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Notation et existence implicite

Envoyé par clloud 
Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Bonjour,
Je suis depuis longtemps troublé par certaines formules. Par exemple :
$$
\forall a,b \in \R,\qquad \frac{a}{b}=0 \iff a= 0 \land b \neq 0.

$$ Ma question est la suivante, la notation $\displaystyle\frac{a}{b}$ contient-elle implicitement l'existence de ce nombre ?
Autrement dit, $\displaystyle \frac{a}{b}=0$ signifie-t-il : le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$ existe ET il vaut $0$ ?

(désolé pour les barres verticales intempestives, je ne parviens pas à les faire disparaître).

[Pour les barres verticales avec MacOS voir [www.les-mathematiques.net] AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: notation et existence implicite
il y a sept semaines
Malheureusement, la réponse est décevante: ça dépend. En maths on utilise des abréviations, et parfois on utilise une même abréviation pour deux choses qui ne sont pas équivalentes, mais ne sont équivalentes que quand elles sont "utilisées dans les contextes où on veut les utiliser de toute manière".

Ici, c'est le cas: lorsqu'on a une fonction $f$ où $f(x) = z$ est défini par une formule (ici $z=\frac{1}{x}$ est défini par $\varphi(x,z) := (xz =1)$), et une propriété $P$, $P(f(x))$ peut vouloir dire deux choses : ou bien "il existe $z$ tel que $z=f(x)$ et $P(z)$", ou bien "pour tout $z$ tel que $z=f(x), P(z)$".

Lorsque $f(x)$ est défini en $x$, et de manière unique (i.e. "il existe un unique $z$ tel que $\varphi(x,z)$"), les deux formules sont équivalentes et donc on n'a pas de problème pour écrire $P(f(x))$.

Par contre, lorsque $f$ n'est pas définie en $x$ (i.e. il n'y a pas de $z$ tel que $\varphi(x,z)$), les deux ne sont plus équivalentes, et donc la réponse à "est-ce que $P(f(x))$ ?" n'est plus claire : c'est exactement ta situation ici, tu demandes si "est-ce que, pour $b=0$, $\frac{a}{b} = 0$ ?". La réponse est "ça dépend de ce qu'on entend ici par cette abréviation".

C'est une des raisons pour lesquelles on essaie de faire gaffe quand on écrit $\frac{a}{b}$ grinning smiley C'est le danger des abréviations (ou du non typage)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Ces questions ne reçoivent jamais vraiment de réponse convenable.
Dans la théorie des ensembles de Bourbaki (*), il y a pour chaque énoncé $P$ sur les lettres $x_1,x_2,...,x_d,y$ un terme du langage $\tau_y P$ construit sur les lettres $x_1,...,x_d$ (**).
La signification intuitive de $\tau_y P$ est la suivante: il désigne un certain objet et si il y a au moins un objet $v$ pour lequel la propriété $P$ est vraie (c'est-à-dire tel que l'énoncé obtenu en remplaçant $y$ par $v$ dans $P$ est vraie en gros), alors $P$ est également vérifiée pour $\tau_y P$. Dans le cas contraire $\tau_y P$ est simplement n'importe quoi.

Revenons aux fractions.
Pour des nombres réels, $\frac a b$ désigne $\tau_x\left ( b\times x = a\right )$.
Avec la convention ci-dessus et lorsque $b$ est non nul, $\frac a b$ est donc un nombre réel $t$ tel que $bt=a$.
Un tel nombre est unique et le mécanisme de nommage $\tau$ permet de le désigner par une formule ($\tau_x\left ( b\times x = a\right )$)qui est ensuite abrégée par une autre ($\frac a b$).

Donc déjà, si $b$ est nul et $a$ non nul, on ne sait pas ce que $\frac a b$ désigne et s'il faut ce n'est même pas un nombre.
Pour $a=b=0$, avec la convention ci-dessus, $\frac a b$ va désigner un réel mais on ne sait pas lequel.

Tous les théorèmes mathématiques utiles permettant d'établir des égalités supposent que le dénominateur de la fraction est non nul, donc pour s'en servir il faut de toute façon vérifier la non nullité du truc avant. Donc il n'y a pas de problème.

