Au niveau du collège, il n'y a pas une grande différence entre une fonction et un algorithme.
Une fonction est un procédé qui prend un nombre $x$ en entrée, et qui calcule un nombre $f(x)$ ne dépendant que de $x$. Certaines valeurs en entrée sont interdites.
Exemple 1 : $f(x)=1/x$. La valeur $0$ est interdite.
Exemple 2 : une touche de calculatrice (par exemple $\tan$).
En troisième le terme "procédé" est très limité et est lié aux opérations que les élèves connaissent : addition, soustraction,multiplication, division et effectivement les fonctions à ce niveau ne sont que des enchainements de fonctions de références que l'on présentent souvent sous forme d'algorithme.
Il est curieux que si on demande à un troisième cet "algorithme" en trois étapes du style:
je choisis un nombre x , à ce nombre on ajoute 5 puis on "met" au carré le nombre obtenu et enfin on ajoute 2, en général il n'y pas d'erreur:
x ---) x+5 ---) (x+5)^2 ---) (x+5)^2+2
mais si on demande: quelle est la fonction f qui décrit seulement la deuxième étape (le deuxième "procédé")?
f(x)=.....? et ici on a la plupart du temps: f(x)=(x+5)^2...ils sont tellement habitués à avoir "x" au départ qu'ils "balancent" automatiquement le résultat final...
@Arturo, je pense toujours que le mot "procédé" est compliqué à comprendre. Pourquoi tu n'aimes pas la définition issu de Lebossé-Hémery?
Une version de JLT un peu modifiée:
Une fonction est une machine qui prend un nombre $x$ en entrée, et qui utilise une règle précise (formule) nommé $f$ pour calculer un nouveau nombre $y=f(x)$.
Et comme exemple: la calculatrice, les formules de géométrie (périmètre, aire, volume...)
@biely, mon but ce n'est pas la précision, mais une définition compréhensible pour tous. Je me trompe peut-être en pensant que le mot "procédé" peut poser des problèmes de compréhension.
Les "machines" ça me rappelle ma scolarité en primaire dans les années 70 ; on prenait un ensemble de départ, et on avait des machines à transformer les éléments pour les amener dans un ensemble d'arrivée.
Au début on avait un ensemble de départ avec des formes coloriées et on avait des machines "à peindre en rouge", "à transformer en carré"...
puis on avait des exemples avec un ensemble de nombres au départ et des machines du type "qui ajoute 2", "qui multiplie par 3"...
Et on faisait même la composition en passant l'élément dans deux machines successives !
C'est pour cela que j'ai vraiment du mal à croire qu'il faille attendre la 2nde pour introduire les notions d'ensemble de départ et d'ensemble d'arrivée...
J'ai pu lire que la définition d'une fonction, niveau 3ème, est :
"Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x fait correspondre un unique nombre y".
Qu'en pensez-vous ?
Le traitement de ces sujets dans le secondaire est presque invariablement une catastrophe exhibant des fautes conceptuelles graves.
Comment définissez-vous une fonction à ce niveau-là ?
Merci pour vos retours.
Dans un monde idéal, les élèves seraient initiés au langage de la théorie des ensembles (naïve suffirait) avant que la notion de fonction soit abordée (d'ailleurs ça a été le cas à une époque).
Un ensemble $f$ est appelé une fonction si tous ses éléments sont des couples et si pour tous $x,y,z$, si $(x,y)$ et $(x,z)$ appartiennent à $f$, alors $y=z$.
Intuitivement, cette condition dit que lorsque un couple $(a,b)$ appartient à $f$, $b$ est déterminé de façon unique par $a$.
Notation:
Soit $g$ une fonction.
Lorsqu'un couple $(t,u)$ appartient à $g$, on utilise habituellement la notation $g(t)$ pour désigner $u$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Foys
C'est bien joli tout ça mais allez expliquer cela à des collégiens ou des lycéens... @Dom
Si les inspecteurs donnent l'autorisation d'ouvrir les fenêtres pour se donner un peu d'air alors il ne faut pas se gêner...X:-(
@Foys
C'est bien joli tout ça mais allez expliquer cela à des collégiens ou des lycéens...
Avec les choix de présentation actuels il y a aujourd'hui moins d'un élève de secondaire sur 1000 qui comprend ce qu'est une fonction et qui peut répondre à autre chose qu'à des canevas de questions standardisées.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Foys
Cela veut dire que pour vous seulement un élève sur 1000 est capable de faire des mathématiques?
On sait bien qu'à ces niveaux la meilleure définition sera la plupart du temps imparfaite, incorrecte et que le but est de fournir une définition qui soit compréhensible et pas totalement à la ramasse quitte à avertir systématiquement: attention , je vous raconte quelques bêtises car je simplifie (trop..)...Le mathématicien (le vrai) ne fera aucune différence entre une définition imparfaite ou limitée et une définition totalement absurde et complètement à la ramasse. Avec lui c'est tout ou rien...Faut-il accepter l'imperfection pour espérer un jour atteindre la perfection? j'ai envie de répondre oui.
Exemples:
Combien d'élèves (ou même des profs de maths soyons fous) pourraient répondre correctement à ces quelques questions (et en temps raisonnable).
