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Nombre et opérateur

Envoyé par Mister Da 
Nombre et opérateur
le mois dernier
Bonjour,
en bouquinant quelques documents et en regardant une vidéo d'Alain Connes sur internet, j'ai cru comprendre qu'on pouvait faire un parallèle entre certains opérateurs et certains nombres. Ainsi, sur un espace de Hilbert, on peut faire un parallèle entre
  1. les nombres complexes et les opérateurs normaux ;
  2. les nombres réels et les opérateurs auto-adjoints ;
  3. les nombres réels positifs et les opérateurs auto-adjoints semi-définis positifs.
A. Connes entre la minute 9 et la minute 10 de cette vidéo https://www.youtube.com/watch?v=tLdQqsWPAKI explique des choses sur la coexistence des variables discrètes et continues (étant donné qu'un opérateur peut avoir un spectre continu ou discret) et que notamment elles ne commutent pas. J'arrive ici à la limite de ma compréhension.

Je m'y connais un peu en algèbre, pas du tout en mécanique quantique et en tant que mathématicien du dimanche je suis à peu près à 10 000 années lumières d'Alain Connes en termes de compréhension.
Connaitriez-vous des ressources (livres articles, vidéos...) mathématiques, physiques voire philosophiques accessibles pour un profane qui me permettrait de creuser un peu cette histoire ? Sur internet j'ai trouvé quelques vagues choses mais rien qui parle vraiment de la coexistence du discret et du continu. Je trouve cette approche par opérateur merveilleuse et j'aimerais vraiment me coucher un peu moins bête le soir.

J'en suis arrivé là suite à la lecture de certains livres de vulgarisation de Carlo Rovelli (notamment "l'ordre du temps"). Ce dernier a croisé un jour la route d'Alain Connes et de fil en aiguilles j'essaye de comprendre les thèses qu'ils défendent.

Je vous remercie par avance pour vos conseils.
Cordialement,
Mister Da



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
Ne t'inquiète pas, tout ça, c'est du flan, j'ai déjà investigué ces slogans.

A.Connes est quelque de fort et sérieux, mais aussi quelqu'un qui "sait vendre sa camelote". Il est très gentil, fait des super-maths, mais quand il s'agit de présenter la beauté des choses, il est assez astucieux et ce ne sont plus des maths.

Exemple, il aime bien dire des choses comme $\R/\Q$ "est beaucoup plus gros que" $\R$ car sans choix, le premier ne s'injecte pas dans le deuxième alors que si si pour l'autre sens, etc.

Il dit aussi des choses comme "l'axiome du choix permet une vue d'avion du paysage" (ce qui est carrément plutôt faux, autrement que superficiellement vrai)

Sur le plan de sa maitrise de l aTQ il a des idées claires et je pense arrêtées qui se concentrent beaucoup dans le lien avec les maths. Pas sûr qu'il soit très attentif "aux vrais fondements problématiques" de la TQ, qui n'ont rien à voir avec les maths qu'il fait.

Je le classerai dans les savants qui s'occupent plus du passage du fini à l'infini (le fini étant supposé donné) que dans ceux qui s'occupent de toute la problématique.

Bref, tout ça pour dire, qu'en dehors de phrases peut-être prononcées un peu intempestivement, il n'est pas exclus (mais j'espère pour toi que je me trompe) qu'il n'y ait ni labo, ni article qui te permettrait de "pousser ces jumelages".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
Bonjour,

merci beaucoup pour ta réponse. Visiblement je me suis fait abuser par le côté technico-commercial car j'y ai cru surtout que j'ai lu ça
Citation
wiki
Self-adjoint operators on a Hilbert space (for example, self-adjoint square complex matrices) generalize the reals in many respects: they can be ordered (though not totally ordered), they are complete, all their eigenvalues are real and they form a real associative algebra. Positive-definite operators correspond to the positive reals and normal operators correspond to the complex numbers.
dans le bas de la page https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number alors je m'étais dit que c'était quelque chose de connue et bien établie. Quelle déception.

Donc pour résumer, il y a une certaine analogie entre certains opérateurs et certains nombres mais ça s'arrête là, il n'y a rien de plus profond à creuser.

En fait j'avais juste une question qui m'avait traversé la tête et c'est cette réponse que je cherchais finalement : dans cette analogie est-ce raisonnable de rapprocher les opérateurs autoadjoints compacts des nombres entiers ? Sentimentalement (ou sentilamentablement) je mets une petite pièce là dessus mais bon ça se saurait si on pouvait faire des mathématiques avec des sentiments surtout quand on a mon faible niveau.

Je te remercie par avance pour ton aide.
Cordialement,
Mister Da
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
En fait, il me semble que comme notre cerveau a "une mémoire cache" limitée, on retombe sur très souvent les mêmes choses (au niveau d'elle) et on peut faire des tas de "correspondances". On peut aussi les retrouver syntaxiquement en contemplant les preuves et non ce dont elles parlent.

Par contre, compte-tenu de la façon dont la recherche marche, il me semble rare que des analyses poussées et systématiques finissent par aboutir sans que ça dure des décennies et progressent de manière assez continue, avec médiatisation idem.