Résumé: l'écriture $\frac a b$a un sens quel que soit $a,b$, c'est une construction syntaxique. Mais on ne sait ce qu'elle désigne (et on a des résultats exploitables sur elle) que lorsque $a,b$ désignent des nombres (ou plus généralement des éléments d'anneau) et où $b\neq 0$ (dans le cas réel; pour les cas plus généraux où il y a des anneaux, consulter un bouquin d'algèbre commutative), sinon on ne sait pas de quoi on parle.

(*) qui est une sous-théorie d'une extension conservative de ZFC+fondation. Ce fait est non trivial, le lecteur intéressé pourra consulter "Théorie des ensembles" de J.-L. Krivine, pp. 113 à 121. Sans opérateur de description, l'écriture de mathématiques dans le ZFC ensembliste est quasiment impossible. Faut-il faire remarquer que dans son activité, un mathématicien utilise des symboles de fonctions quasiment toutes les secondes.
(**) $y$ étant rabaissé au statut de "variable muette" c'est-à-dire d'auxiliaire, d'ailleurs dans certaines implémentations elle a carrément disparu physiquement du terme en question et seules les lettres $x_1,...,x_d$ sont signifiantes



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Moi je croyais (enfin Christophe m'a dit) que $a/b = \{x \ \vert \ xb = a\}$. Si $b=0$, c'est vide, et sinon c'est un singleton, et on admet l'usage qui consiste à confondre, de temps en temps, un singleton et sa réunion (son seul élément).
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
@George Abitbol c'est pareil si on assimile une propriété à un ensemble comme dans le paradigme christophien. Sauf que chez moi c'est propre cool smiley
Rappelons que CC milite pour que les gens abdiquent leur facultés intellectuelles et reconnaissent que tout est ensemble et que 0=1 est un théorème grinning smiley
Exposé sur le monde quantique dans 5...4...3...2...1...




Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Et puis il faut un mécanisme syntaxique de construction d'ensemble: $P\mapsto \{x|P(x)\}$ ou plutôt pour éviter les ennuis: $E,P \mapsto \{x|x\in E \wedge P(x)\}$. Je ne dis pas que c'est impossible de faire ça mais bonne chance pour le décrire proprement. Il y en a un dans les topos par exemple, et il y a des dizaines de pages à lire pour comprendre ce qui se passe.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
avatar
@Foys : bonjour. En vertu de C51 (E II.5), alors\[\left\{\begin{array}{c|c}x&x\in\mbox{E}\text{ et }P(x)\end{array}\right\}=\tau_y\left((\forall\,x)\left((x\in{}y)\Leftrightarrow\left(x\in\mbox{E}\text{ et }P(x)\right)\right)\right)\]Non ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Thierry Poma.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Oui Thierry, cependant si on n'a pas $\tau$, comment fait-on?
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
avatar
Certes, Foys, je comprends mieux à présent.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
@Cloud, je réponds à ton premier post. L'implication de droite à gauche ne te posant pas de problème, je regarde l'implication que la négation de droite vers la négation de gauche.

Elle dit (j'utilise $\to$ pour l'implication):

$$ (a\neq 0\to \frac{a}{b} \neq 0)\ et \ (b=0\to \frac{a}{b} \neq 0)$$

Qu'en penses-tu?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
@Foys, je n'ai pas vraiment compris ton échange avec TP.

Tu écris "il faut pouvoir écrire "le chat" ". A ça, on a envie de te répondre: "bin, le chat"

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
@christophe c
C'est plutôt: "il faut pouvoir écrire le chat dans le langage X", si on me répond "bin le chat en prose" je n'obtiens pas ce que je veux.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Salut Thierry,

A ce propos il faudra qu'un jour (quand tu auras le temps), tu m'expliques ce qu'il y a réellement derrière ce symbole $\tau$ de Bourbaki. (Je sais que tu es un peu spécialiste de la question).

Bonne soirée

Martial
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
@Foys: menfin, ce n'est rien d'autre que $\mapsto$^, non? On en a souvent parlé.
Au commencement de tout il y a l'égalité (comme si c'était en dur) de
$$
( u\in \{x\mid R(x)\} )= R(u) $$ ainsi que de $$ [(x\mapsto R(x))(t) ]= R(t)

$$

@Martial:
$(R(\varepsilon sR(s)) \to[\forall x: R(x)]$
$\forall x [R(x)\to (R(\tau yR(y)))]$
ou faut peut-être intervertir, je ne me rappelle pas. L'un choisit un élément $x$ tel que $R(x)$ si possible et l'autre tel que $non(R(x))$ si possible.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
@Martial: on peut rajouter un symbole de relation à 2 arguments $R$ au langage de la théorie des ensembles et rajouter à ZFC (compris avec l'axiome de fondation) les axiomes suivants:
1°) toutes les instances du schéma de substitution avec des formules écrites avec $R$ en plus des symboles usuels $\in,=$
2°) un énoncé qui dit intuitivement que $R$ est le graphe d'une bijection de l'univers dans les ordinaux i.e. $[\forall x\exists!y,On(y)\wedge R(x,y)]\wedge [\forall x, On(x)\Rightarrow \exists!y, R(y,x)]$.
On va appeler K cette nouvelle théorie.

