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Comment traduit-on "vacuously true" ?

Envoyé par Milamber 
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
La 1 et 2 oui.
La 3 non

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
Citation
GABuZoMeu
Un tel énoncé est trivialement vrai (bien que pas mal de gens aient du mal à l'avaler !), mais tout énoncé trivialement vrai n'est pas de ce type.
L'absence radicale de documentation accessible des règles de base de l'expression des mathématiques peut-être la cause de ce problème (il est attendu généralement des gens qu'ils comprennent par eux-mêmes la liaison des variables -entre autres- au cours de leur formation et du coup pour beaucoup, $x$ désigne quelque chose dans un énoncé comme "$\forall x:V, P$" où $V$ est un type vide).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Foys.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
Gebrane, pourquoi la 3 non ???
Il y a bien une quantification universelle portant sur l'ensemble vide.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
Quand j'ai dit non, je n'ai pas dit non dans le sens propre du terme car j'ai répondu à ta question : "La réponse est claire, non ?"
J'ai répondu pour la 1 et 2 oui dans le sens c'est clair
pour la 3 j'ai dit non dans ce le sens ce n’était pas clair.
Maintenant c'est devenu clair, j'ai saisi la signification de aucun.
J'en ai une autre pas très claire.
4-«il existe aucun téléphone portable de la pièce qui fonctionne».

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
Tu fais une faute : tu devrais écrire "Il N'existe aucun ... ", négation d'une quantification existentielle sur l'ensemble vide, kif kif quantification universelle sur l'ensemble vide ($\neg \exists x\;(x\in \emptyset \wedge A)$ équivaut logiquement à $\forall x\, (x\in \emptyset \implies \neg A)$).
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
''Tu fais une faute'' Mh je vois ! c'est pour ça

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
xax
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
@Foys " L'absence radicale de documentation accessible des règles de base de l'expression des mathématiques" dans les anciens manuels on en parle quand même un peu - je pense par exemple aux Aleph, mais on ne peut pas dire que la démarche soit d'une clarté extraordinnaire. Mais de nos jours il n'y a pas besoin d'aller bien loin pour voir apparaître des difficultés, dans $A \implies B$ par exemple je ne vois pas comment un élève puisse dire autre chose que il faut que A soit vrai pour que B le soit, le donc intuitif.
GG
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
... dans $A \implies B$ par exemple je ne vois pas comment un élève puisse dire autre chose que il faut que A soit vrai pour que B le soit, le donc intuitif.

Il vaudrait mieux pourtant ! smiling smiley

(sachant que $A \implies B$, c'est "il suffit que A soit vrai pour que B le soit",
alors que "il faut que A soit vrai pour que B le soit", c'est $B \implies A$.)
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
"A => B" n'est rien d'autre que "non(A et non B)" en logique classique.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
De mon téléphone : GBZM dont quelques uns connaissent l'identité a lu énormément de littérature anglaise, je pense que ce est pas à la légère s'il dit que ça veut dire phrase commençant par "tout élément de ensemble vide est.."

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
Voici un exemple rédigé par George Tourlakis, où l'on s'attardera sur la démo du point 2 :


Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
L'énoncé qualifié de "vacuously true" dans le scan est bien de la forme $\forall \beta\;(\beta \in\emptyset \implies A)$.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
Voici un autre exemple de texte rédigé par David Bostock (lire à partir de 'Assume, for reductio, (...)') :



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Thierry Poma.


Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
Thierry Poma, quel est ce dernier texte que tu as scanné ?
Il me semble bien que l'auteur se prend les pieds dans le tapis avec l'histoire des domaines vides. Enfin, ça dévie un petit peu du sujet du fil.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
Ce n'est peut-être qu'une impression de ma part mais la majorité des logiciens n'utilisent pas les contextes et donc font comme si la sémantique de la logique classique du premier ordre n'est constituée que de modèles non vides. Cf "$(\forall x P) \Rightarrow (\exists x P)$" (qui est bien conséquence du calcul des séquents tel qu'il est présenté dans la plupart des manuels).
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
@GaBuZoMeu : je te dépose le contexte immédiat (montage), extrait du livre Intermediate logic de David Bostock :


Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
@GaBuZoMeu : et voici une partie du chapitre 3 où l'on s'attardera sur la définition (10) de l'auteur :


Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
@foys, des souvenirs (qui datent période 95-2000) que j'ai je confirme avoir ressenti ça, pour être d'ailleurs précis:

$\forall xR(x)$
donc
$R(y)$
donc
$\exists z R(z)$


étant l'enchainement d'inférences.

