Comment traduit-on "vacuously true" ?
Bonjour,
Tout est dans le titre ;-)
Dans la littérature anglaise, on voit parfois les termes "vacuously true", ou "vacuous truth". Je n'ai pas vraiment connaissance d'un équivalent français élégant (d'ailleurs, la page wikipedia n'a pas de traduction française).
Les traductions immédiates seraient "vérité vide" et "vacueusement vrai" : sont-ce des termes d'usage courant en français ? Une rapide recherche oueb tend à m'indiquer que non...
Merci !
Tout est dans le titre ;-)
Dans la littérature anglaise, on voit parfois les termes "vacuously true", ou "vacuous truth". Je n'ai pas vraiment connaissance d'un équivalent français élégant (d'ailleurs, la page wikipedia n'a pas de traduction française).
Les traductions immédiates seraient "vérité vide" et "vacueusement vrai" : sont-ce des termes d'usage courant en français ? Une rapide recherche oueb tend à m'indiquer que non...
Merci !
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Réponses
@Foys : exactement, oui ! Et je pense que l'absence d'un terme français bien précis et reconnu est justement un obstacle à la compréhension du truc. J'ai parcouru plusieurs manuels anglophones de première année où ce terme était introduit (parfois de façon extrêmement détaillée, en l'expliquant sur une page entière) dès l'explication de ce qu'est une implication. Je n'en ai jamais lu un équivalent français en revanche.
Ça a aussi des conséquences pratiques importantes. Les anglophones (y compris jeunes étudiants, me semble-t-il) évacuent immédiatement en un "this is vacuously true" le fait que $f : \emptyset \rightarrow X$ soit injective. Sous nos latitudes, ça me semble moins directement évident d'évacuer ça en 4 mots, voire même d'avoir les mots pour le comprendre. C'est une lacune qui m'étonne dans les outils terminologiques francophones. :-)
J'ai eu jadis un prof qui disait souvent "Ceci est un truisme d'une trivialité évidente".
Cordialement,
Rescassol
"$\forall x P$" abrège "$\neg \exists x \neg P$".
"$A\rightarrow B$" abrège $\neg (A\wedge \neg $.
Si on sait que $\neg \exists x A$, faut-il s'émouvoir de ce que $\neg \exists x \neg \neg \left ( A \wedge \neg B\right )$ ?
Si nous étions dotés de pouvoirs surhumains, tous les théorèmes nous apparaitraient comme trivialement évidents, donc vides, en effet
(Ceci évoque aussi pour moi les grands maîtres aux échecs, qui en regardant une position voient des choses que personne d’autre qu’eux ne voit ...)
Dans le même exposé (passionnant) il note que non seulement Grothendieck est dans le camp platonicien, mais en plus pense que les objets mathématiques nous parlent (nous chuchottent, plus exactement, et ce, à voix d’autant plus basse que les révélations qu’ils veulent nous faire sont importantes !)
Par ailleurs je suis assez d'accord avec Grothendieck dans ton dernier paragraphe. Le seul problème c'est que de mon côté je suis un peu "dur de la feuille". Et apparemment ce n'est pas dû qu'à l'âge...
Soit $P$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\multimap: P\times P \to P$. On utilisera la convention d'élimination des parenthèses suivante (la loi n'étant jamais associative dans les cas où ce qui va suivre s'applique: la situation où $P$ est l'ensemble des énoncés logiques dans un formalisme quelconque et $\mathcal T(A)$ l'ensemble des "théorèmes" déductibles d'un ensemble "d'axiomes" $A$): $a\multimap b \multimap c$ désigne $a \multimap (b\multimap c)$ pour tous $a,b,c\in P$. Si $H$ est une partie de $P$, notons $\mathcal T(H)$ le plus petit sous-ensemble (intersection) de $P$ contenant $H$ et tel que pour tous $x,y$, si $x$ et $x\multimap y$ sont dans $\mathcal T(H)$ alors $y$ l'est aussi.
On note $I:=\{x \multimap x \mid x\in P\}$.
On note $G:= \{(b \multimap c \multimap d) \multimap (a \multimap c) \multimap a \multimap b \multimap d\mid (a,b,c,d) \in P^4\}$.