1°) Soit $f$ la fonction qui à $x\in \R$ fait correspondre $|x|$ si $x>0$ et $-|x|$ si $x\leq 0$. $f$ possède-t-elle un nombre dérivé en $0$ et si oui, que vaut-il?
2°) Soit $x$ la fonction qui à $f\in \R$ fait correspondre $f^2-f$. Donner le tableau de variation de $x$ sur $]-\infty,0]$.
Calculer la dérivée de $x$.
3°) Soient $g:x \mapsto \frac{1}{(1+x)^3}$ et $h:x \mapsto \sqrt{x^2}$. Donner les ensembles de définition de $g$ et $h$. Existe-t-il $t$ dans les ensembles de définition de $g$ et de $h$ tel que $g(t)<h(t)$ ?
4°) Existe-t-il une fonction $u:\R \to \R$ telle que pour tout $y\in \R$, $y^{17}+\sin(y)+ \exp(y) < u(y)$ ?
5°) La fonction définie sur $[-1000,-999]$ par $x \mapsto \frac{1}{x}$ possède-t-elle un maximum?
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
des générations d'élèves se sont contentées, en secondaire, de définition comme celles dont on parle ici, et certains n'ont jamais vu la définition que tu donnes (relativement récente par rapport à l'usage des fonctions), et pourtant ont été de grands mathématiciens (*). Pour ma part, je me suis contenté de l'idée d'associer à chaque antécédent une image unique, mêlée à l'idée de variation de l'un quand l'autre varie. Mais je ne suis pas un grand mathématicien, j'ai seulement été un prof, qui voulait que ses élèves comprennent.
Ta définition ne dit pas quand on va utiliser la notion de fonction, ni pourquoi elle sert si souvent. C'est une définition pour ceux qui ont besoin de définir de façon précise, et même, alors, il y a des divergences sur les mots et les définitions (il y a plusieurs fils d'eng.. à ce propos).
Cordialement.
(*) faut-il citer presque tout le monde entre Euler et Grothendieck, y compris les fondateurs de Bourbaki ?
Foys, faut quand même pas trop forcer, à part ceux qui n'ont jamais rien compris ..........
D'accord, mais ça représente quelle proportion des élèves?
Pourquoi tant de gens quittent le lycée à 18/20 en maths et entament leurs études supérieures à 5/20?
C'est une définition pour ceux qui ont besoin de définir de façon précise
Parmi les gens qui ont besoin de définir de façon précise se trouvent les élèves. En effet on leur demande sans arrêt d'apporter des réponses à des questions (interros de maths) où il n'y a qu'une seule réponse possible aux reformulations près. Comment justifier que ladite réponse est bien la bonne?
(*) faut-il citer presque tout le monde entre Euler et Grothendieck, y compris les fondateurs de Bourbaki ?
Sans définition précise de ce qu'est une fonction, le traité de Bourbaki aurait été impossible à écrire.
Ne serait-ce que parce que lorsqu'on prouve, on prouve à base de définitions précises.
La définition ensembliste de fonction fait deux lignes.
Ses variantes (envisageant un concept de procédé) sont des usines à gaz intenables au moins sur le plan philosophique.
La seule solution acceptable est de dire qu'un procédé est un programme informatique (qui est un concept largement plus complexe que celui de graphe fonctionnel) et même avec ça on est en présence de phénomènes problématiques (provenant de ce que si toute fonction est un programme alors il existe une surjection de $\N$ dans $\{0,1\}^{\N}$, induisant le paradoxe du Russel: voir plus bas).
Par exemple:
Je garde la définition que j'ai donnée plus haut. Si $M,N$ sont des ensembles, une fonction $f$ sera dite fonction partielle de $M$ dans $N$ si pour tout couple $(p,q)$ appartenant à $f$, $p$ appartient à $M$ et $q$ appartient à $N$.
On appelle (dans la suite du message) domaine de $f$ (et on désignera par $dom(f)$) l'ensemble des $u$ tels qu'il existe $v$ tel que $(u,v)\in f$.
Au vu de cette définition, $f$ est une fonction partielle de $M$ dans $N$ lorsque son domaine est contenu dans $M$ et lorque pour tout $x\in dom(f)$, on a $f(x)\in N$.
Dans toute la suite on désignera par $B$ l'ensemble des "binaires" (suites finies de $0$ et de $1$).
1°) On suppose qu'il y a une "machine" qui prend deux binaires en entrée (un "programme" et son "argument").
et qui en renvoie un unique autre de façon déterministe (ou rien du tout). (*)
On désigne par $M$ l'ensemble des triplets $(p,a,r)$ de binaires tels que lorsque $p$ et $a$ sont fournis à la machine, $r$ est renvoyé en réponse.
Si $p\in B$, on désigne par $f_p$ l'ensemble des $(a,r)\in B$ tels que $(p,a,r)\in M$. L'hypothèse (*) dit exactement que pour tout $p\in B$, $f_p$ est une fonction partielle de $B$ dans $B$, la fonction définie par le code source $p$.
Si on convient d'appeler procédés toutes les fonctions de la forme $f_p$ pour au moins un $p\in B$, alors il existe au moins une fonction qui n'est pas un procédé.