Alors

(I) $\tau_xP$ est intuitivement $R^{-1}(u)$ où $u$ est le plus petit ordinal tel que $P[x:=R(u)]$ (ou bien $\emptyset$ s'il n'en existe aucun).
(II) K est une extension conservative de ZFC (ce qui est surprenant compte tenu de 1°; l'ajout de simples constantes de Henkin à une théorie comme ZFC ne permet pas de faire ça).
(II) est un résultat de forcing non trivial démontré par Krivine dans son livre.

Bon ça c'est juste une justification de pourquoi on peut faire ce qu'ils ont fait dans Bourbaki.

On a une théorie simplifiée écrite avec $\in,=,\neg,\to$ et $\tau$. Un théorème Bourbakiste est un axiome ou bien un énoncé de la forme $B$ avec un autre énoncé $A$ tel que $A$ et $A\rightarrow B$ sont des théorèmes.

Les axiomes sont (ce n'est pas la liste de leur bouquin mais elle est équivalente -edit: si on retire AF de la liste ci-dessous, cela dit je pense que c'est anecdotique-):
-les axiomes de ZFC (AC est superflu car découle des autres ici; de plus le schéma de substitution est étendu à tous les énoncés comportant $\tau$)
-tous les énoncés d'une des formes suivantes: $A\to B \to A$, $(A\to B \to C) \to (A\to B) \to A\to C$ et $(\neg A \to B) \to (\neg A \to \neg B) \to A$
-tous les énoncés de la forme $P[x:=t]\to P[x:=\tau_x P]$
-tous les énoncés de la forme $[\forall x(P\leftrightarrow Q)] \to (\tau_x P = \tau_x Q)$
-tous les énoncés de la forme $a=b \to P[x:=a]\to P[x:=b]$

$\exists y F$ abrège $F[y:=\tau_y F]$, $\forall z G$ abrège $\neg \exists z \neg G$, $A\wedge B$ abrège $\neg (A \to \neg B)$ et $A \vee B$ abrège $(\neg A) \to B$.

On peut montrer que toutes les règles d'inférence de la déduction naturelle s'appliquent.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Merci pour toute vos réponses ! Ce que j'en comprends est que mes questionnements ne sont pas triviaux smiling bouncing smiley

Après relecture je commence à saisir la première réponse de @Foys ; je pense investir dans le Krivine pour creuser.

@christophe c je suis navré je ne comprends pas.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Citation
christophe c
@Foys: menfin, ce n'est rien d'autre que $\mapsto$^, non? On en a souvent parlé.
Tu l'as souvent évoqué mais je ne vois pas comment construire cette (méta) application des termes du lambda calcul dans les "termes" (qui peuvent être quoi? Des formules? dans ZF il n'y a que des lettres comme termes) de ZF(C).
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Merci Foys pour ces explications.

Mais il y a toutefois un truc qui me chiffonne : dans ta théorie K il y a un axiome qui dit en substance que l'univers est en bijection avec les ordinaux (ce qu'on appelle aussi le principe du choix, ou l'axiome du choix global, que je noterai PC dans la suite).

Tu dis que K est une extension conservative de ZFC. OK. Mais il me semblait avoir compris que ZFC + PC a une consistency strength supérieure à celle de ZFC. Est-ce faux ?
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Bon, à y réfléchir ça doit effectivement être faux, puisque ZFC seule ne peut pas démontrer que $\mathbb{V} \neq \mathbb{L}$, donc $Con(ZFC) \vdash Con(ZFC + \mathbb{V} = \mathbb{L})$, et cette dernière théorie démontre PC.