Si $J$ est une partie de $P$, On note $\mathcal C(J)$ la plus petite partie de $P$ contenant $G$ et telle que pour tous $x,y\in P$, si $x \multimap y \in C(J)$ et si $x \in J$ alors $y\in \mathcal C (J)$ (bien remarquer la différence avec la définition de $\mathcal T$).
Le résultat est alors le suivant:
Pour tout $A\subseteq P$, si $G \cup I \subseteq A$ alors $\mathcal T(A)=\mathcal C(A)$.
La preuve est algorithmique (l'appartenance d'un élément de $P$ aux ensembles en question équivaut à l'existence respectivement d'un certain arbre et d'une certaine liste et on construit à partir du premier la seconde; la complexité étant catastrophique puisque la taille de cette liste peut dépasser celle du nombre d'atomes dans l'univers si mes impressions ont été bonnes).
La notion de vérité selon Grothendieck - L. Lafforgue
(Séminaire ENS "lectures Grothendieckiennes)
(c'est long, mais ça vaut le coup, et LL explique que, contrairement à ce qu'il pensait en commençant à étudier le sujet, AG n'est pas un bon exemple d'utilisation de l'approche axiomatique "à la Hilbert", question qui devrait intéresser les habitués de ce forum)
C'est une blague??????
Pas démontré d'accord, mais pas énoncé formellement, là, tu exagères. Je te redonne la verion formelle qui m'est la plua rapide à écrire:
$P$ est un théorème ssi il existe une suite finie $A,B_1,B_2..,B_n$ telle que (1) et (2), avec :
1/ $A = (B_1\to (B_2\to (...\to (B_n\to P)...))$
2/ $A$ et les $B_i$ sont tous des axiomes (ceux que tu veux, selon la théorie où tu travailles, du moment qu'ils contiennent ci dessous)
[size=x-small]$(A\to \to ((X\to A)\to (X\to )$
$(A\to \to ((B\to X)\to (A\to X))$
$(A\to (B\to C))\to (A\to (B\to C))$
$A\to A$
$(\forall (A\to )\to ((\forall A)\to (\forall )$
$(\forall (A\to )\to (A\to (\forall )$, pour $A$ constant[/size]
Le vacuously true anglais se traduit en français par vrai par vacuité.
Et a vacuous truth par une vérité par vacuité.
Wikipedia français n’a pas l’article mathématique correspondant mais la page est à compléter (pour ceux que ça intéresse).
Je me demande quelles applications a un tel résultat.
Pour avoir PAS MAL traîné mes guêtres sur les bancs de l'école en France métropolitaine, j'estime à 0 le nombre de fois où j'ai entendu cette expression : "vrai par vacuité".
Peut-être qu'il faut chercher plus idiomatique ?
J'ai proposé plus haut l'expression "l'affirmation est sans objet" ou "sans contenu".
J'aime d'autant mieux que la véracité est laissée à la sagacité du lecteur.
Et puis, en plus, tout le monde sait ce qu'est "l'objet" (comme pour un e-mail) ou "le contenu", alors que "la vacuité", je pense que plein de gens ne savent pas ce que le mot recouvre !
Classiquement, s'il existe $x$ tel que $x\in \emptyset$ et tel que $P(x)$ est fausse, il existe en particulier $x$ tel que $x\in \emptyset$ ce qui est faux. Donc il n'existe aucun $x$ tel que $x\in \emptyset$ et $P(x)$ est fausse. Donc pour tout $x$, on n'a pas ($x \in \emptyset$ et $P(x)$ fausse). Donc pour tout $x$, $x$ entraîne $P(x)$ (puisque "A entraîne B" signifie littéralement "il est faux que A est vraie et B est fausse").
En mathématiques intuitionnistes la situation est un peu différente puisqu'il n'y a plus de négation au sens où on l'entend habituellement mais un énoncé spécial noté "$\perp$" qui signifie intuitivement "tout est vrai" ($\neg A$ abrège alors $A\Rightarrow \perp$). Dans ce cadre l'ensemble vide est l'ensemble des $x$ tels que tout est vrai.
