Hommage analytique à Hermann Schwarz (1843-1921), janvier 2007
Bonjour,
Ne disposant pas actuellement d'une connexion internet viable, Norbert Verdier m'a demandé de recopier ce message, et ce, dans la cadre de sa grande saga {\bf Hommage à...} :
Bonjour à tous et bonne année à vous et à vos proches,
Hermann Schwarz est né en Pologne – il y a 164 ans - le 25 janvier 1843 à Hermsdorf en Silésie (actuellement en Pologne). Etudes à Berlin. Elève de Kümmer (dont il épousera la fille) et de Weiestrass. Enseigne à Zürich et Göttingen avant de remplacer son maître Weierstrass à Berlin. Il est passé à la postérité grâce à son lemme assurant la permutation des dérivées partielles " sous les bonnes conditions ". Décède le 30 novembre 1921 à .. Berlin.
L’hommage : Etudier la continuité en $(0,0)$ des fonctions $f$ et $g$ définies par :
$$f(0,0) = g(0,0) = 0,$$ et, sinon, $$f(x,y) = \sin \left (4 \arctan \left ( \frac {x}{y} \right ) \right ),$$ et $$g(x,y) = \frac {2xy}{x^2+y^2}.$$
Prochain hommage : le 28 février, Vandermonde aura 272 ans.
Bien à vous. Norbert Verdier.
Ne disposant pas actuellement d'une connexion internet viable, Norbert Verdier m'a demandé de recopier ce message, et ce, dans la cadre de sa grande saga {\bf Hommage à...} :
Bonjour à tous et bonne année à vous et à vos proches,
Hermann Schwarz est né en Pologne – il y a 164 ans - le 25 janvier 1843 à Hermsdorf en Silésie (actuellement en Pologne). Etudes à Berlin. Elève de Kümmer (dont il épousera la fille) et de Weiestrass. Enseigne à Zürich et Göttingen avant de remplacer son maître Weierstrass à Berlin. Il est passé à la postérité grâce à son lemme assurant la permutation des dérivées partielles " sous les bonnes conditions ". Décède le 30 novembre 1921 à .. Berlin.
L’hommage : Etudier la continuité en $(0,0)$ des fonctions $f$ et $g$ définies par :
$$f(0,0) = g(0,0) = 0,$$ et, sinon, $$f(x,y) = \sin \left (4 \arctan \left ( \frac {x}{y} \right ) \right ),$$ et $$g(x,y) = \frac {2xy}{x^2+y^2}.$$
Prochain hommage : le 28 février, Vandermonde aura 272 ans.
Bien à vous. Norbert Verdier.
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Réponses
Mauricio
Habituellement, l'appellation "lemme de Schwarz" désigne un résultat sur les fonctions de la variable complexe: Si f(z) est holomorphe dans le disque |z|<1 et si f(0)=0 et |f(z)|<1, alors |f(z)|<=|z|.
Je connaissais le résultat sur les dérivées partielles sous le nom de Théorème de Schwarz.
Et n'oublions pas l'inégalité de Schwarz.
Oui, pour moi aussi, le lemme de Schwarz est celui que tu cites, avec l'amélioration suivante due à Dieudonné : soit $f$ holomorphe dans le disque $|s| < 1$ telle que $f(0) = 0$ et $|f(s)| \leqslant 1$. Alors, si $|s| < 1$, on a $|f(s)| \leqslant |s|$ et $|f'(s)| \leqslant 1$ si $|s| \leqslant \sqrt 2 - 1$ et $\displaystyle {|f'(s)| \leqslant \frac {(1 + |s|^2)^2}{4|s|(1 - |s|^2)}}$ si $\sqrt 2 - 1 < |s| < 1$.
Je rappelle néanmoins que, dans ce fil, je ne suis que le dépositaire de Norbert, qui, j'espère, reviendra bientôt lui-même le commenter avec plus de compétence que moi !
Borde.
Pour une photo de notre "math-star" du mois:
\lien{http://www.bibmath.net/bios/index.php3?action=affiche&quoi=schwarz}
Par exemple:
1) Théorème de Schwarz ( ou lemme ) sur la permutation des dérivées partielles.
2) Lemme de Schwarz : fonctions hololmorphes.
Question : Olivier, où trouver une preuve de l'amélioration due à Dieudonné que tu cites ? Merci.
3) L'inégalité de Cauchy-Schwarz-Bouniakowski ( pour nos amis russes)
4) Le schwarzien ( objet du sujet d'analyse de l'agreg. externe 1995 )
5) Les travaux cités par Mauricio.
Bonne journée.
[merci d'avoir inséré la photo ,Aain]
Peut-être dans :
1. {\bf Ahlfors}, {\it Complex Analysis}, MacGraw-Hill, New York (1966)
ou
2. {\bf Polya-Szegö}, {\it Problems and Theorems in Analysis} I, Springer (1972).
Mais je ne peux pas te l'assurer...
Borde.
et aussi , toujours en analyse complexe:
--> principe de symétrie de Schwarz
--> transformation , et , théorème de Schwarz-Christoffel
Référence: Boccara-Fonctions Analytiques.
Springer online encyclopedia
Merci pour vos contributions. A très bientôt. Bien à vous. Norbert.
une application analytique $f$ du disque unité dans lui-même diminue la distance non-euclidienne entre deux points, la longueur non-euclidienne d'un arc et l'aire non-euclidienne ce qui traduit les inégalités:
$$\frac{|f(z_1)-f(z_2)|}{|1-\overline{f(z_1)}f(z_2)|} \leq \frac{|z_1-z_2|}{|1-\overline{z_1}z_2|}$$
et
$$\frac{|f'(z)|}{1-{|f(z)|}^2} \leq \frac{1}{1-{|z|}^2}$$
N.B. il s'agit de la géométrie hyperbolique (de Poincaré) liée à la métrique:
$$ds = \frac{2|dz|}{1-{|z|}^2}$$
Le théorème de Schwarz-Pick se généralise en:
Si $f$ est analytique du disque ouvert $D$ vers $D$, si $w_k=f(z_k)$ pour une famille finie de $n$ éléments $z_k$ de $D$, alors la forme hermitienne:
$$Q(t_1,t_2,...,t_n)= \sum_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1-w_h \overline{w_k}}{1-z_h \overline{z_k}} t_h \overline{t_k}$$
est positive.
note bibliographique: le lemme de Schwarz est discuté en détail dans {\it Geometric function theory } de Steven Krantz chez Birkhäuser.
Toutes ces idées ont été développées en particulier par Lars Ahlfors à partir de 1938; on les retrouve dans {\it Conformal invariants: topics in geometric function theory} chez McGraw-Hill (1973)
Au passage, Ahlfors aurait eu cent ans cette année.
Ceci étant je vais éditer mon précédent message dans le quel j'avais initialement écrit Pick-S.... avant de changer d'idée en me disant que çà ne le faisait pas; autant pour les bonnes intentions...8-)