En effet considérons l'ensemble $h$ des couples $(x,y)\in B^2$ tels que l'une des trois situations suivantes est réalisée:
(i) $x$ n'appartient pas à $dom(f_x)$ et $y=0$ (suite de bits constituée du seul chiffre $0$).
(ii) $x$ appartient à $dom(f_x)$, $f_x(x) \neq 0$ et $y=0$.
(iii) $x$ appartient à $dom(f_x)$, $f_x(x)=0$ et $y=1$.
Alors $h$ est une fonction de domaine $B$ (pour tout $x\in B$, l'un des trous cas ci-desus et un seul est réalisé et il y a un seul $y$ possible pour le couple $(x,y)$ appartenant à $h$). S'il existait $u\in B$ tel que $h(x)=f_u(x)$ pour tout $x$, on aurait également $f_u(u)=1$ si et seulement si $f_u(u)=0$ ce qui est impossible.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Je suis d'accord avec gerard0, on a fait des maths pendant des siècles sans avoir formalisé à la Bourbaki la notion de fonction/application, je ne pense pas que c'est ce qui pose problème aux élèves...
On ne définit pas non plus aux élèves ce que sont formellement $\N$, $\Z$, $\Q$, $\R$ etc. et ça ne pose pas de problème non plus !
Il y a plein de problèmes avec l'agencement des programmes, mais celle-ci n'en n'est pas un.
Oui, dans la plupart des collèges, j'imagine.
Cependant, certains profs proposent quand même des fonctions sans proposer de formules.
La fonction qui pour tout entier supérieur à deux associe le plus petit facteur premier qui intervient dans la décomposition en facteurs premiers.
La fonctions qui à un nombre positif associe son chiffre des unités dans son écriture décimale.
Je ne connais pas bien la sémantique : ces deux exemples sont-ils des fonctions "calculables" ?
dire "Parmi les gens qui ont besoin de définir de façon précise se trouvent les élèves" est contrefactuel.
On a voulu faire ça il y a 50 ans, et non seulement on n'a pas pu avancer dans la rédaction des programmes (rien que de l'affine en quatrième), mais même les plus fervents bourbakistes se sont inquiétés.
Il ne faut jamais confondre "construire les mathématiques" et "éduquer des élèves en mathématiques".
Ta définition ne dit rien aux élèves (comme pas mal de celles qu'on a voulu écrire parfaites dans les programmes 1970), et si tu veux la faire comprendre avec les usages des fonctions en secondaire, tu finiras par "faire des grands gestes avec les mains".
Cordialement.
"la guerre est une chose trop sérieuse pour la laisser entre les mains des généraux"
"L'apprentissage des maths est une chose trop sérieuse pour la laisser entre les mains des mathématiciens".
C’est vrai que je demande à voir les profs qui proposent « La définition formelle exacte ».
S’ils existent, je suis certain que leurs élèves n’y comprennent rien (et ce n’est pas un argument !)...sauf s’ils se sont donnés bonne conscience pour leur refiler un cours correct et si après, à l’oral, ils finissent pas faire des grands gestes et insister sur l’unicité de l’image de chaque élément de l’ensemble de définition.
Je ne les fustige pas, je m’interroge sur leur existence.
Je maintiens qu’on a le droit de ne rien donner comme définition et qu’on peut apporter des approches déclarées explicitement comme intuitives.
Entendons-nous bien : je ne dis pas qu’il ne faut pas le faire, je dis que je suis sceptique sur l’utilité réelle (en dehors de la bonne conscience).
Un autre exemple est la définition d’une rotation : on peut trouver une solution astuce pour ne pas s’embourber dans les histoires d’angles mais...c’est imbitable et peut-être inutile si les élèves n’y comprennent rien (là encore, ce n’est pas un argument pour ne pas le faire).
Au final on fait bien des grands gestes et on parle tôt ou tard des aiguilles d’une montre.
En gros, au collège on "définit" la notion de fonction calculable, ça suffit en pratique au moins jusqu'au bac voire bac+2.
-Un programme informatique ne travaillant que sur des structures discrètes, la notion de fonction calculable de $\R$ dans $\R$ a-t-elle un sens?
-Y a-t-il une fonction calculable $u$ satisfaisant les relations:
$u$ est dérivable de $\R$ dans $\R$
$u(0)=0$
$\forall x \in \R, u'(x)=\exp \left (x^2\right )$ ?
-Un "procédé" qui "renvoie" des valeurs seulement approchées est-il vraiment un procédé?
-La notion d'égalité entre procédés est-elle la même que la notion d'égalité ensembliste entre graphes fonctionnels? (Rice...)
-Les deux affirmations constituant le théorème de Cauchy-Lipschitz sont-elles encore vraies (existence et unicité)?
-Est-ce que toutes les fonctions $\N \to \N$ sont calculables?
-Est-ce que l'ensemble des triplets $(D,f,x)$ où $D$ est une partie de $\N$, $f$ une fonction définie sur $D$ et $x\in D$, a un sens? (Notamment si on impose l'assimilation entre fonction et fonction calculable)?
-Est-ce qu'une partie d'un ensemble possède toujours une fonction caractéristique?