Bon cela dit, ça ne change rien, puisque la contextualisation est obtenue avec $(\forall x: \ [x\in A\to blabla])$, d'éventuelles "politisations" relevant d'hyper-spécialistes (mais je ne sais pas si la politisation va jusque là, j'ai déjà lu des diatribes colériques d'auteurs n'aimant pas

$$ [\forall x\in A: B]:=[\forall x: \ ([x\in A]\to B)]$$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
Citation
christophe c
d'éventuelles "politisations" relevant d'hyper-spécialistes (mais je ne sais pas si la politisation va jusque là, j'ai déjà lu des diatribes colériques d'auteurs n'aimant pas
Les calculs des séquents sans et avec contexte sont équivalents pour des théories affirmant l'existence de quelque chose, ou dont le contexte est non vide. Aurtrement dit il n'y a de différence que pour des situations qui n'intéressent que certains puristes. Par contre lorsqu'on est en logique d'ordre supérieur on n'a pas de garantie que les types employés sont tous non vides et les contextes deviennent pertinents.

D'autre part il y a des arguments en faveur des deux approches je dirais.

Contextes:
1°) En fait c'est comme ça que les mathématiciens s'expriment: l'incantation "soient $x$ tel que $P$, $f$ telle que $Q$ et $E$ telle que $R$" signifie qu'on travaille dans le contexte $(x,f,E)$ sous les hypothèses $P,Q,R$.
2°) Les définitions de certains objets syntaxiques sont en fait simplifiées. Par exemple étant donné un contexte (en l'espèce une liste finie de lettres deux à deux distinctes) $\mathcal C$ une formule du 1er ordre sur le langage $\{\in\}$ et sur le contexte $\mathcal C$ est
-$x\in y$ où $x,y\in \mathcal C$
-$\neg P$ où $P$ est une formule du contexte $\mathcal C$
-$A \wedge B$ où $A$ et $B$ sont des formules du contexte $\mathcal C$
-$\exists z F$ où $z$ est une lettre ne figurant pas dans $\mathcal C$ et $F$ est une formule du contexte obtenu en ajoutant $z$ à $\mathcal C$

Les variables liées d'une formule $G$ du contexte $\mathcal D$ sont alors les lettres figurant dans $G$ mais non dans $\mathcal D$

3°) pour certaines sémantiques (relevant à nouveau de la logique d'ordre supérieure, catégories cartésiennes fermées etc) les contextes s'imposent naturellement, comme dans mon premier paragraphe.

Pas de contexte:
1°) définition des preuves plus simple.
2°) par exemple si $\theta$ est une lettre ne figurant pas dans les variables libres d'un ensemble d'énoncés $\Gamma$ et $P$ est un énoncé quelconque, $\Gamma \cup (\exists x P \Rightarrow P[x:=\theta])$ est une extension conservative de $\Gamma$. Ceci est faux en théorie de la démonstration avec contexte (sauf quand le contexte de base est non vide)
3°) un raffinement (edit: plutôt une réciproque un peu élaborée devrais-je dire, l'un n'entraîne pas l'autre) de 2°) est le résultat suivant (on l'énonce avec les connecteurs $\exists,\wedge,\neg$ pour faire vite mais l'adaptation à tout jeu complet de connecteurs est évidente): si $\Gamma$ est un ensemble fini d'énoncés, appelons suite régulière pour $\Gamma$ une suite finie $R_1,...,R_k$ d'énoncés tels que pour tout $i$, $R_i$ est de la forme $F[x:=t] \Rightarrow \exists x F$ ($t$ étant un terme du langage) ou bien de la forme $\exists y G \Rightarrow G[y:=\theta]$ avec $\theta$ non libre dans $\Gamma \cup \{R_1,R_2,...,R_{i-1}\}$; on dira plus bas que $\theta$ est une "lettre critique" de la suite $R$.
Le résultat en question est alors le suivant:
soit $\Gamma \vdash \Delta$ un séquent prouvable en calcul des séquents classique sans coupure et sans contexte. Il existe une suite $R$ régulière pour $\Gamma \cup \Delta$ telle que:
(i) $R \cup \Gamma \vdash \Delta$ est prouvable sans coupure et sans recours aux règles relatives aux quantificateurs (i.e. en pur calcul propositionnel)
(ii) si $F[x:=t] \Rightarrow \exists x F$ (resp. $\exists y G \Rightarrow G[y:=\theta]$ ) est l'une des formules de $R$, $\exists x F$ (resp. $\exists y G$) est une sous formule de $\Gamma \cup \Delta$ qui a une polarité inverse à la sienne dans le séquent.

