les deux chiffres.

Cordialement,

Rescassol
Re: 5 exercices pour OShine
il y a quatre semaines
C'est quoi la deuxième question ?
Re: 5 exercices pour OShine
il y a quatre semaines
avatar
c'est sans calculatrice, tu fais comment ?

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a quatre semaines
Quelqu'un peut-il mettre un lien vers la consigne de cet exercice de Rescassol et le numéroter "exercice 85"? Merci.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: 5 exercices pour OShine
il y a quatre semaines
avatar
Proposé par Rescassol :

Exercice 85 : l'on pose $x=12^6, y=6^8, z=2^{11}\times 3^7$. Montrer que $x^x\times y^y=z^z$
  1. avec la possibilité d'utiliser une calculatrice ;
  2. sans utiliser de calculatrice, et (bien sûr) sans faire la moindre multiplication dépassant les deux chiffres.




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Thierry Poma.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a trois semaines
Merci Titi!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: 5 exercices pour OShine
il y a deux semaines
J'ai réussi l'exercice de Rescassol. Je n'ai pas utilisé la calculatrice, que du calcul mental.

Les nombres sont tous strictement positifs, cela revient à montrer que :

$z \ln(z)= x \ln(x)+y \ln(y)$

On a d'une part : $2^{11} \times 3^{7} \ln(2^{11} \times 3^{7})= \boxed{11 \times 2^{11} \times 3^{7} \ln(2) + 7 \times 2^{11} \times 3^{7} \ln(3)}$

D'autre part, $ x \ln(x)+y \ln(y)=6 \times 12^6 \ln(12)+8 \times 6^8 \ln(6)$

Or $\ln(12)=\ln(2^2 \times 3)=2 \ln(2)+\ln(3)$ et $\ln(6)=\ln(2)+\ln(3)$

Donc $x \ln(x)+y \ln(y)= 6 \times 12^6 ( 2 \ln(2)+\ln(3) )+8 \times 6^8 (\ln(2)+\ln(3))$

Soit $x \ln(x)+y \ln(y)=(12^7 + 8 \times 6^8) \ln(2)+(6 \times 12^6+8 \times 6^8) \ln(3)$

Or $12^7 + 8 \times 6^8=3^7 \times 2^{14}+ \times 2^{11} \times 3^8=2^{11} (8 \times 3^7 +3 \times 3^7)=2^{11} \times 11 \times 3^7$

De même $6 \times 12^6+8 \times 6^8=2 \times 3 \times 3^6 \times 2^{12}+2^3 \times 3^8 \times 2^8 =2^{11} (4 \times 3^7+3^8)=2^{11} \times 7 \times 3^7$

L'égalité est démontrée.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a deux semaines
On t'impose: "sans faire la moindre multiplication dépassant les deux chiffres".
Solution: j'utilise le logarithme.
Très bonne idée!
Re: 5 exercices pour OShine
il y a deux semaines
@ nahar : je suis presque sûr que OShine ne sait pas utiliser les propriétés des puissances. eye rolling smiley
Re: 5 exercices pour OShine
il y a deux semaines
Si, je connais les propriétés des puissances et je sais les utiliser.

Nahar je n'ai pas compris l'histoire de la multiplication qui dépasse deux chiffres.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a deux semaines
Exercice 87


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
df
Re: 5 exercices pour OShine
il y a huit jours
Exercice 88

Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}^n$.
Montrer que:
\begin{equation}
(\exists x \in \mathbb{R}^n)\: \big((x, u(x),..., u^{n-1}(x)\big) \: \text{libre} \Longleftrightarrow (Id, u, u^2,..., u^{n-1}) \: \text{libre}
\end{equation} ...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par AD.
df
Re: 5 exercices pour OShine
il y a huit jours
Exercice 89
Soit
\begin{array}{cccc}
f: & \mathbb{R}^3 &\longrightarrow &\mathbb{R}^3 \\
&(x,y,z) &\longmapsto& (x,0,y).

\end{array} 1) Déterminer le noyau et l’image de $f$.

