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Description géom. des classes d'équivalence

Envoyé par philjourney 
Description géom. des classes d'équivalence
le mois dernier
Bonjour à tous,
je suis en train de réviser et viens de tomber sur un exercice dans un livre qui me plait bien.

Soit $f\colon M\to N$ une application.
1) Montrer que la relation définie par
$$x, y \in M,\quad x\cong_f y \Leftrightarrow f(x)=f(y)
$$ est une relation d'équivalence.
2) Déterminer les classes d'équivalence de $\cong_f$
3) Dans le cas précis où $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} ,\ (x,y) \mapsto x^2+y^2$, décrire géométriquement les classes d'équivalence.

Pour 1)
$\forall x\in M,\ f(x)=f(x)$ donc $\cong_f$ est réflexive.
$\forall x,y \in M,\ f(x)=f(y) \Rightarrow f(y)=f(x)$ donc $x\cong_f y \Rightarrow y\cong_f x$ donc $\cong_f$ est symétrique.
$\forall x, y, z \in M,\ (f(x)=f(y) \land f(y)=f(z))\Rightarrow f(x)=f(z)$ donc $(x\cong_f y \land y\cong_f z)\Rightarrow x\cong_f z$ donc $\cong_f$ est transitive.
Par conséquent $\cong_f$ est une relation d'équivalence sur $M$.

Pour 2)
Pour $x \in M$ la classe d'équivalence $[x]$ est le sous-ensemble : $\ [x]=\{y\in M \mid f(x)=f(y)\} \subseteq M$
Je me demande s'il ne manque pas quelque chose ici. Peut être dire que les classes d'équivalence sont définies par les ensembles des images réciproques ??

Pour 3)
Intuitivement il semblerait que dans ce cas les classes d'équivalence sont définies par l'ensemble des couples $\{(x,y), (-x,y),(x,-y),(-x,-y)\}$. Géométriquement ce sont les points symétriques par rapport aux axes des abscisses et des ordonnées.

Est-ce correct ?
Je vous remercie pour vos conseils.
Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Description géom. des classes d'équivalence
le mois dernier
Pour 2), oui, il est bon (je pense) de répondre en termes d'images réciproques.

Pour la 3), non, attention ! on peut avoir $x^2+y^2 = a^2+b^2$ sans que $(a,b)$ ne soit aucun de ces termes. Utilise la question 2), et demande toi ce qu'est l'image réciproque (par exemple) de $1$ par $f$

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Description géom. des classes d'équivalence
le mois dernier
Je te remercie pour ton message.thumbs down
Je vais essayer de formuler tout ceci correctement.
Re: Description géom. des classes d'équivalence
le mois dernier
Pour le 3, tu peux aussi chercher la classe d'équivalence de (1,2) pour bien voir :
$(x,y)\equiv_f (1,2) \Leftrightarrow ...$

Cordialement.
Re: Description géom. des classes d'équivalence
le mois dernier
J'aurais dû remarquer immédiatement qu'il s'agit de l'équation du cercle centré sur l'origine.confused smiley
Par conséquent
$[(1,2)]=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid 5=x^2+y^2\}$ donc l'ensemble des points sur le cercle de rayon $\sqrt{5}$

Pour revenir à la question 2, je suis un peu coincé pour définir l'ensemble des images réciproques :

$[x]=f^{-1}(\{f(x)\})=\{y\in M \mid f(y)=f(x)\}$. Ca ne me semble pas vraiment apporter une différence par rapport à la définition de la classe d'équivalence utilisée initialement.

Merci

Cordialement
Re: Description géom. des classes d'équivalence
le mois dernier
Tu peux dire que les classes d'équivalences sont exactement les $f^{-1}(y)$, pour $y$ dans l'image. Dans le cas de 3), les classes d'équivalence sont donc exactement les cercles centrés sur l'origine

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Description géom. des classes d'équivalence
le mois dernier
Merci pour vos réponse !
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