Pour mémoire, la définition dite bourbakiste de fonction fait deux lignes et permet de répondre (à l'aide d'une axiomatique propre) à toutes les questions ci-dessus et sans aucun effort (bon l'équa diff c'est pour quand les gens les ont vues bien sûr).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
En gros, au collège on "définit" la notion de fonction calculable, ça suffit en pratique au moins jusqu'au bac voire bac+2.
Et pour cause... L'enseignement contemporain est basé sur des méthodes types comme réciter par coeur les mêmes réponses à des suites de questions identiques pour résoudre $y'=ay+b$ (seules les valeurs de $a$ et $b$ changent d'une session d'examen à l'autre), ou l'inénarrable exo de barycentres (1° calculer le barycentre des points pondérés ... 2° les points M,P,Q sont-ils alignés?) décliné en 1000 exemplaires. Ce qui est eseigné au lycée (récitation de procédures types) suffit à résoudre ces exos certes. Mais il ne permet pas du tout de comprendre vraiment les concepts abordés.
C'est comme quand Mike Brant chantait en français (il ne parlait pas un mot de cette langue). Le par coeur fait des miracles.
Mais est-ce que c'est ce qu'on veut? (Un jury d'éducation nationale considérerait peut-être que Mike Brant était francophone).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Pour la petite histoire et la culture générale, voici comment Gustave Choquet a défini la fonction dans son cours de calcul différentiel et intégral donné à la Faculté des Sciences de Paris (Sorbonne) en 1955 :
"Étant donnés deux ensembles X et Y , on appelle fonction définie dans X et à valeurs dans Y, toute opération f qui associe à tout élément x de X un élément y de Y, que l'on note f (x)." ("Cours de Mathématiques de Gustave Choquet", éd. Ellipses, 2002)
Cette définition ne doit pas être si mauvaise que ça, sachant que l'on peut difficilement soupçonner Choquet d'être olé olé quant à la rigueur mathématique, et encore moins l'accuser de ne pas connaître le traité de Bourbaki !
Étonnamment, cette définition est reprise telle quelle dans la Dictionnaire de la langue Française "Le Petit Robert" éd. 1990. Je précise l'année d'édition de mon exemplaire car vu l'air du temps, je ne serais guère surpris qu'elle ait disparu d'éditions plus récentes ! :-)
@Foys : au lycée (même dans les générations précédentes),
* toutes les fonctions $\N\to N$ qu'on utilise sont calculables.
* toutes les fonctions $f:\R\to \R$ qu'on utilise sont continues par morceaux, et sur chaque morceau, $f$ est calculable au sens où il existe un algorithme tel que pour tout entier $n$ et pour tout nombre décimal $x$, l'algorithme calcule une approximation à $10^{-n}$ près de $f(x)$ (même si $f(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ par exemple).
* toutes les parties $A$ de $\N$ considérées sont telles que la fonction caractéristique de $A$ est calculable.
Certes, ça restreint un peu le champ des mathématiques, mais le champ accessible est assez large pour recouvrir toutes les applications nécessaires de niveau lycée aux autres sciences (physique, chimie, biologie), et assez large pour concevoir des sujets intéressants de math, que ce soit de bac (même de la série C) ou de concours général.
En tout cas je n'ai pas le souvenir d'avoir vu la vraie définition de fonction avant le bac, sans que ça m'aie gêné. Je suppose qu'un mathématicien connu, maintenant député de l'Essonne, dirait la même chose.
@JLT :
Dans tes exemples d’algorithmes :
Algorithme 1 : ajouter 1, puis multiplier par 2.
Algorithme 2 : multiplier par 2, puis ajouter 2.
c'est leurs écritures qui sont différentes, mais les algorithmes eux, sont les mêmes.
Ainsi, dans la définition que je propose ("Une fonction f est un ALGORITHME qui, à n'importe quel nombre x, faire correspondre un nombre y s'il existe et dans ce cas, ce nombre y est unique"), deux algorithmes différents définissent deux fonctions différentes.
Non ?
Un algorithme est une suite finie et non ambiguë d’opérations ou d'instructions permettant de résoudre une classe de problèmes.
Dans mon exemple, les deux algorithmes sont différents car les suites d'instructions ne sont pas les mêmes.
Autres exemples plus frappants :
1) soit $f(n)=1$ si $n$ est premier, et $f(n)=0$ sinon. On peut calculer la fonction $f$ avec des algorithmes (appelés "tests de primalité").
L'algorithme naïf, qui consiste à essayer tous les entiers de $2$ à $\sqrt{n}$ pour voir s'il y a un diviseur, calcule $f$ de manière inefficace. Il y a d'autres algorithmes bien meilleurs, tels que le test de Miller-Rabin.
2) Pour calculer le reste de la division Euclidienne de deux entiers naturels $a$ et $b$, on peut poser la "potence" comme à l'école primaire. Une autre méthode consiste à utiliser des soustractions successives (calculer $a-b-b-b\cdots$ jusqu'à trouver un entier $<b$). Le premier algorithme est plus efficace que le deuxième.
Cette définition ne doit pas être si mauvaise que ça, sachant que l'on peut difficilement soupçonner Choquet d'être olé olé quant à la rigueur mathématique, et encore moins l'accuser de ne pas connaître le traité de Bourbaki !
GG ce sont les travaux qui sont susceptibles d'être rigoureux ou non, pas les personnes. Cette définition est fausse ou vide.
