Définition fonction
Bonjour à tous,
J'ai pu lire que la définition d'une fonction, niveau 3ème, est :
"Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x fait correspondre un unique nombre y".
Qu'en pensez-vous ?
Peut-on appeler cette phrase une définition ?
Comment définissez-vous une fonction à ce niveau-là ?
Merci pour vos retours.
J'ai pu lire que la définition d'une fonction, niveau 3ème, est :
"Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x fait correspondre un unique nombre y".
Qu'en pensez-vous ?
Peut-on appeler cette phrase une définition ?
Comment définissez-vous une fonction à ce niveau-là ?
Merci pour vos retours.
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Réponses
La définition que tu proposes n'est-elle pas plutôt la définition de "être fonction de" (même si c'est lié avec la notion de fonction) ?
On peut écrire plein de choses cependant en ajoutant par exemple la mention « intuitivement ».
On peut parler de fonctions sans les définir : osons le dire.
En effet c’est la notion d’ensembles qui est importante.
Mais une fonction étant d’abord un triplet d’ensembles, j’ai bien l’impression qu’on va tourner en rond pour donner une phrase qui ne sera pas une définition.
Ou alors que l’on me montre un cours fiable et crédible pour des 3e de 2019.
J’entends un cours tapé pour que l’on puisse discuter car deux trois phrases ici et là ne rendent pas compte de l’intention de l’auteur.
@Dom, :-P ma définition viennent d'un certain manuel très connu... J'aime bien le cours de ce manuel sur les fonctions. Mais c'est vieux, cela ne parle pas d'image, d'antécédent et de la fonction affine.
Dès la classe de 6e, par exemple, il n’est pas normal de voir dans les cahiers « définition d’une droite », « d’un segment », etc. Cela me semble impossible à faire.
Pour le cercle on peut, en utilisant « l’ensemble des points du plan tels que... » même si « ensemble », « point » et « plan » ne sont pas définis.
Bon, c’est un point de vue.
Évidemment je m’en contente sans exiger qu’on dise que c’est parfait ;-)
En probas par exemple, puisqu’il n’y a rien, autant le faire.
Univers, événement etc.
Sans poser la définition de « expérience aléatoire », là encore...
On utilise le terme à l’oral et dans les énoncés.
« Soit f la fonction qui est définie pour tout nombre positif u par : f(u)=2+u »
Et voilà. On fait quand même.
Il faut savoir calculer l’image d’un nombre, trouver les antécédents d’un autre etc.
Je ne sais pas définir ce qu’est un entier, par exemple.
Je ne sais pas définir l’addition.
Je ne sais pas définir ce qu’est un point.
Je ne sais pas définir ce qu’est un segment.
La liste est longue...mais peut-on tout de même avancer et savoir calculer un produit de deux nombres décimaux, savoir encadrer une racine carrée d’un nombre par deux entiers, savoir construire un triangle en connaissant des longueurs et des angles...
Mais tu as raison, je suis d’accord avec toi, c’est étrange.
Édit : évidemment il m’est arrivé de dire « on ne peut pas » et de me tromper puis de rectifier le tir.
Peut-être que quelqu’un saura nous dire comment faire.
Et si j'enlève le mot "définition", le problème est "réglé", non ?
"On fait des grands gestes Arturo."
A chaque fois que je lis cette phrase de toi, Dom, j'imagine un enseignant faire des grands gestes pour faire une comprendre une notion et, à chaque fois, je me pose les mêmes questions : "Ne me suis pas trompé de boulot ?", "Les mathématiques sont donc réduites à cela ?".
Je peine à imaginer (je ne suis peut-être pas assez ouvert d'esprit) les mathématiques, cette discipline si rigoureuse, si précise, et que j'aime tant, réduite à faire des gestes pour que des gamins comprennent...
Mmm...
C'est un autre débat.
J’aime bien commencer par « Intuitivement » pour annoncer la couleur mais ce qui compte dans l’histoire c’est de dire « attention les gars, ce n’est pas une définition » puis d’enchaîner « mais ce n’est pas grave ».