2) Soit $E=\{(x,y,0), \: (x,y) \in \mathbb{R}^2\}$.
Trouver $f(E)$ et $f^{-1}(E)$.

3) $f$ est-il diagonalisable ?
...



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept jours et a été effectuée par df.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
Bonjour,

Merci. Ces exercices 88 et 89 semblent adaptés à mon niveau je vais essayer de les chercher dans les 2-3 jours.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
Je commence par le $89$ qui me semble plus simple.

$Ker(f)= \{ (x,y,z) \in \R^3 \ \ | \ \ x=y=0 \} = \{ (0,0,z) \ | \ z \in \R \} =\boxed{ Vect(0,0,1)}$

Le théorème du rang nous donne que $Im(f)$ est un plan vectoriel.

$Im(f)= \{ (x,0,y) \ (x,y) \in \R^2 \} =\boxed{ Vect ( (1,0,0),(0,0,1) \} }$
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
Exercice $88$ :

Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb{R}^n$.
Montrer que: $\begin{equation} (\exists x \in \mathbb{R}^n)\: \big((x, u(x),..., u^{n-1}(x)\big) \: \text{libre} \Longleftrightarrow (Id, u, u^2,..., u^{n-1}) \: \text{libre} \end{equation} $

Si $(Id, u, u^2,..., u^{n-1})$ est libre, elle l'est pour tout $x \in \R^n$.

Réciproquement, si $(\exists x \in \mathbb{R}^n)\: \big((x, u(x),..., u^{n-1}(x)\big) \: \text{libre}$ alors ...

Je ne trouve pas d'idée pour utiliser la diagonalisation.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
avatar
Citation
OShine
Si $(Id, u, u^2,..., u^{n-1})$ est libre, elle l'est pour tout $x \in \R^n$.

Peux-tu détailler un peu la preuve de cette affirmation ?
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
J'ai écrit des bêtises. Je n'ai pas trop compris cet exercice.
df
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
Salut OShine !

Pour le 89, c’est bon ! Je l’ai complété par deux questions qui permettent d’aborder la diagonalisation sur un exemple assez simple.

Pour le 88: il y a deux sens à traiter.
Je te laisse un peu chercher. Je rajouterai des indications.
...
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
C'est marrant OShine, tu coinces sur le sens évident, et déclare comme évident celui qui ne l'est pas.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
Poirot l'exercice 89 montre ma difficulté à manipuler les éléments de $\mathcal L(E)$ et à lier des éléments de $L(E)$ avec des éléments de $E$, c'est exactement le même problème que j'ai eu sur l'exo de mon livre sur lequel je bloque depuis 5 jours.

@Df

Question $2$ :
$f(E)= \{ f(x,y,0) \ | \ (x,y) \in \R^2 \} =\{ (x,0,y) \ | \ (x,y) \in \R^2 \ \}=\boxed{ Im(f)}$

$f^{-1}(E)= \{ (x,y,z) \in \R^3 \ | \ \ y=0 \} = \{ (x,0,z) \ | \ (x,y) \in \R^2 \} = \boxed{ Vect( (1,0,0) ,(0,0,1) \} }$

Question $3$ :
Notons $B=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\R^3$.

On a $f(e_1)=e_1$ , $f(e_2)=e_3$ et $f(e_3)=0$

Notons $A=Mat_B(f)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

On trouve $\boxed{\chi_f(X)=X^2 (X-1)}$ donc $sp(A)=\{0,1 \}$

Le polynôme caractéristique est scindé sur $\R$. Le sous-espace propre associé à la valeur propre $0$ est $E_0 (A)=Vect(0,0,1)$.

C'est une droite vectorielle de dimension $1$, or $0$ est de multiplicité $2$ donc :

$\boxed{ \text{ f n'est pas diagonalisable }}$
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
avatar
Pour compléter ce que dit Poirot : pour le sens direct, c'est juste un jeu de réécriture, c'est-à-dire ce que tu as certainement fait pour traduire/reformuler ton énoncé. Il n'y a pas vraiment de "manipulation" d'éléments de $\mathcal{L}(E)$.
Que signifie "$(x,u(x),\dots,u^{(n-1)}(x))$ est libre" ?
Que signifie "$(Id,u,\dots,u^{(n-1)})$ est libre" ?
Re: 5 exercices pour OShine
il y a sept jours
Finalement je ne sais faire aucune implication dans le $88$.