En effet soit $S=\{s_0,s_1,...,s_d\}$ un ensemble fini de symboles contenant $1$ et $0$ ($1=s_1$ et $0=s_0$ par exemple). Soit $S^*$ l'ensemble des suites finies d'éléments de $S$ (i.e. $a_1a_2a_3...a_n$ avec $a_i\in S$ pour tout $i$).
H1°) On suppose qu'on a :
-deux parties $P_1,P_2\subseteq S^*$ et deux familles $(f_p)_{p \in P_1}$, $(g_q)_{q\in P_2}$ telles que:
-Pour tout $p\in P_1$, $f_p$ est une fonction définie sur une partie $D_{1,p}$ de $S^*$ et à valeurs dans $S^*$
-Pour tout $q\in P_2$, $g_q$ est une fonction définie sur une partie $D_{2,p}$ de $S^* \times S^*$ et à valeurs dans $S^*$.
H2°) On suppose en outre que pour tout $m\in P_2$, il existe $\overline m \in P_1$ tel que $D_{1,\overline m}$ est l'ensemble des $x$ de $S^*$ tels que $(x,x)\in D_{2,m}$,
et tel que pour tout $t \in D_{1,\overline m}$,
$f_{\overline m} (t) = g_m(t,t)$.
Soit $\Delta$ l'ensemble des couples $(x,y)\in S^* \times S^*$ tels que $y \in D_{1,x}$ et $f_x(y)=0$.
Soit $\mathbf 1_{\Delta}$ la fonction caractéristique de $\Delta$ (on a pour tout $c\in S^*$, $\mathbf 1_{\Delta}(c)=1$ si $c\in \Delta$, et $\mathbf 1_{\Delta}(c)=0$ si $c\notin \Delta$).
Questions (pour GG ou d'autres)
1°) Est-ce qu'on peut choisir $P_1,P_2$ et les familles $f,g$ de sorte que "opération à un argument " (de Choquet si tu veux) signifie exactement "fonction de la forme $f_a$" avec $a\in S^*$ (une suite d'instructions s'exprimant dans la langue courante ou bien dans un langage formel, ou de programmation etc) et "opération à deux arguments", fonction de la forme $g_b$ avec $b\in S^*$ ?.
2°) Si oui, est-ce que H2° ci-dessus est vraie? (i.e., si $(x,y) \mapsto h(x,y)$ est une opération à deux arguments, alors $x \mapsto h(x,x)$ est une opération à un argument)?
3°) Est-ce que $\Delta$ ci-dessus est correctement défini mathématiquement?
4°) Est-ce que la fonction caractéristique d'un ensemvble correctement défini mathématiquement est une opération?
Si les réponses à 1°, 2°, ou 3° sont "oui" alors sauf contradiction, la réponse à 4° est NON !!!.
En effet, s'il existe $k\in S^*$ tel que $f_k = \mathbf 1_{\Delta}$ alors $D_{2,k}=S^*\times S^*$ et par suite $D_{1,\overline k} = S^*$.
On a donc $\overline k \in D_{1,\overline k}$, et
$f_{\overline k} \left (\overline k \right) = g_k \left( \overline k,\overline k \right) =\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)$.
-Si $\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)=1$ alors $f_{\overline k} \left (\overline k \right)=1$ donc $\left( \overline k,\overline k \right)\notin \Delta$ donc $\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)=0$.
-Si $\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)=0$ alors $f_{\overline k} \left (\overline k \right)=0$ donc $\left( \overline k,\overline k \right)\in \Delta$ donc $\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)=1$.
Dans les deux cas on a une contradiction.
******
On a quand même un théorème mathématique qui dit qu'une définition est au mieux inopérante, au pire fausse!!!!
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Foys vient de recevoir un soutien du censeur en chef, dans un fil du même nom. Il ne se sentait pas assez soutenu, il a fait appel au bonimenteur fou !
Rappelons qu'il existe sur ce forum une coterie qui impose par des messages à rallonge et parfois des insultes (bien rédigées, pour éviter la censure) une certaine conception des maths (disons "logiciste") qui les réduit à l'écriture des preuves. Ce qui n'a rien à voir avec l'enseignement des maths, ni même avec la pratique de 99% des mathématiciens professionnels.
Pour ma part, j'abandonne les débats où interviennent ces individus qui ne voient même pas la réalité historique des maths (ils font un absolu de leur façon actuelle de penser les maths), ni la réalité actuelle du fonctionnement des maths. Je retrouve le fonctionnement des inspecteurs généraux de 1970, et de leurs épigones IPR, passant plus de temps à interdire qu'à essayer de faire enseigner vraiment les mathématiques.
Bah, il suffit de fournir suffisamment de drosophiles à Foys, CC et consort, ça les occupera.
Ça n'empêchera pas les gens qui sont face à la réalité de faire comme bon leur semble.
@Foys, excuse-moi, mais j'ai de la peine à voir où tu veux en venir.
Par ailleurs, je lis dans mon "Petit Robert" :
rigueur : 3° Exactitude, précision, logique inflexible.
rigoureux : 3° Exact, précis. - (Personnes) Être rigoureux dans une démonstration. Esprit rigoureux.
Foys pourquoi tu veux absolument que une fonction soit un ensemble ?