Donc si $x\in \emptyset$, tout est vrai donc a fortiori, $P(x)$ est vraie ...
C'est à dire "vraies sans avoir à tenir compte des sens des mots non grammaticaux".
C'est à dire les théorèmes de maths (expression utilisée surtout pour ceux ne posant pas de souci de preuves).
> Le vacuously true anglais se traduit en français par vrai par vacuité.
> Et a vacuous truth par une vérité par vacuité.
Merci beaucoup Yves, ça fait sens en effet. Je n'ai jamais entendu cette expression non plus, mais je la trouve efficace et élégante.
(Par ailleurs, pour vos autres propositions sur ce fil : "affirmation sans objet" ou "sans contenu" ne me semble pas suffisamment insister sur le fait qu'une vacuous truth est vraie ; et "truisme" me semble être quelque chose de conceptuellement totalement différent. En particulier, comme le dit umrk, le truisme est "tellement évident qu'il n'apporte rien", alors qu'une vacuous truth peut être un résultat très utile, voire fondamental, au cours d'une démonstration. Et n'être pas si intuitivement évident que cela --- j'en reviens à l'injectivité de $f : \emptyset \rightarrow X$, qui peut laisser perplexe un certain nombre d'étudiants la première fois qu'ils l'entendent.)
Pour clarifier si besoin : vrai "par vacuité" est LA traduction et non pas une suggestion/ idée/ proposition à débattre. Je n'invente rien ; comment pourrais-je ?
Je ne l'ai jamais utilisée, mais de même pour "vacuous truth" que je n'ai jamais lue.
Il serait bon de lire des articles mathématiques canadiens qui, en général, traduisent en français le résumé anglais.
Mais je ne lis que des articles de physique...
Attention Christophe, je pense que tu commets l'erreur de croire (prétendre ? :-D ) que l'expression "vacuous truth" a un sens précis (et donc ne peut vouloir dire que "théorème des maths" - sur ce point je suis à peu près d'accord), ce qui n'est pas nécessairement vrai - en l'occurrence, ce n'est pas comme ça qu'elle est utilisée. Tous les mots n'ont pas à avoir un sens précis, tant qu'on ne les utilise pas dans des preuves ("C'est une vacuous truth, donc ..." :-D :-D )
Si, comme Dieu devant un théorème, il nous suffisait de VOIR au lieu de raisonner, tous les théorèmes, y compris les plus difficiles, apparaitraient comme des tautologies.
(et les Maths toutes entières, par conséquence !)
Mais peut-être s'agit-il là du stade ultime de la méthode de AG, qui, cela a été remarqué (pas par moi ...), avait tendance à remplacer les démonstrations par des définitions. Si tout est contenu dans des définitions, il n'y a plus rien à démontrer, tout est affaire de tautologie !
(Par ailleurs, "LA traduction" selon qui, quelle référence ? Ce n'est pas du tout par plaisir de taquiner, c'est vraiment pour savoir. Ça me semble étonnant que si ce terme est vraiment "le" bon, il ne soit pour ainsi dire connu et utilisé de personne en France, alors que les anglophones l'utilisent souvent.)
Pas sûr de te suivre :-) Cette expression a un sens très précis, et on l'utilise bien dans des preuves. J'insiste, mais j'ai sous les yeux plusieurs manuels d'analyse anglophones qui l'utilisent régulièrement pour prouver des résultats (e.g., à l'étape d'initialisation de raisonnements par récurrence, ou en théorie des ensembles lorsqu'on traite le cas de l'ensemble vide), donc c'est loin d'être anodin ou d'être une simple pirouette rhétorique.
J'ai donné plus haut le cas d'une fonction $f : \emptyset \rightarrow X$ injective, mais j'ai aussi sous la main ceci : Rien que dans le même bouquin, via une rapide recherche dans le pdf, je trouve 24 (!) occurrences de cette même expression, vacuously true ou vacuous truth. Je trouvais amusant qu'on en ait des dizaines d'occurrences par bouquin en anglais, et 0 dans toute la littérature mathématique francophone dont j'ai pu avoir connaissance. D'où mon sujet ici. ;-)
A tel point que les nombres complexes sont maintenant rejetés en maths expertes, une excellente option cependant que je conseille fortement à quiconque veut se lancer dans des maths sérieuses après le bac.
