Définition fonction

Fonction: un nombre $y$ est fonction d'un nombre variable $x$ quand à chaque valeur de $x$ correspond une valeur déterminée de $y$.

En 3eme, pourquoi pas, mais je trouve dommage d’attendre la 2nde pour ajouter la notion d’ensembles de départ et d’arrivée que les élèves de 3eme comprendraient tout aussi bien j’en suis sûre.

@Arturo, non. Elle est juste plus pédagogique que la tienne. N'oublie pas que les élèves doivent comprendre chaque mot et l'ensemble de la phrase. Donc exit les définitions à la bourbaki. J'aime bien une autre définition, qui parle des ensembles. Mais comme les ensembles ne sont pas au programme...

La première définition ne me choque pas pour une classe de troisième même si le terme "procédé" demanderait un peu à être précisé. L'important est ce "procédé" pour des élèves de troisième (qui travaillent toujours sur des réels normalement) et non pas le résultat final que l'on voit. Si un élève de troisième comprend que la fonction qui à un réel x donne x^2 est la même que celle qui à un réel x+2 donne (x+2)^2 ben j'ai envie de dire Alléluia(:D

Oui, oui, vorobichek, cela ne me dérange pas qu’on la fasse écrire dans des cahiers, ni d’ailleurs ce que propose Arturo mais par contre je crois qu’il ne faut pas appeler cela « définition ».
Dès la classe de 6e, par exemple, il n’est pas normal de voir dans les cahiers « définition d’une droite », « d’un segment », etc. Cela me semble impossible à faire.
Pour le cercle on peut, en utilisant « l’ensemble des points du plan tels que... » même si « ensemble », « point » et « plan » ne sont pas définis.

Bon, c’est un point de vue.
Évidemment je m’en contente sans exiger qu’on dise que c’est parfait ;-)

Au sujet de la notion d’ensemble, on peut quand même initier la notation « accolade ».
En probas par exemple, puisqu’il n’y a rien, autant le faire.
Univers, événement etc.

Sans poser la définition de « expérience aléatoire », là encore...

En ce qui me concerne, oui, c’est déjà plus réglo.
J’aime bien commencer par « Intuitivement » pour annoncer la couleur mais ce qui compte dans l’histoire c’est de dire « attention les gars, ce n’est pas une définition » puis d’enchaîner « mais ce n’est pas grave ».

J’ai eu un échange avec un inspecteur. C’était au sujet des transformations vues au collège où il est écrit explicitement dans les programmes que pour certaines (translation et rotation je crois) qu’aucune définition ponctuelle n’est exigée.
Alors j’avais utilisé cette expression « pour la translation, comment faire, doit-on faire des grands gestes ? ».
Il était compréhensif, vraiment il n’était pas la caricature que l’on décrit parfois. C’était déjà ça.
J’ai indiqué qu’on pouvait très bien définir une translation, ponctuellement, avec les parallélogrammes.

Il a repris la conversation, m’a dit en riant un peu « oui, des grands gestes » puis a précisé que l’important était l’image mentale, le glissement, etc (je ne me rappelle pas exactement ses termes). Il m’a montré que dans la salle où on était, les fenêtres s’ouvraient en glissant selon un rail...et on a fait des grands gestes pour les ouvrir, les fermer et encore les ouvrir.

Ainsi, pour résumer.
Je pense que quand on sait le faire (définir les objets), on doit le faire.
Sinon qu’il ne faut pas le faire et le dire explicitement, en gras, en rouge.

Et ce n’est pas un drame, comme je l’ai dit plus haut : personne* n’a jamais défini ce qu’est le nombre 1 à un élève du secondaire ni même son successeur, ni même l’addition.


*enfin, je pense...

Vous, certains mathématiciens français, vous êtes vraiment trop prisonniers du bourbakisme. C'était d'ailleurs la principale critique d'Arnold envers le système français dans ses discours et billets. La définition n'est pas quelque chose de figée, on peut utiliser les synonymes par exemple. La définition est la pour nous donner un cadre et définir les objets mathématiques qu'on utilisera avec des mots qu'on comprend. La définition n'est pas un axiome! Par exemple le point:
- pour les mathématiciens c'est un concept extrêmement difficile et la définition n'est pas une chose aisée.
- pour les élèves le point c'est facile. N'importe qui sait faire les points!
Un autre exemple: fonction affine. On dirait que confondre une fonction affine et fonction linéaire en France c'est la fin du monde. Il faut à tout prix utiliser cette monstruosité. A l'étranger, il n'y a aucune distinction entre $y=ax$ et $y=ax+b$ : ce sont des fonctions linéaires.

@Math Coss,

Par exemple, au collège ou même au lycée, comment définir un plan, un point, une droite ? un nombre naturel ? un nombre réel ?

Fastoche! Voilà les définitions utilisées dans les manuels russes:
Nombre entier naturel (6ième): Les nombres qu'on utilise pour compter les objets, sont appelés les nombres entiers naturels.
Axe de coordonnées (6ième): Droite, sur laquelle on choisie le point de départ, qui a une direction positive et qui est divisée en segments unitaires est appelée l'axe des coordonnées (droite, point, direction positive, segment unitaire sont "définies" avant de façon "intuitive")
Ensemble des nombres (4ième):
- Soit $x$ l'axe des coordonnées, soient $a$ et $b$ deux nombres tels que $a < b$.
--- L'ensemble des points sur l'axe $x$ entre $a$ et $b$ est appelé l'intervalle fermé si chaque $x$ vérifie $a \leq x \leq b$. Cet intervalle est noté $[a;b]$.
--- De la même façon sont définies les intervalles ouvertes et les "demi" intervalles (aucune idée pourquoi ce nom pour $[a:b[$)
....
--- Intervalle $]-\infty ; \infty[$ - c'est l'ensemble qui contient tous les points de l'axe $x$.
Plan:
1) Version simple (4ième) : un plan c'est comme la surface de la table : parfaitement lisse et plat, mais infinie et sans bords.
2) Version plus élaborée (1ière) : un plan est une surface qui contient entièrement chaque droite qui relie deux points distincts. Les plans sont soir parallèles, soit sécants. Deux droites dans l'espace peuvent être soit sécantes (et donc passent par le même plan), soit parallèles (si appartiennent au même plan), soit ni l'un ni si elles appartiennent à deux plans parallèles.