Parce que l'idée de fonction comme procédé est essentiellement fausse (sauf à considérer un procédé comme une notion première mais alors il faudrait livrer des axiomes décrivant le comportement d'une telle chose et bonjour les complications).
Cette idée -outre le fait qu'elle prête le flanc à des paradoxes assez lourds (j'ai posté des détails plus haut, je pense que les gens évitent soigneusement de les lire, préférant alléguer que "Euler faisait comme moi") contredit en fait même l'utilisation des maths en physique- j'aimerais qu'on décrive le "procédé" qui fixe la vitesse angulaire de la terre tournant autour du soleil en fonction de son éloignement par rapport au soleil (ce dernier fait-il des calculs en python ou en scratch?).
La version ensembliste:
-ramène la définition de fonction aux concepts ensemblistes, avec les ensembles comme notions premières.
-fait deux lignes
-recouvre exactement la totalité des utilisations qui sont faites du concept en mathématiques (sauf en info ou le mot fonction est synonyme de programme informatique).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Un ensemble $f$ est appelé une fonction si tous ses éléments sont des couples et si pour tous $x,y,z,$ si $(x,y)$ et $(x,z)$ appartiennent à $f$, alors $y=z$.
Avant de proposer ta définition aux élèves, il faut expliquer ce que c'est:
- un ensemble
- notations avec des lettres, ton $f$ c'est quoi?
- "tous ces éléments sont des couples" (Mami avec Papi?)
- "si pour tous $x,y,z,$ si $(x,y)$ et $(x,z)$ appartiennent à $f$, alors $y=z$" (si moi, je ne comprends pas cette phrase... je doute que les élèves comrennent)
Et chaque fois il faut expliquer avec des exemples concrets (c'est-à-dire non abstraits) et différents. Il faut laisser les élèves manipuler ces nouvelles notions, puis introduire le concept d'une fonction... et que après donner la définition.
@Foys : oui bien sûr je veux dire en faire une notion première. On peut prendre une autre notion première (comme "procédé" ou "opération") et dire que c'est la même chose, c'est juste un tour de passe passe de vocabulaire assez inoffensif si ça peut rassurer certains parce que le mot fonction leur évoque rien. De toute façon ces mots ne veulent rien dire de précis.
Evidemment il ne faut pas prendre un mot déjà utilisé en science comme "algorithme" pour désigner autre chose (autre chose que ce que "fonction" désigne en math même avant la définition ensembliste), ce genre d'idiotie me dépasse...
Oui il faut livrer les axiomes qui vont avec mais c'est pas bien long, c'est pas vraiment un argument. D'ailleurs tu as un peu bâcle ta définition dans la partie notation : f(x) c'est l'abréviation de quoi ? ou alors tu rajoutes des axiomes ?
De toute manière, on n’a pas trop le choix que de faire des maths (malheureusement) pas rigoureuse, à la manière des anciens, avant le bac (voire avant bac+2). La rigueur dans l’écriture et la construction mathématique vient petit à petit. Je ne vois pas trop comment construire rigoureusement les nombres ou la géométrie en CP voire avant. Cela n’empêche pas, en classe et oralement, de dire que sur tel point, il y a un loup et qu’il sera explicité plus tard.
Dans les flèches des tableaux de variations, on peut parler de la notion de continuité (trait de crayon) en disant qu’elle sera explicité en terminale et proprement définie en L1.
Dans des reconnaissances incomplètes de quadrilatères, au hasard quand on reconnaît un parallélogramme par deux côtés opposés parallèles et de même longueur. On voit sur la figure qu’il faut lire les noms des points dans le bon sens, sans ça le quadrilatère est non convexe. On peut le signaler aux élèves et on dit qu’on aura le bon outil avec les vecteurs.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about. -- Schnoebelen, Philippe
Oui il faut livrer les axiomes qui vont avec mais c'est pas bien long, c'est pas vraiment un argument. D'ailleurs tu as un peu bâcle ta définition dans la partie notation : f(x) c'est l'abréviation de quoi ? ou alors tu rajoutes des axiomes ?
Tu peux rajouter des symboles de fonction $\gamma,\delta$ à ZF vanille et les axiomes
$\forall x,y,Couple(\gamma(x,y),x,y)$
et
$\forall x(Fonction(x) \to (\forall y,(\exists z, \gamma(y,z)\in x) \to \gamma(y,\eta(x,y)) \in x)$ (la théorie obtenue est une extension conservative de ZF)
(où "$Couple(r,s,t)$" est un énoncé écrit sur le langage $=,\in$ exprimant le fait que $r$ est un couple $(s,t)$ et $Fonction(u)$ est un énoncé écrit sur le langage $=,\in$ exprimant le fait que $u$ est une fonction).
Après, pour tous $p,q$, si le contexte ne crée pas d'ambiguïté, "$(p,q)$" abrège $\gamma(p,q)$ et "$p(q)$" abrège $\eta(p,q)$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Avant de proposer ta définition aux élèves, il faut expliquer ce que c'est:
- un ensemble
Une collection d'objets (mais il y a quelques restrictions certes). En théorie des ensembles c'est une notion première (non définie mais dont le comportement est prescrit par des axiomes censés faire coller l'objet à sa présentation intuitive en tant que collection).
