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Récurrence transfinie : aménagement licite ?

Envoyé par ludo' 
Récurrence transfinie : aménagement licite ?
le mois dernier
Bonjour
Dans une démonstration s'appuyant sur une récurrence transfinie.

1°) Un ensemble bien ordonné possède toujours un plus petit élément mais l'auteur s'autorise à considérer que l'ensemble bien ordonné peut être muni d'un élément maximum.
2°) Un élément générique à un successeur immédiat pourtant l'auteur considère naturelle l'existence de son prédécesseur immédiat

Ces deux aménagements sont-ils licites aux yeux des experts logiciens du forum ?
Au plaisir de lire vos réponses.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
le mois dernier
Bonjour ludo,

J'ai l'impression que l'auteur dont tu causes a ordonné son ensemble à l'envers. C'est un peu comme si tu disais que $0 >1>2>...>n>...> \omega > \omega+1...$

Je t'explique la récurrence transfinie quand on la fait "dans le bon sens". J'appelle $0$ le plus petit élément :
1) Montrer que $0$ satisfait la propriété.
2) Si $\alpha$ a un prédécesseur immédiat $\beta$ et si $\beta$ satisfait la propriété, alors $\alpha$ la satisfait.
3) Si $\lambda$ est limite (i.e. s'il n'a pas de prédécesseur immédiat) et si la propriété est vraie pour tout $\alpha < \lambda$, alors elle est vraie pour $\lambda$.
Si ces 3 conditions sont satisfaites, alors tu peux en déduire que la propriété est vraie partout.

Evidemment, dans le cas de ton auteur il faut remplacer $<$ par $>$, prédécesseur par successeur etc.

Mais quelle idée de vouloir faire une récurrence transfinie à l'envers !
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
le mois dernier
avatar
Bonsoir

Je ne peux raisonnablement pas me prononcer en vertu des éléments qui nous sont fournis par l'auteur du fil. Ce serait bien d'avoir le texte intégral pour émettre une réponse valable et non supposée.

Par exemple, dans ton texte est-il fait mention d'ensemble inductif ? d'élément maximal ? (...)

Bien cordialement,

Thierry
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
le mois dernier
@Thierry : tu es plus prudent que moi. Je me suis contenté d'intuiter, et peut-être suis-je complètement à côté de la plaque...
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
le mois dernier
avatar
@Martial : bonsoir. Tu as bien fait de proposer ta vision des choses. Lorsque j'intervenais sur l'ilemaths, il m'arrivait souvent de proposer des réponses fondées sur une interprétation intuitive de tel ou tel énoncé mal formulé. Ce qui m'agaçait, c'était des réponses du style "Je suis désolé mais je me suis trompé. (...)" après un dur labeur.



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Thierry Poma.
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
@ludo: sois plus précis. Dans un bon ordre no nvide, oui il y a toujours un minimum, parfois un maximum, parfois non et certains éléments ont des prédécesseurs, d'autres non.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
Voici la photo du texte il y est fait mention de la possibilité d'adjoindre un élément maximal et la considération d'un prédécesseur .
.


Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
C'est écrit explicitement "for the sake of convenience". Evidemment, si la preuve ne dépend pas du bon ordre choisi sur $A$, on peut en prendre un qui a un maximum (en supposant $A$ non vide, bien entendu)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
@Maxtimax

Merci mais c'est en fait l'affirmation de l'existence du prédécesseur immédiat pour tout élément j d'un ensemble bien ordonné qui me pose un problème car il n'y est fait nulle part mention dans la littérature consultée (contrairement au successeur immédiat d'un élément).

Je considère A infini et poserais bien i = union des k< j mais est-ce correct et ne pourrait-on pas alors avoir i = j dans certains cas (par exemple si j est dénombrable)?

J'en viens à me demander si ce théorème 14.13 est bien valide ...
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
C'est une des étapes de la récurrence transfinie: ou bien $j$ a un prédécesseur immédiat, ou bien il n'en a pas. La photo traite le premier cas; peut-être le second cas est-il laissé en exercice, ou traité juste après ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
Non hélas il n'y a que ce seul cas sad smiley

Saurais-tu si le résultat à démontrer est valide ?
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
L'énoncé au sujet de l'égalité me semble suspect pour des extensions infinies: soit $L$ une extension algébrique séparable infinie non parfaite et $N$ une clôture algébrique de $K$. Alors d'après l'énoncé on aurait $|Emb_K(L,N)| = [L:K]$, le second étant infini, les deux le sont.

Je rajoute alors un élément $\alpha \in N\setminus L$ inséparable sur $L$, pour obtenir $L(\alpha)$. Alors $[L(\alpha) : K] = [L:K]$ (parce que ce dernier est infini), et $ [L:K] = [L(\alpha):K] \geq |Emb_K(L(\alpha), N)|\geq |Emb_K(L,N)| \geq [L:K]$, ce qui donnerait donc une égalité et donc la séparabilité de $L(\alpha)$, absurde précisément par choix de $\alpha$. Bon je vais un peu vite sur quelques détails donc je me gourre peut-être mais ça me semble suspect pour des extensions infinies.
Plus précisément c'est le "only if" qui me semble suspect.

(et le cas fini est prouvé par récurrence)

Quant à l'inégalité, elle me parait après réflexion suspecte aussi dans le cas infini. En effet, prenons par exemple $N=L = \overline{\mathbb Q}, K= \mathbb Q$. Alors le côté droit est dénombrable et le côté gauche indénombrable (le groupe de Galois absolu est profini et non fini, donc indénombrable).

Donc je pense qu'il faut oublier cette preuve dans le cas infini et prétendre que tout est fini grinning smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
avatar
@Ludo : bonjour. Quels sont le titre de l'ouvrage et l'identité de l'auteur, s'il te plait ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Thierry Poma.
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
Karlheinz Spindler "Abstract algebra with applications" tome 2, très pertinent sur le reste du chapitre sur Galois
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
Je n'y connais rien à Galois, ai regardé vite fait, mais j'ai vaguement l'impression que c'est (ou pourrait être) "continu", ie qu'il n'y a rien à faire*** pour le cas limite (je dis ça pour aider à l'explication potentielle du fait que l'auteur a oublié de préciser ce qu'il se passe quand pas de prédécesseur, rien de plus, ne perdez pas votre temps à me faire un cours de théorie de Galois si je suis HS, ce serait trop gentil, car ne suis pas dispo pour la "supporter")

*** les "embedding" qui bougent quelque chose (autre que l'identité) les bougent AVANT la limite.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
Christophe: oui mais malheureusement c'est pas continu pour les embedding justement
(ce que tu dis était initialement mon hypothèse mais un peu de réflexion montre que le côté gauche est beaucoup trop gros en général; en fait c'est "co-continu" si tu veux, donc ça va être de type "produit" alors que le côté droit est de type "somme"; à partir de là aucune chance que ça passe à la limite)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a sept semaines
Merci, je te crois sur parole!! winking smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a six semaines
avatar
Bonjour tout le monde

Je dépose ici un montage contenant notamment le lemme 13.14 et la définition 13.4. Il est possible de télécharger l'image et de la visionner en l'agrandissant.


Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a six semaines
avatar
Rebonjour

Comme le montre la reproduction ci-jointe, la cas fini a déjà fait l'objet d'un traitement par l'auteur, avant de traiter le cas général (où $[L:K]\geqslant\mbox{card}(\Bbb{N})$).


Re: Récurrence transfinie : aménagement licite ?
il y a six semaines
Thierry : surprenant, car le cas général est faux comme je l'ai indiqué plus haut

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
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