Certains manuels disent "Définition : ...". D'autre font un encadré sans utilisé le mot définition.

On peut aussi raconter ce que l'on veut, en effet.

Un autre exemple : une symétrie axiale (disons en 6e), donnez-vous la "définition" avec "le pliage selon la droite" ?

Je suggère :
"définition empirique (non mathématique)" : ...par le pliage
"définition (mathématique)" : ...celle qui est ponctuelle, avec la médiatrice du segment.

Je pense sincèrement qu'il faut dire les choses.

Au primaire, je ne sais pas...

Définir une fonction $f$ c'est associer à un nombre réel $x$ un autre nombre réel noté $f(x)$.

La fonction qui à $f$ associe son sec ou la variante à l'ail.

Soit on donne la vraie définition (qui dans le secondaire n'a aucun intérêt je trouve), soit un moment y'a toujours un moment où on agite les mains... Associer est suffisamment parlant, et franchement ce n'est pas le plus gros trou dans les programmes...

Les difficultés des élèves sur les fonctions ne sont pas sur la définition mais sur la multitude de points de vue (algébrique, graphique, tableau de valeurs, etc.) et surtout de vocabulaire !

... est l'image de ... par $f$
... a pour image ... par $f$
... a pour antécédent ... par $f$
$f(...) = ...$
etc.

Tout cela a tendance à noyer les élèves.

@Dom Le problème de la définition de Héhéhé et de Arturo est surtout la quantification implicite : telle quelle ça donne une fonction définie pour un seul nombre.
Mais vouloir définir tous les concepts à partir d'autres concepts est stérile et n'a pas d’intérêt ici : on ajoute des axiomes pour pouvoir utiliser "associe" et pareil pour entier, addition, point, segment etc. puis tu démontres des théorèmes, ça ne pose problème qu'à ceux qui veulent avoir les même théorème mais en théorie des ensembles seulement

C'est un peu mieux les fonctions sont alors définies sur tous les nombres, mais elles sont constantes :-D

@Arturo, là ta définition est fausse! La fonction $y=1/x$ n'est pas définie pour $x=0$ !

Sinon pour répondre à ta question, en Russie la fonction est définie à partir des ensembles en 4ième de la même manière que propose @Héhéhé. Mais les ensembles sont vus avant. Par contre la fonction n'est jamais définie comme une application parce que la notion d'application est hors programme. Les notations du genre $f : x\mapsto f(x)$ ne sont pas utilisées. Par contre il y a le domaine de définition et le domaine des solutions d'une fonction. C'est à l'élève de les déterminer.

@Héhéhé, @Dom, dans la vie réelle et professionnelle je n'ai rencontré personne qui utilise "l'image de", "antécédent de" etc. dans le cas des fonctions. Les gens sont plus directs et moins sophistiqués, y compris dans les articles de recherche. C'est peut-être le côté maths "outil", maths/stats appliquées.

@Dom,

On a exactement les mêmes problèmes en géométrie (l'image du point A, le point dont l'image est A, etc.).

C'est pour la géométrie analytique ? J'ai du mal à voir où on peut utiliser ces expressions.

P.S. la définition que je donne au début vient de Lebossé-Hémery.

@Dom, je ne vois pas l'utilité de la phrase. Supposons qu'on répond à la question. Et après on fait quoi avec cette information? Je ne comprends pas non plus pourquoi en France on passe autant de temps sur les symétries. Attention, je ne dis pas qu'il ne faut pas. Je dis juste que je ne vois pas quel est le but.

Héhéhé a écrit:

Définir une fonction f sur un ensemble de nombres D, c'est associer à chaque x de D un unique nombre noté f(x).

Ici "unique" imite le langage quantifié "il existe un unique" mais c'est risqué de l'utiliser comme adjectif parce que il ne porte pas sur le nom, on se demande bien ce que f(x) a d'unique : au mieux on comprendra que f est injective et au pire que f est constante.
La même phrase sans "unique" serait mieux je pense, si tu veux insister sur l'unicité je verrais plutôt qqchose comme "associe un nombre et un seul" (bon c'est moche)

@vorobichek comme tu es russe je pensais que tu donnais la définition du cours de Piskounov, en plus c'est presque exactement la même !

Effectivement un nombre et un seul c'est mieux.

Ca peut être dans un énoncé genre : soit $ABC$ un triangle et soit $D$ l'image de $C$ par la symétrie d'axe $(AB)$.

Ok vorobichek.
J’étais en 6e où on manipule le langage sans en faire grand chose.
C’est le premier exemple de « image de » qui m’est venu en géométrie.

Je comprends mieux ton « on n’en fait rien ».

@tous
oui il s’agit bien de la symétrie axiale (j’étais sûr que c’était évident pour tout le monde).

@Arturo
je ne suis pas très fan de la dernière version. Le "peut faire" voudrait dire que la fonction est un être vivant qui décide tout seul si il veut faire ou non...je suis peut-être un peu tordu sur ce coup8-)