La fonction dont on parle (qui est un cas particulier d'ensemble). En maths l'emploi des lettres pour désigner des choes est à peu près inévitable (et on sait que c'est un problème pour les élèves, à peu près tous les profs s'en plaignent mais il est incontournable. La capacité de faire des maths au delà de la restitution de monnaie passe par la faculté à nommer les choses et à comprendre les énoncés où les choses sont nommées par des lettres).
- "tous ces éléments sont des couples" (Mami avec Papi?)
Dans le langage policé de 2019 on dirait plutôt "grand parent 1" et "grand parent 2"
Un couple est un ensemble de la forme $\{\{x\},\{x,y\}\}$ où x,y sont des ensembles.On abrège ça par $(x,y)$. Il s'avère que pour tous $p,q,r,s$, si $(p,q)=(r,s)$, alors $p=r$ et $q=s$. C'est cette propriété des couples qui est importante et qui fait qu'un couple est en fait une liste à deux éléments (deux telles listes sont égales si elles ont les mêmes éléments).
- "si pour tous $x,y,z$ si $(x,y)$ et $(x,z)$ appartiennent à $f$, alors $y=z$" (si moi, je ne comprends pas cette phrase... je doute que les élèves comrennent)
Ca veut dire que pour tout $x$, s'il existe un $y$ tel que $(x,y)$ appartient à $f$, alors cet $y$ est unique.
Quand on identifie $\R^2$ avec un plan muni d'un repère orthonormé, une fonction est donc un dessin qui coupe au plus une fois chaque droite verticale. Il se trouve (en tout cas je sais que c'était le cas dans les années 2000) que ceci était dit en classe de lycée, mais en substituant au mot fonction l'expression "graphe de fonction" (jusque là tout va bien), mais (et c'est là que ça sent très fort le gaz) l'institution partait dans un délire ontologique pour insister sur le fait qu'en sus des graphes fonctionnels, il y avait prétendument un vrai truc qui se serait appelé "une fonction" et qui n'était pas un graphe.
Une catastrophe!
Après tu n'es pas tes élèves. Moi quand j'étais étudiant le prof avait donné cette définition et ça m'a beaucoup apporté.
Et chaque fois il faut expliquer avec des exemples concrets (c'est-à-dire non abstraits) et différents. Il faut laisser les élèves manipuler ces nouvelles notions, puis introduire le concept d'une fonction... et que après donner la définition.
Le caractère abstrait de quelque chose est subjectif. En effet Il renvoie forcément aux aptitudes du sujet qui s'exprime.
In fine c'est un adjectif pompeux pour désigner ce qu'on ne comprend pas.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@Foys, on parle des collégiens! C'est à eux qu'il faut expliquer, pas à moi (sauf le passage que je n'ai pas compris). Tu viens de donner les explications. Elles sont toutes inaccessibles aux élèves. Le langage que tu utilises - c'est chinois pour eux. Abstrait c'est abstrait! Un exemple non abstrait c'est un exemple expliqué avec les gestes et qui utilise des objets que les enfants connaissent. Par exemple ils connaissent les roses rouges, blanches, jaunes. C'est concret. Par contre si tu prends des fleurs exotiques avec des noms exotiques (p.ex. oiseau de paradis) - il y a des fortes chances qu'ils se perdent. Quant aux notations avec des lettres - c'est abstrait. Parler de $x$ et $y$ ce n'est pas un exemple.
Moi quand j'étais étudiant le prof avait donné cette définition et ça m'a beaucoup apporté.
Moi, quand j'étais étudiante, je savais ce que c'est une fonction, je savais démontrer, le langage mathématiques n'était pas du chinois pour moi (j'ai eu des supers profs au collège/lycée). Du coup je comprenais le CM et les explications du professeur.
est-ce que tu peux arrêter de polluer ce fil avec tes arguments pour logiciens alors qu'il parle de la façon d'amener aux mathématiques des collégiens. Tu as l'autre fil, celui que tu as provoqué, pour parler de "pures" mathématiques et discuter avec tes copains.
Ici, on parle sérieusement de ce qui se passe avec les élèves.
Combien d'élèves (ou même des profs de maths soyons fous) pourraient répondre correctement à ces quelques questions
(\ldots)
3°) Soient $g:x \mapsto \frac{1}{(1+x)^3}$ et $h:x \mapsto \sqrt{x^2}$. Donner les ensembles de définition de $g$ et $h$. Existe-t-il $t$ dans les ensembles de définition de $g$ et de $h$ tel que $g(t)<h(t)$ ?
Je ne sais pas répondre à cette devinette. Pour moi, un ensemble de définition est livré avec la fonction. Ce que tu proposes, ce sont deux procédés, les quantificateurs étant restés dans ta poche.
Je tente ma chance à tout hasard : Les deux ensembles de définitions sont tous les deux égaux à $\varnothing$ et de ce fait la réponse à la deuxième question est non.
@ev, hum. Si on fait "à l'ancienne", pour $g$ c'est $\mathbb{R} \backslash \{-1\}$ et pour $h$ c'est $\mathbb{R}$. La réponse est "oui" sur l'intervalle $]-\infty;-1[$ et $[p.d'intersection;\infty[$.