Du coup, quand un ponte raconte quelque chose, ou bien il peut donner des points d'entrée dans les références qu'il met en bibliographie, ou bien il y a de fortes probas qu'il fasse (sans le dire) un "appel de ses voeux de voir un indice investigué".

Mais dans cette deuxième hypothèse, ça prendra longtemps car "les petits jeunes qui font des thèses" ont souvent "interdiction" d'aller en "hors piste" de ce genre par leur coach et les "petits vieux" qui n'ont plus rien à prouver risquent de le faire "tranquillement". Exemple typique la correspondance de Curry Howard qui a mis 80ans à se développer jusqu'au bout.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
@Mister Da : Je n'y connais pas grand-chose, mais peut-être qu'une recherche avec le mot-clé "algèbres de Von Neumann" ou "$C^*$-algèbres" te permettront de creuser la chose.
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
Bonjour,

merci pour votre aide.
@christophe c, oui je vois ce que tu veux dire.
@Poirot, merci pour la piste, je vais essayer de voir, je viens de jeter un coup d'œil et je pense qu'il va falloir que je passe au magasin m'acheter un gros sac de neurones. Moi qui faisais du tourisme scientifique, j'étais venu faire de belles photos et malheureusement le brouillard s'épaissit !

Si je trouve des choses intéressantes je viendrai mettre les pointeurs ici.

Cordialement,
Mister Da
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
@Mister Da, je viens seulement de lire :

Citation

Les opérateurs auto-adjoints sur un espace de Hilbert (par exemple, les matrices complexes carrées auto-adjointes ) généralisent les réels à bien des égards: ils peuvent être ordonnés (mais pas totalement ordonnés), ils sont complets, toutes leurs valeurs propres sont réelles et ils forment un véritable algèbre associative . Les opérateurs définis positifs correspondent aux réels positifs et les opérateurs normaux correspondent aux nombres complexes.

Cela dit, ce n'est pas grave du tout, je te confirme exactement ce que j'ai dit en encore plus fermement. C'est en fait très léger et très "cool". Pas besoin de te ruiner en livres.

C'est quelque chose qui est continuel en maths, et je te donne des exemples (j'en suis en fait friand) :

1/ un ultrafiltre sur $E$ généralise un élément de $E$

2/ une simple application d'ailleurs de $(E\to F)\to F$ généralise un élément de $E$

3/ un uplet pondéré d'éléments de $E$ (avec des trucs qui peuvent être considérés comme des probas ou autre) généralise un élément de $E$ (c'est une superposition statistique quantique ou exptique de tels éléments

4/ une distribution généralise une fonction borélienne

5/ un topos (bin construit avec de bonnes propriétés sémantiques) généralise un univers ensembliste

6/ une catégorie généralise un topos

7/ une moniode associatif généralise une catégorie

etc, etc.

En fait, on a des phénomènes que l'on prouve à partir forcément de "pas toutes les propriétés" du l'objet concerné au départ et on s'aperçoit que l'on peut recenser ce que l'on peut garder comme théorèmes à propos de ses généralisations divers, quelles opérations continuent de passer. Par exemple un ensemble de couples généralise une fonction et $R^{-1} := \{(x,y)\mid (y,x)\in R\}$ est sa réciproque

8/ $(E^*)^*$ généralise $E$

Je pense que les sous-entendus derrière les mentions de la page wikipedia sont juste que des sous-ensembles de matrices diagonisables, bien marqués et donc qui se comportent "comme des diagonales" forment une généralisation de (3) ci-dessus.

Et tu n'as pas tort de t'y intéresser et de sentir la bonne odeur de cuisine qui s'y prépare. Pour donner un exemple de l'efficacité de cette "rêverie", c'est la clé du fait que "j'existe, moi, cc, en tant que matheux sans avoir eu besoin de formation", c'est à dire que j'ai en quelque sorte sans cesse adopté toute ma vie intellectuelle ces va et vient de sorte que des argumentations concernant le triplet $T:=(2,9,4)$ par exemple, je les voyais comme concernant les triplet $(a,b,c)$ vérifiant les admis seulement faits sur $T$. Et visiblement, ça m'a plutôt pas mal réussi, car je peux démarrer une vieillesse avec pas mal de sujets de réflexion

Maintenant, je maintiens qu'il doit être très difficile de trouver des ouvrages qui regroupent une application SYSTEMATIQUE de ce paradigme idéologique car comme toute idéolgie, elle doit probablement contenir ses inconvénients et "mise à l'ombre" de choses qu'un regard neutre aurait vu avec une aurte approche.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
Bonjour,

merci pour ton message. Tu me redonnes espoir quand tu dis "Et tu n'as pas tort de t'y intéresser et de sentir la bonne odeur de cuisine qui s'y prépare.".

Quand tu dis "des sous-ensembles de matrices diagonalisables", c'est fort probable, un peu comme un nombre complexe $z = a+\mathrm{i}b$ qu'on peut se représenter par un opérateur dont la matrice dans la base canonique est $Z = \begin{bmatrix} a & -b\\b & a \\\end{bmatrix}$, plein de choses naturelles se passent comme $|z|^2 = \det Z$ etc.