Au même titre que si dans une preuve les mots "c'est évident" apparaissent, tu ne vas pas en déduire que la notion d'évidence est une notion.précise
(Christophe a bien une définition de quelque chose qu'il appelle "évidence" mais ce n'est pas pour autant que cette définition reflète l'usage effectif du terme)
Avec la dite « écriture-inclusive » n'importe quel bas-de-plafond peut se forger ses règles et écrire n'importe comment, parce que ça fait bien.
Milamber, dans ton dernier extrait, quel sens donnes tu à la fin "but still true" ?
Pourquoi vouloir rappeler, au bout de trois mots, ce qui vient d'être écrit ?
À bientôt.
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Mais attention j'appelle conjonction aussi les énoncés de la forme
"Si (si A alors si B alors si C ...alors Z) alors Z.
(attention, je ne critique ni ta définition, ni ton théorème - je dis juste que ta définition ne colle pas précisément à l'usage pratique du terme; comme pour "vérité vide" puisque ce dernier ne désigne pas en pratique tous les théorèmes, alors que ce serait le cas s'il avait une définition précise, comme tu l'as justifié)
Une évidence, ça touche davantage à l’humanité et aux sentiments qu’aux mathématiques.
Pourquoi ne pas dire « conjonction d’axiomes » au lieu de tordre le dictionnaire ?
"[A] vacuous truth" constitue une vérité vide de sens. Ainsi dit-on d'une assertion qu'elle est trivialement ou videment vraie. Tout a été dit.
Cordialement,
Thierry
Rien n'est parfait dans ce que j'ai dit "évidemment", la perfection étant...
Max, oui je l'avais déjà précisé (mais normal de lire en diagonale je le fais moi même)
Pour tous les non informés TOUTES les maths sont PAR DÉFINITION la liste des vérités grammaticales (vides, comme par exemple a=a).
Cela produit du fait que tout contenu est automatiquement une faille et donc non irréfutablement prouvable.
Dans la langue courante par contre on réserve souvent ce mot (tautologique (c'est la traduction du mot demandé au premier post)) pour des vérités dont la vacuité SE VOIT EN PLUS TOUT DE SUITE.
MAIS je ne voulais pas trop insister sur ce dernier point pour ne pas faire d'ombre au précédent of course.
Certes, mais il est même incertain que videment soit encore en usage dans le français moderne (en tant qu'adverbe en tout cas). C'était notamment ça qui rendait la traduction compliquée : on n'a même pas, en français, un adverbe équivalent à celui utilisé en anglais. Mais là, on entre dans un champ où j'ai encore moins de compétences qu'en mathématiques, donc je me plante peut-être. :-D
La discussion a en tout cas soulevé plus de passion que ce à quoi je m'attendais !
C'est bien ça ?
(le monde se remplit de vide, tout d'un coup ...)
> Elle n'a pas de sens précis parce qu'elle abrège des théorèmes différents
> ($f:\emptyset \to X$ injective n'a pas la même forme que $\forall x\in\emptyset, x = \R$).
Ben si, justement. Ces deux énoncés sont de la forme $\forall x\;(x\in \emptyset \implies A)$ ( le $A$ dans le premier cas est $\forall y\; ((y\in \emptyset \wedge f(x)=f(y)) \implies x=y)$ ). Il semble bien que c'est cette forme précise d'énoncé que les anglo-saxons appellent "vacuously true".
Cependant (je me dépêche, mais suis sur PC, donc peux détailler un peu) :
1/ Tu as 3 phénomènes, très précis. (Je vais être affirmatif sans rien justifier. Je décris).
2/ Phénomène1: déplacement de lettres ou symboles. Ca, disons que c'est la vacuité pure (l'ordre dans lequel on fait des hypothèses ne compte pas parce que c'est juste dû à nos contraintes scripturales)
3/ Phénomène2: Jetage à la poubelle de choses. C'est encore une forme de vacuité très forte, qui veut qu'on peut ne pas utiliser toutes les hypothèses.