Alors j’avais utilisé cette expression « pour la translation, comment faire, doit-on faire des grands gestes ? ».
Il était compréhensif, vraiment il n’était pas la caricature que l’on décrit parfois. C’était déjà ça.
J’ai indiqué qu’on pouvait très bien définir une translation, ponctuellement, avec les parallélogrammes.
Il a repris la conversation, m’a dit en riant un peu « oui, des grands gestes » puis a précisé que l’important était l’image mentale, le glissement, etc (je ne me rappelle pas exactement ses termes). Il m’a montré que dans la salle où on était, les fenêtres s’ouvraient en glissant selon un rail...et on a fait des grands gestes pour les ouvrir, les fermer et encore les ouvrir.
Ainsi, pour résumer.
Je pense que quand on sait le faire (définir les objets), on doit le faire.
Sinon qu’il ne faut pas le faire et le dire explicitement, en gras, en rouge.
Et ce n’est pas un drame, comme je l’ai dit plus haut : personne* n’a jamais défini ce qu’est le nombre 1 à un élève du secondaire ni même son successeur, ni même l’addition.
*enfin, je pense...
J'arrive un peu tard, mais je crois qu'il n'est pas grave de donner des "définitions" à la Euclide (*) en présentation des nouvelles notions. Quand j'étais élève, on a défini très précisément les "fonctions linéaires" (nom à l'époque des fonctions affines) en troisième, je n'ai rien compris; puis on a défini les fonctions numériques en seconde (définition d'Arturo) et tout est devenu clair. Puis, en supérieur, j'ai vu la notion générale de fonction, et ça n'a fait qu'éclaircir encore le problème.
La difficulté est de définir clairement ce qu'est le procédé (c'est le graphe !!) sans employer des grands mots. Et ne pas réduire à des calculs (par exemple définir une fonction point par point) et pas non plus aux fonctions numériques; sans insister outre mesure. Et tout au long du secondaire, de bien faire apparaître les diverses fonctions qu'on rencontre (translation, projections, .. dérivation, moyenne et espérance, ...).
@Arturo : "Je peine à imaginer (je ne suis peut-être pas assez ouvert d'esprit) les mathématiques, cette discipline si rigoureuse, si précise, et que j'aime tant, réduite à faire des gestes pour que des gamins comprennent... " Pourtant, ton rôle n'est pas de faire des maths, mais de faire comprendre. Si la seule façon de faire est de faire des grands gestes, c'est ton métier. Quant à la rigueur des mathématiques, ce n'est pas le plus important, si elle reste creuse.
mais je crois que je commence à comprendre pourquoi tu te poses tant de questions : Tu voudrais faire de l'enseignement une activité comme les mathématiques complétement élaborées; tu confonds le but (que 99% de tes élèves ne verront jamais) et le chemin.
Cordialement.
(*) Voir le début des éléments d'Euclide
- pour les mathématiciens c'est un concept extrêmement difficile et la définition n'est pas une chose aisée.
- pour les élèves le point c'est facile. N'importe qui sait faire les points!
Un autre exemple: fonction affine. On dirait que confondre une fonction affine et fonction linéaire en France c'est la fin du monde. Il faut à tout prix utiliser cette monstruosité. A l'étranger, il n'y a aucune distinction entre $y=ax$ et $y=ax+b$ : ce sont des fonctions linéaires.
@Math Coss, Fastoche! Voilà les définitions utilisées dans les manuels russes:
Nombre entier naturel (6ième): Les nombres qu'on utilise pour compter les objets, sont appelés les nombres entiers naturels.
Axe de coordonnées (6ième): Droite, sur laquelle on choisie le point de départ, qui a une direction positive et qui est divisée en segments unitaires est appelée l'axe des coordonnées (droite, point, direction positive, segment unitaire sont "définies" avant de façon "intuitive")
Ensemble des nombres (4ième):
- Soit $x$ l'axe des coordonnées, soient $a$ et $b$ deux nombres tels que $a < b$.