Suite aux mots clefs de Poirot je suis tombé sur cette page : https://golem.ph.utexas.edu/category/2013/08/linear_operators_done_right.html.

Notamment dans les commentaires on peut lire :
Citation
Erik Crevier
The appropriate generalization to a $C^\star$-algebra is “a normal element is like a complex number”. Normality in this context is still the same algebraic condition as for operators. The fact that makes the analogy work is called the commutative Gelfand-Naimark theorem.
Qu'en pensez-vous ?

En fait ce qui m'intéresse le plus est le mariage du discret et du continu.
Actuellement, la seule chose que je connaisse un peu est la suivante : je parle en langage profane (je n'ai pas le vocabulaire mathématique), pour traiter un signal à temps discret en version à temps continu on se place dans le royaume des distributions tempérées et on pondère les distributions de Dirac d'un peigne de Dirac par les échantillons ce qui redonne par la suite la formule sommatoire de Poisson et on passe de la transformée de Fourier à la transformée de Fourier discrète.

Et là pour m'amuser (je n'ai pas d'autre but) je me disais que si on pouvait voir un lien entre les opérateurs et les nombres, comme certains opérateurs ont un spectre continu et d'autres qu'un spectre discret je pensais qu'on pouvait voir ça comme un cadre agréable pour faire un mariage heureux du type : les opérateurs autoadjoints représentent les réels et les opérateurs autoadjoints compacts les entiers.

Après voilà c'est juste une idée en l'air mais si les $C^*$-algèbre sont le cadre approprié je prendrais le temps qu'il faut pour essayer de comprendre avec mon maigre bagage mathématique.

Cordialement,
Mister Da
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
Pour ce qui est des analogies du début du fil, signalons tout de même qu'étant donné un entier $n\in \N$ pour une application linéaire de $f$ de $\C^n$ dans lui-même, $\C^n$ étant muni de son produit scalaire hermitien canonique dans la suite du message:

1°) $f$ est normale (i.e. commute avec son adjoint) si et seulement si elle est diagonalisable dans une base unitaire.
2°) $f$ est hermitienne si et seulement si elle est diagonalisable dans une base unitaire avec valeurs propres réelles.
3°) $f$ est hermitienne positive si et seulement si elle est diagonalisable dans une base unitaire avec valeurs propres réelles positives.
4°) $f$ est hermitienne définie positive si et seulement si elle est diagonalisable dans une base unitaire avec valeurs propres réelles strictement positives.

Ces résultats sont accessibles avec très peu de backround (algèbre linéaire en dimension finie et réduction des endomorphismes).
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
Bonjour,
merci Foys pour ce résumé. J'avais effectivement ces caractérisations en tête sauf que je dis "base orthonormée" là où tu dis "base unitaire", sommes-nous d'accord que c'est un synonyme ? Tu dis unitaire pour préciser que l'on travaille avec des complexes ? Remarque c'est plus cohérent avec le langage qu'on utilise pour les matrices finalement.
Cordialement,
Mister Da
Re: Nombre et opérateur
le mois dernier
Citation
Mister Da
je dis "base orthonormée" là où tu dis "base unitaire", sommes-nous d'accord que c'est un synonyme ?
Oui.
Re: Nombre et opérateur
il y a sept semaines
Citation

En fait ce qui m'intéresse le plus est le mariage du discret et du continu.

De ton côté, évidemment, ton intimité y pense peut-être, mais je rajoute un point pour les lecteurs: c'est le défi majeur et inaccessible des maths du futur au sens suivant:

1/ Toute application continue de $[0,1]$ dans lui-même possède un point fixe.

2/ Autre exemple: pas d'application non constante et continue de $\R$ dans $\D$,

etc

Or 50 milliards de fois par jour, un être humain (je ne parle même pas des animaux) renvoie $y\neq x$ voyant $x$, ou associé à $x$ un décimal $y$ tel que $dist(x,y)\leq 0.1$

Certes la TQ a "terminé" (au sens de Terminator) la question (on a découvert que la Nature le fait tout autant), mais "en pensées" on n'a pas encore réussi à concevoir "ce que nous faisons" quand nous réussissons ça, étant raisonnablement exclus que nous appliquions une fonction discontinue, et étant "pas du jeu" et un battage en touche verbale que nous utilisions un générateur quantiquement aléatoire (qui honnêtement n'aide pas, puisque qu'il ne ferait que ... tirer un application continue au hasard, ou un réel au hasard).

La séparation entre les deux n'est pas conquise par les maths.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Nombre et opérateur
il y a sept semaines
Bonjour,

merci pour tous ces éclaircissements. Je trouve ce sujet vraiment passionnant. Aurais-tu des lectures (mathématiques/physiques/philosophiques) accessibles pour un profane à me recommander ? J'ai lu un certain nombre d'auteurs et je n'ai pas vu (suis-je peut-être passé complétement à côté ?) ce sujet de la coexistante continu/discret explicitement discuté.

Cordialement,
Mister Da
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