4/ Phénomène4 (qui lui est littéralement explosif) : duplication. On te donne un truc, et on te dit que tu peux le dupliquer autant que tu veux pour réussir une construction.
5/ Je passe sur le RPA qui n'est pas très important ici.
6/ Avec P1, P2, disons que tu as la vraie vacuité pure et dure, puisque "tu ne fais rien" pour déduire la conclusion des hypothèses, si ce n'est faire des passages au cas particuliers (qui peut le plus peut le moins). Il existe cependant des situations où le droit de jeter n'est tout de même pas si anodin, mais peu importe.
Par contre, je peux te dire que le droit de dupliquer est assez violent. Pas tant sur la logique propositionnelle que quand tu as des $\forall xR(x)$ écrits une fois et utilisés 13265456 fois (ce n'est pas tant $(\forall R(x))+(\forall x R(x))+(\forall xR(x))+(\forall x R(x))....$ qui est en soit important que le fait que ça te donne $R(51) + R(14) + R(235468) + ..$)
7/ Ton slogan est donc correct, mais en ayant en tête ces strates. Le théorème que j'ai rappelé (pour tout théorème $P$, il existe $E$ qui est évident avec $P$ qui est un cas particulier de $E$), fait tout de même que ton géant qui voit tout, partant de $P$ doit examiner toutes les généralisations de $P$ possibles, pour vérifier que $P$ n'est pas un cas particulier d'un "si A alors A", avec une phrase A très longue.
8/ Pour finir, ce qui est important, en termes "pédagogiques" (enfin un peu plus sérieux que ça), c'est que les maths NE TRAITENT QUE DE FORMES. Le sens des mots n'importe pas, et donc oui, on peut dire que si leur sens "font du bien à l'oreille", les preuves attendues n'en dépendent pas. Ce qui va dépendre de leur sens, c'est le petit truc qui va s'appeler "remarque" ou "commentaire" du livre, du prof, etc, qui expliquera pourquoi il n'a pas rappelé telle hypothèse dans son énoncé final (considérant que tout le monde sait qu'elle est faite), ou au contraire, pourquoi il insiste sur telle hypothèse qui parait évidente.
9/ Je te laisse avec un exemple bateau: la phrase
est vide, mais exprime que de A=>B et A, on déduit B. Les deux hypothèses peuvent être interverties ce qui donne :
que nettement moins de gens trouvent comme sautant aux yeux. Le profil mathématique de cette forme est d'ailleurs d'une immense importance puisqu'il envoie naturellement $A$ dans $B^{B^A}$, via
$$x\mapsto (f\mapsto f(x)) $$
Autrement dit, la fameuse "vacuité" est une garantie d'infaillibilité, mais on se retrouve vite avec des choses vides qui nous disent subjectivement quelque chose.
C'est ça la science (le fait qu'elle ne contienne que du déductif (et pour les sciences non maths que le non déductif soit tout entier rejeté dans la liste des hypothèses, froidement et sans appel possible)).
je pensais en fait à $\forall x \forall y (x\in \emptyset \to y\in \emptyset \to f(x)=f(y) \to x=y)$ pour " $f:\emptyset \to X$ injective" (conforme à ce qui se passe quand on veut prouver une injectivité, on dit des choses telles que "soient $x$ et $y$ tels que", visant à introduire deux fois un $\forall$ )mais c'est vrai qu'il y a plusieurs manières de l'écrire.
[size=x-small]Gare aux cheveux coupés en mille.[/size]
Je pense par exemple à l'exo: lorsque $(X,\tau)$ est un espace topologique et $\mathcal F$ est un faisceau sur $(X,\tau)$, combien $\mathcal F(\emptyset)$ a-t-il d'éléments?
Un tel énoncé est trivialement vrai (bien que pas mal de gens aient du mal à l'avaler !), mais tout énoncé trivialement vrai n'est pas de ce type.
Soit une chambre vide ( ne contient rien)
Parmi les phrases suivantes , lesquelles sont vacuously true
1-«Tous les téléphones portables de la pièce fonctionnent»
2-«Tous les téléphones portables de la pièce ne fonctionnent pas »
3-«aucun téléphone portable de la pièce ne fonctionne»
La 3 non