C'est ça ?
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Oui; ce n'est pas Gödel qui avait obtenu la consistance relative de V=L par rapport à ZF et avec ce résultat, cons(ZFC+HC) à partir de cons(ZFC)? (édité)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
avatar
Bonjour

@Martial : je ne t'oublie pas, mais je pense que Foys sera en mesure de te donner des infos sur le $\tau$ de Bourbaki. Claude Chevalley s'est largement inspiré des travaux de David Hilbert, en prenant soin de nommer par le signe $\tau$ le signe (ou symbole) $\epsilon$ de Hilbert pour ne pas le confondre avec le signe $\in$.

@Foys : dans son article intitulé Continuum hypothesis (1940)*, Kurt Gödel construit un modèle $\Delta$ dans lequel il prouve que $V=L$. Bien entendu, il existe d'autres modèles dans lesquels l'on a $V\ne{}L$. Il s'agit d'un modèle propre à sa théorie des classes et ensembles.

Mise à jour du 19/03/21 à 13:26 : l'on pourra consulter ceci pour une construction de cette théorie à la sauce Bourbaki. Le point qui me pose problème est le concept de stratification.

Amicalement,

Titi


* Cf. par exemple le deuxième volume de ses Collected works, pages 33, 68 et 81.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Thierry Poma.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
[www.les-mathematiques.net]

Foys: je ne comprends pas ce que tu demandes (ou plutôt "veux") en fait.

Puisque tu connais, c'est juste la beta-reduction du lambda calcul. Ou (pour éviter les lettres (variables)) tu prends les combinateurs usuels (ou un jeu complet)

confused smiley

A moins que tu ne parles des axiomes, sinon, je ne vois pas.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Christophe c, le langage de la théorie des ensembles n'est pas le lambda-calcul. Le lambda-calcul, dès qu'il est envisagé comme langage logique, est contradictoire en environ 10 lignes suffisament comprises pour que quiconque puisse les appliquer ailleurs dès que possible (étant donné f soit g tel que pour tout x, gx=f(xx), regardons gg blablabla). Aucune des théories des ensembles (peu importe les liens de consistency strength ou conservativité qui existeraient entre elles) qui a survécu quelques années à sa conception (MK, ZF, NBG, Bourbaki, Tarski-Grothendieck, nouvelles fondations etc (***) ) n'a été établie prouvablement contradictoire. Donc ce ne sont pas les mêmes théories.

Si $E$ est un "système formel" (à définir), dans lequel on aurait une opération qui à un "terme" (à définir) $F(x)$ associerait un autre terme $\{x\mid F(x)\}$, il n'est pas évident de pouvoir construire une fonction (un programme informatique explicite et qui termine- sinon on ne peut même plus s'exprimer) $\theta$ de l'ensemble des lambda-termes dans $E$ tel que $\theta(\lambda x.s)=\{x\mid \theta(s)\}$, $\theta(pq)=q\in p$ et qui ne fasse pas n'importe quoi. En plus l'image de $\theta$ ne peut ête constituée uniquement d'ensembles et il n'y a pas de raison a priori non plus que tous les termes de $E$ qui sont des ensembles soient dans l'image de $\theta$. Et même quand $E$ et $\theta$ sont construits il n'y a aucune raison pour que la théorie de $E$ soit une extension conservative d'une des théories envisagées plus haut dans (***) puisque par exemple, dans une théorie dont 99% des gens se réclament (ZF et ses ajouts), il n'y a AUCUN outil linguistique (pas de construction de termes par compréhension de classes $\{\cdot \mid \cdot\}$, aucun symbole de fonction -des gens disent qu'on peut les ajouter à la volée mais leur argumentaire dit "sémantique" admet la théorie naïve des ensembles enrichie avec tout ce qui les arrange, AC etc-, mais exclusivement des lettres, connecteurs logiques et symboles $\in,=$).

Donc pour moi LC=ensembles c'est clairement non, sauf preuve et constructions explicites complètes.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
Foys, Christophe: vous avez la même discussion à chaque fois, et à chaque fois vous ne parlez pas de la même chose grinning smiley c'est un peu un dialogue de sourds. Je sais bien que Christophe n'est pas forcément super clair quand il parle de ce sujet (*), mais c'est évident, au moins après 3-4 répétitions (et il y en a eu plus) qu'il ne parle pas de la même chose.

(*): désolé Christophe winking smiley si ça te rassure je te comprends de plus en plus, j'ai le projet d'essayer de clarifier ce que tu dis un de ces jours pour que tout le monde puisse te comprendre et qu'on puisse enfin avoir des discussions où toutes les parties parlent de la même chose.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
De mon téléphone

@max : j'ai hâte de lire.