$(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est libre si et seulement si $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k u^k(x)=0_E \implies a_0=a_1= \cdots = a_{n-1}=a_n=0$

$(id,u, \cdots, u^{n-1})$ est libre si et seulement si $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k u^k=0_{L(E)} \implies a_0=a_1= \cdots = a_{n-1}=a_n=0$
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
avatar
Qui sont les $a_i$ dans ce que tu écris ? Ils ne nous ont pas été présentés.

Continuons la traduction : que signifie $\displaystyle{\sum_{k=1}^n a_k u^k=0_{L(E)}}$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six jours et a été effectuée par michael.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Citation
OShine
c'est exactement le même problème que j'ai eu sur l'exo

Arrête de mentir et de te mentir éventuellement à toi-même, en parlant de problème. Tu aurais dû écrire:

c'est exactement le même refus que j'ai eu sur l'exo


Tu n'es ni le premier, ni le dernier, ni rare dans ce refus qui s'accompagne d'un rêve: celui de découvrir comment faire des maths sans avoir à lire les $\forall$ et les $\exists$.

Et bien, je te le redis une 13561e fois, la personne qui trouvera ça aura un prix Nobel, une médaille Field, sera milliardaire et sauvera le monde.

En maths si tu refuses de prendre en compte les quantificateurs à peu près toutes les phrases disent la même chose. Mais bon, continue dans ton obstination et tes évitements, après tout, peut-être qu'au bout de 250000 posts, tu sauveras le monde.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six jours et a été effectuée par AD.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Avec les quantificateurs.

$(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre si et seulement si $\exists (a_0,a_1, \ldots, a_{n-1})$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k = 0_{L(E)} \implies \forall k \in [|0,n-1|], \ a_k=0$

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k = 0_{L(E)}$ est une combinaison linéaire des endomorphismes $id_E$, $u$, $u^2$, etc $u^{n-1}$ qui vaut l'endomorphisme nul.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six jours et a été effectuée par AD.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Ce n'est pas ce qu'on te demande, ça veut dire quoi d'être l'endomorphisme nul ?
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
L'endomorphisme nul est : $u : E \longrightarrow E \\ x \mapsto 0$

Je n'ai pas compris la deuxième question de Michael.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Mais va jusqu'au bout au lieu d'avancer pas à pas ! Qu'est-ce que ça veut dire que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k$ est l'endomorphisme nul ? Quel rapport avec la liberté d'une famille de la forme $(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ ?
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Ok merci j'ai compris l'implication facile.

Supposons que la famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ soit libre pour un certain $x \in \R$. Fixons ce $x$.

Posons $v=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k u^k$. Supposons $v=0$.

Ainsi, $\forall y \in E \ v(y)=0$

Cela signifie que $\forall y \in E \ \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k u^k(y)=0$ et en particulier $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} a_k u^k(x)=0$

La famille $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ étant libre, on en déduit $ \forall k \in [|0,n-1|] \ \ a_k =0$.

Donc la famille $(Id_E,u, \cdots, u^{n-1})$ est libre.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
La réciproque me semble difficile.

Je n'ai pas trouvé comment utiliser l'hypothèse de diagonalisation.
df
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Petite coquille dans le dernier message de OS: «Supposons que la famille (...) pour un certain $x \in \mathbf{R}^n$»
...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six jours et a été effectuée par df.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Et si tu décomposais $x$ dans une base de diagonalisation pour voir ce que ça donne ?
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
avatar
Comme te l'a confirmé Poirot, c'est bon pour le sens direct.

En revanche, ceci est faux :

Citation
OShine
Avec les quantificateurs.

$(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre si et seulement si $\exists (a_0,a_1, \ldots, a_{n-1})$ tels que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k u^k = 0_{L(E)} \implies \forall k \in [|0,n-1|], \ a_k=0$
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
@Df oui merci.