--- L'ensemble des points sur l'axe $x$ entre $a$ et $b$ est appelé l'intervalle fermé si chaque $x$ vérifie $a \leq x \leq b$. Cet intervalle est noté $[a;b]$.
--- De la même façon sont définies les intervalles ouvertes et les "demi" intervalles (aucune idée pourquoi ce nom pour $[a:b[$)
....
--- Intervalle $]-\infty ; \infty[$ - c'est l'ensemble qui contient tous les points de l'axe $x$.
Plan:
1) Version simple (4ième) : un plan c'est comme la surface de la table : parfaitement lisse et plat, mais infinie et sans bords.
2) Version plus élaborée (1ière) : un plan est une surface qui contient entièrement chaque droite qui relie deux points distincts. Les plans sont soir parallèles, soit sécants. Deux droites dans l'espace peuvent être soit sécantes (et donc passent par le même plan), soit parallèles (si appartiennent au même plan), soit ni l'un ni si elles appartiennent à deux plans parallèles.
Certains manuels disent "Définition : ...". D'autre font un encadré sans utilisé le mot définition.
Un autre exemple : une symétrie axiale (disons en 6e), donnez-vous la "définition" avec "le pliage selon la droite" ?
Je suggère :
"définition empirique (non mathématique)" : ...par le pliage
"définition (mathématique)" : ...celle qui est ponctuelle, avec la médiatrice du segment.
Je pense sincèrement qu'il faut dire les choses.
Au primaire, je ne sais pas...
La dernière, peut-être pas "classique"
D'autres dans cette playlist
@Gérard :
Je me pose tant de questions, je pinaille même parfois car je viens des établissements en REP où on ne m'a pas expliqué les choses avec les "bonnes" définitions car les élèves n'étaient pas réputés pour être des travailleurs et qu'il fallait faire simple, très (trop) simple.
Par la suite, cela m'a pénalisé car des copains avaient eu des cours plus structurés, plus complets et moi, je ramais pour rattraper le retard accumulé.
Jenne fais aucun reproche, mes profs ont fait de leur mieux, se sont adaptés mais parmi ces élèves de REP, il y en avait qui allaient faire des études (c'est possible, oui !) et ce n'était pas simple.
Tout ça pour dire que j'essaie, du coup, d'être rigoureux mais compréhensible.
Les mathématiques sont, comme je l'ai dit, une discipline rigoureuse et précise et j'enseigne cette discipline.
J'ai dû à faire des "approximations" langagières, des abus de langage.
Je sais, et tu as raison, les mots mathématiques peuvent avoir plusieurs sens selon le contexte et deux mots peuvent être synonymes.
Mais bon, "proportion", "fréquence", "rapport", "quotient" (et ce n'est qu'un exemple) existent pour dire la même chose ?
À quoi bon alors ? Comme si un seul mot ne suffisait pas..
Alors oui, Gérard, mon expérience fait que je suis devenu ainsi mais je fais mon boulot du mieux que je peux et avec tout l'amour que je porte aux mathèmatiques et à l'enseignement.
Je veux juste bien faire et je suis capable de me titurer la tête... pour résoudre un problème qui n'en est pas un pour d'autres.
Tout ça pour que tu comprennes mieux pourquoi tant de questions futiles arrivent dans mon esprit et aboutissent sur ce forum
@vorobichek : et comment définit-on, aux elèves de 3ème, une fonction en Russie ?
Je fais le malin, mais il y a quelques années j’en étais aussi à tenter des définitions.
Ainsi, pas de sarcasme de ma part sur ce sujet sérieux.
Les difficultés des élèves sur les fonctions ne sont pas sur la définition mais sur la multitude de points de vue (algébrique, graphique, tableau de valeurs, etc.) et surtout de vocabulaire !
... est l'image de ... par $f$
... a pour image ... par $f$
... a pour antécédent ... par $f$
$f(...) = ...$
etc.