@foys: c'est bien ce qu'il me semblait. Tu parles d'axiomes et de théories, pas de construction linguistique.

Évidemment que le LC est "contradictoire en moins de 10lignes" et la TDE en autant voire mon ns de lignes.

Je ne t'ai jamais dit que la grammaire est consistante.

Par Godel elle ne peut d'ailleurs que l'être. Tu as une "surtheorie" contradictoire générée par la grammaire (dont on a un fine découvert qu'il y a qu'une seule opération humaine, à savoir la bêta réduction) et la grande chevauchée vaillante de ses sous théories pariées consistantes par les petits humains que nous sommes grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Notation et existence implicite
il y a sept semaines
@Foys, étant sur mon pc, je te donne quelques détails, puisque tu as exhibé une expertise en LC ça va être assez court. Je ne traite que la logique classique (enfin in some sense).

Comme tu sais tu as tout avec $W,K,C$ (je sais que tu préfères $S,K$ parfois, mais peu importe, je ne vais pas détailler et j'appelle $C$ le combinateur tel que $\forall u,v,t : Cuvt = v(ut)$

Par contre tu n'as ni l'égalité, ni le $\forall$, et, comme il est célèbre, l'un des deux amène l'autre, donc il suffit d'avoir disons $=$, que je vais noter $E$.

Reste à prendre la convention habituelle qui est que

$abc$ signifie $[if$ $a$ then $b$ else $c]$ quand $a$ est un booléen, faisant de $V:=K$ une représentation de vrai et de $F:=KJ$ une représentation de faux (tu peux prendre $J:=CKW$ ou l'éjouter, bref.

Ainsi, tu le sais, mais ça ne coute rien de l'écrire $Vxy=x$ et $Fxy=y$, on pourrait les appeler "gauche" et "droite" grinning smiley mais ce serait faire de la pub à la gauche, ce qui n'est pas mon intention.

Je sais que tu sais implémenter $\mapsto$, donc dans la suite je l'utilise.

1/ tu as le combinateur quelque soit comme suit: $(\forall r ) := [Er(KK)]$

(je te laisse calculer $r\mapsto Er(KK)$

2/ Quand tu veux parler de $\{x\mid R(x)\}$, bin c'est juste $x\mapsto R(x)$ en fait,

3/ La négation $non$ est le combinateur $x\mapsto xFV$ (littéralement $x\mapsto [$ if $x$ then $faux$ else $vrai]$

4/ Ton "malaise" si j'ose dire c'est qu'il existe (facilement) $a$ tel que $a=non(a)$. Mais tant que tu focaliseras sur ça, tu risques de gaspiller de l'énergie à mon sens. On ne sait pas si l'arithmétique, ni même des formes plus faibles est / sont consistante(s). Alors tu pense bien que ZF.

5/ Je rappelle que l''axiome du choix est un axiome de compréhension parmi d'autre MODULO l'extensionalité, mais tu peux l'ajouter en dure avec une nouvelle lettre $L$ et l'axiome

$$ \forall (x\mapsto [\forall (y\mapsto [ x(Lx) (xy) K ])]) $$

par exemple (j'ai utilisé l'implication $(x\to y):=xyK$).

Etc, etc...

6/ J'ai toujours dit, mais j'en profite pour le redire qu'il n'y a pas de théorème, il n'y a que des preuves au sens où les habitudes un peu "arriérées" et provenant de notre passé (et hélas présent) bigot nous ont un peu trop conditionné à des "théories" qui n'ont en fait aucune importance autre que de raccourcir les listes d'admis D'UNE PREUVE (mais une preuve dans ZF n'utilise jamais une grande puissance de ZF par exemple)

Les contradictions connues donnent la taille des objets qui sont aussi gros que la logique est infaillible (aurtement dit donnent la taille de $\frac{1}{0}$)

Ainsi en va-t-il de $ON$ ou de $\{x\mid x\notin x\}$. Ca n'a rien de bien transcendantal, c'est juste une réécriture de

$$ \frac{1}{0} \times 0 = 1$$

mais c'est probablement intéressant pour un futur scientifique débarrassé de ses TOCS au sens où l'étude de "ces combats de titans" pourrait en être facilitée, même on ne voit pas bien ce qu'étudier la puissance de Dieu peut a priori apporter à un progrès des ingénieurs dans les usines de voitures et d'avions.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par christophe c.
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