@poirot
OK merci je vais chercher dans cette voie.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
Michael oui c'est faux ce que j'avais écrit. J'ai mis un "il existe" alors qu'il fallait mettre "pour tout".

La famille $(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre si tout combinaison linéaire égale à l'endomorphisme nul est telle que tous ses coefficients sont nuls.

Réciproque :
Supposons que la famille $(id,u,u^2, \cdots, u^{n-1})$ est libre.
Supposons qu'il existe $x \in \R^n$ tel que $\forall (a_0,a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \R^n \ \ \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)=0_E$.
Montrons que $\forall i \in [|0,n-1|] \ a_i=0$
Fixons $x$ et les $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$

Comme $u$ est diagonalisable, si on note $sp(u)=\{\lambda_1, \cdots, \lambda_r \}$ alors $E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^r E_{\lambda_i}$

Soit $x \in E$. Alors $x=x_1+x_2+ \cdots +x_r$ où $(x_1,x_2, \cdots, x_r) \in E_{\lambda_1} \times E_{\lambda_2} \times \cdots \times E_{\lambda_r}$

Donc $u(x)= \displaystyle\sum_{k=1}^r \lambda_i x_i$ puis $u^{n-1}(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^r \lambda_i ^{n-1} x_i$ (Je n'ai pas abouti)
Re: 5 exercices pour OShine
il y a six jours
C'est encore du grand délire au niveau des quantificateurs !!! Par pitié commence par apprendre ça !!!
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
[www.les-mathematiques.net]

Il y a une perfection exceptionnelle dans ce que tu as écrit, qui est louche. Peu de mathématiciens rédigeraient de cette manière aussi "parfaite"**, en dehors des logiciens. Je continue de croire que ton jeu n'est pas très clair et que tu n'es pas si nul que tu veux le laisser paraitre.

** précision, il ne s'agit pas d'une critique des matheux non logiciens, juste une remarque sur la rareté de ce genre de process chez les non logiciens pros.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
Citation
christophe c
Il y a une perfection exceptionnelle dans ce que tu as écrit, qui est louche. Peu de mathématiciens rédigeraient de cette manière aussi "parfaite"**, en dehors des logiciens. Je continue de croire que ton jeu n'est pas très clair et que tu n'es pas si nul que tu veux le laisser paraitre.
C'est une rédaction banale de prof de prépa.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
Bien d'accord avec Foys.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
Je le redis, je ne voulais nullement critiquer. Je le "sens" à de petits détails, mais surtout je ne me fie pas qu'à CE POST que j'ai commenté où OS fait une production réussi.

Les "rédactions banales de profs de prepa" ne sont pas aussi "en moyenne" économes de RPA etc. Mais pour le voir il faut avoir une situation de spectateur sur le forum et ailleurs qui n'est pas forcément courante de toute façon, et je ne vais pas faire la liste de tout ce que j'ai vu en 14ans de forum grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
Sûrement un coup de chance Christophe c.
Je suis à des années lumière du niveau des profs de prépa.

Je ne vois pas d'erreurs de quantificateurs dans mon dernier message.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
avatar
Traduis ça en français :
Citation
OShine
Supposons qu'il existe $x \in \R^n$ tel que $\forall (a_0,a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \R^n \ \ \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)=0_E$.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
avatar
Bonjour

Je lis : $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k u^k(x)=0_E$. Vraiment ?
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
Il existe un vecteur $x$ de $\R^n$ tel que toute combinaison linéaire d'éléments de $(x,u(x), \cdots, u^{n-1}(x))$ est nulle.

@Thierry
Oui pourquoi ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre jours et a été effectuée par OShine.
Re: 5 exercices pour OShine
il y a cinq jours
avatar
OK pour la traduction (à une coquille d'indice près). Tu ne vois pas le problème ?
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 229, Messages: 1 507 001, Utilisateurs: 27 661.
Notre dernier utilisateur inscrit ibra.


Ce forum
Discussions: 2 517, Messages: 51 078.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page