Tout cela a tendance à noyer les élèves.
Aucun ou presque ne souhaite lire des phrases. Ils cherchent alors des mots clefs et se plantent.
On a exactement les mêmes problèmes en géométrie (l'image du point A, le point dont l'image est A, etc.).
Mais vouloir définir tous les concepts à partir d'autres concepts est stérile et n'a pas d’intérêt ici : on ajoute des axiomes pour pouvoir utiliser "associe" et pareil pour entier, addition, point, segment etc. puis tu démontres des théorèmes, ça ne pose problème qu'à ceux qui veulent avoir les même théorème mais en théorie des ensembles seulement
Tu préférerais :
"Une fonction f est un procédé qui, à n'importe quel nombre x fait correspondre un unique nombre y" ?
Définir une fonction $f$ sur un ensemble de nombres $D$, c'est associer à chaque $x$ de $D$ un unique nombre noté $f(x)$.
Sinon pour répondre à ta question, en Russie la fonction est définie à partir des ensembles en 4ième de la même manière que propose @Héhéhé. Mais les ensembles sont vus avant. Par contre la fonction n'est jamais définie comme une application parce que la notion d'application est hors programme. Les notations du genre $f : x\mapsto f(x)$ ne sont pas utilisées. Par contre il y a le domaine de définition et le domaine des solutions d'une fonction. C'est à l'élève de les déterminer.
@Héhéhé, @Dom, dans la vie réelle et professionnelle je n'ai rencontré personne qui utilise "l'image de", "antécédent de" etc. dans le cas des fonctions. Les gens sont plus directs et moins sophistiqués, y compris dans les articles de recherche. C'est peut-être le côté maths "outil", maths/stats appliquées.
@Dom, C'est pour la géométrie analytique ? J'ai du mal à voir où on peut utiliser ces expressions.
P.S. la définition que je donne au début vient de Lebossé-Hémery.
En géométrie « pure » (Bon, y en a pléthore qui se retournent dans leurs tombes).
Par exemple « quel est l’image du point A par la symétrie d’axe (BC) ? ».
Cela arrive moins pour le terme « antécédent ».
La même phrase sans "unique" serait mieux je pense, si tu veux insister sur l'unicité je verrais plutôt qqchose comme "associe un nombre et un seul" (bon c'est moche)
@vorobichek comme tu es russe je pensais que tu donnais la définition du cours de Piskounov, en plus c'est presque exactement la même !
Haha, c'était un exemple. Je lis ta réponse sans savoir si tu te moques...
@vorobichek
Ta question m'inquiète... En effet les "à quoi ça sert" sont tellement convenus.
Bon, je donne un contexte tout simple pour éclairer nos lecteurs :
On considère le carré ABDC.
Quelle est l'image du point A par rapport à la droite (BC) ?
Heu...ça n'aurait pas de sens ? pas de pertinence ?
Dites-moi si quelque chose m'échappe.
NB : il manque "dans la symétrie", est-ce cela le loup ?
-- Schnoebelen, Philippe
J’étais en 6e où on manipule le langage sans en faire grand chose.
C’est le premier exemple de « image de » qui m’est venu en géométrie.
Je comprends mieux ton « on n’en fait rien ».
@tous
oui il s’agit bien de la symétrie axiale (j’étais sûr que c’était évident pour tout le monde).
"Une fonction f est un procédé qui, à n'importe quel nombre x PEUT FAIRE correspondre un nombre y et dans ce cas, ce nombre est unique."
Dire
"Une fonction f est un procédé qui, à n'importe quel nombre x PEUT FAIRE correspondre un unique nombre y"
peut nous amener à comprendre que la possibilité (décrite par le "peut faire") traite de l'unicité et non du nombre.
J'espère être clair...
je ne suis pas très fan de la dernière version. Le "peut faire" voudrait dire que la fonction est un être vivant qui décide tout seul si il veut faire ou non...je suis peut-être un peu tordu sur ce coup8-)