La preuve est en fait facile (je pense que l'énoncé guide le lecteur sur ce qu'il faut faire): on prend une preuve sans coupure de $\Gamma \vdash \Delta$ et on transforme chaque introduction de quantificateur de sorte à faire apparaître l'élément de $R$ correspondant (quand deux sous-séquents sont mis à contribution dans l'introduction à droite de $\wedge$, on fusionne les suites régulières en remplaçant les lettres critiques pour avoir une liste régulière, il suffit de prouver que ce remplacement est faisable).
A nouveau ce résultat est faux pour des contextes vides.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Foys.
xax
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
@Foys oui c'est ça dont je parlais [www.les-mathematiques.net] donc en fait on avait la "table de vérité" :
A B A=>B
v v   v
v f   f
f v   v
f f   v
Le premier cas étant le "donc", le 2 "évident",le 4e ne me parait pas d'une grande utilité, par contre le 3 n'est pas super intuitif et c'est peut-être une source de difficulté, c'est le "vacuously true" ?

Tu poses le problème de l'enseignement initial de ces choses là qui n'existe plus. Dans un autre fil j'ai l'impression que Clément, qui cherche à promouvoir un test, s'est heurté lors des versions préliminaires, même chez de très bon élèves, à un incapacité à suivre des raisonnements logiques un peu plus finauds que d'habitude.
J'ai vaguement vu sur sa vidéo de présentation qu'il s'agissait de limites de suites, donc sans doute de jouer sur la gestion des quantificateurs vis à vis des limites.

edit : merci AD, gerard0 !



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par xax.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
Ne pas confondre finauds avec finaux !
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
@Foys : je ne vois pas pourquoi la définition des preuves serait plus simple quand il n'y a pas de contexte. La présence de contexte ne me semble pas alourdir les règles de déduction du calcul des séquents. Par exemple


Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
@GaBuZoMeu: on peut mettre sous forme prénexe une formule en calcul des prédicats avec contexte?

-sans contexte, l'équivalence entre $\neg \left ( (\forall x A) \wedge B\right )$ et $\exists x \neg (A \wedge B)$ est prouvable lorsque $x$ n'est pas libre dans $A$
-dans tous les modèles vides, quand $x$ n'est pas libre dans $C$, $\neg \left ( (\forall x A) \wedge \exists y C\right )$ est vraie et $\exists x \neg (A \wedge \exists y C)$ est fausse!

Quel est le statut de $\neg (\exists z(z=z)) \wedge \neg \left ( (\forall x A) \wedge \exists y C\right ) \wedge \neg \exists x \neg (A \wedge \exists y C)$ dans une théorie égalitaire?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Foys.
xax
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
avatar
@Foys on voit fleurir les "calculus" à destination des futurs taupins, je pense que tu devrais sérieusement songer à écrire un "logicus", d'un part parce que tu es compétent et que tu as bien identifié la carence, et d'autre part tu es capable d'une grande générosité explicative, pas si courante que ça chez un mathématicien professionnel.
J'ai souvenir que tu peux expliquer la même chose sur deux niveaux (~lycée et supérieur) de façon très valable.
Re: Comment traduit-on "vacuously true" ?
il y a quatre semaines
@Foys : tout séquent démontrable sans contexte l'est aussi avec contexte, pourvu que ce contexte soit suffisamment grand. Ça met un peu de complexité dans le binz, mais c'est la vie !

Par exemple, si $B$ a ses variables libres dans $V$ (disons qu'il s'agit de variables d'autres types que le type de $x$), alors on démontre $(\forall x\;A(x))\wedge B \vdash \forall x\;(A(x) \wedge B)$ dans le contexte $V$ tandis qu'on démontre $\forall x\;(A(x) \wedge B) \vdash (\forall x\;A(x))\wedge B$ dans le contexte $V,x$, mais pas dans le contexte $V$.
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