Réponses
Une fonction est un procédé qui prend un nombre $x$ en entrée, et qui calcule un nombre $f(x)$ ne dépendant que de $x$. Certaines valeurs en entrée sont interdites.
Exemple 1 : $f(x)=1/x$. La valeur $0$ est interdite.
Exemple 2 : une touche de calculatrice (par exemple $\tan$).
Il est curieux que si on demande à un troisième cet "algorithme" en trois étapes du style:
je choisis un nombre x , à ce nombre on ajoute 5 puis on "met" au carré le nombre obtenu et enfin on ajoute 2, en général il n'y pas d'erreur:
x ---) x+5 ---) (x+5)^2 ---) (x+5)^2+2
mais si on demande: quelle est la fonction f qui décrit seulement la deuxième étape (le deuxième "procédé")?
f(x)=.....? et ici on a la plupart du temps: f(x)=(x+5)^2...ils sont tellement habitués à avoir "x" au départ qu'ils "balancent" automatiquement le résultat final...
Une version de JLT un peu modifiée:
Une fonction est une machine qui prend un nombre $x$ en entrée, et qui utilise une règle précise (formule) nommé $f$ pour calculer un nouveau nombre $y=f(x)$.
Et comme exemple: la calculatrice, les formules de géométrie (périmètre, aire, volume...)
Exemple typique du brevet : soient $f(x)=(x+3)^2-x^2$ et $g(x)= 6x+9$. Alors les fonctions $f$ et $g$ sont égales.
entre "procédé" et "machine" ou "règle précise (formule)" je ne vois pas trop en quoi on gagne en précision justement.
Qu'en pensez-vous ?
Justement non, voir mon message précédent.
Algorithme 1 : ajouter 1, puis multiplier par 2.
Algorithme 2 : multiplier par 2, puis ajouter 2.
Ces deux algorithmes sont différents mais définissent la même fonction.
Au début on avait un ensemble de départ avec des formes coloriées et on avait des machines "à peindre en rouge", "à transformer en carré"...
puis on avait des exemples avec un ensemble de nombres au départ et des machines du type "qui ajoute 2", "qui multiplie par 3"...
Et on faisait même la composition en passant l'élément dans deux machines successives !
C'est pour cela que j'ai vraiment du mal à croire qu'il faille attendre la 2nde pour introduire les notions d'ensemble de départ et d'ensemble d'arrivée...
Et même donner des exemples avec des ensembles finis.
N’oublions pas la fameuse « ce n’est pas dans le programme mais ça ne veut pas dire qu’il ne faut pas le faire ».
J’ai entendu ça de la part de deux inspecteurs différents.
Non.
Dans un monde idéal, les élèves seraient initiés au langage de la théorie des ensembles (naïve suffirait) avant que la notion de fonction soit abordée (d'ailleurs ça a été le cas à une époque).
Un ensemble $f$ est appelé une fonction si tous ses éléments sont des couples et si pour tous $x,y,z$, si $(x,y)$ et $(x,z)$ appartiennent à $f$, alors $y=z$.
Intuitivement, cette condition dit que lorsque un couple $(a,b)$ appartient à $f$, $b$ est déterminé de façon unique par $a$.
Notation:
Soit $g$ une fonction.
Lorsqu'un couple $(t,u)$ appartient à $g$, on utilise habituellement la notation $g(t)$ pour désigner $u$.
C'est bien joli tout ça mais allez expliquer cela à des collégiens ou des lycéens...
@Dom
Si les inspecteurs donnent l'autorisation d'ouvrir les fenêtres pour se donner un peu d'air alors il ne faut pas se gêner...X:-(
Cela veut dire que pour vous seulement un élève sur 1000 est capable de faire des mathématiques?
On sait bien qu'à ces niveaux la meilleure définition sera la plupart du temps imparfaite, incorrecte et que le but est de fournir une définition qui soit compréhensible et pas totalement à la ramasse quitte à avertir systématiquement: attention , je vous raconte quelques bêtises car je simplifie (trop..)...Le mathématicien (le vrai) ne fera aucune différence entre une définition imparfaite ou limitée et une définition totalement absurde et complètement à la ramasse. Avec lui c'est tout ou rien...Faut-il accepter l'imperfection pour espérer un jour atteindre la perfection? j'ai envie de répondre oui.
Combien d'élèves (ou même des profs de maths soyons fous) pourraient répondre correctement à ces quelques questions (et en temps raisonnable).
1°) Soit $f$ la fonction qui à $x\in \R$ fait correspondre $|x|$ si $x>0$ et $-|x|$ si $x\leq 0$. $f$ possède-t-elle un nombre dérivé en $0$ et si oui, que vaut-il?
2°) Soit $x$ la fonction qui à $f\in \R$ fait correspondre $f^2-f$. Donner le tableau de variation de $x$ sur $]-\infty,0]$.
Calculer la dérivée de $x$.
3°) Soient $g:x \mapsto \frac{1}{(1+x)^3}$ et $h:x \mapsto \sqrt{x^2}$. Donner les ensembles de définition de $g$ et $h$. Existe-t-il $t$ dans les ensembles de définition de $g$ et de $h$ tel que $g(t)<h(t)$ ?
4°) Existe-t-il une fonction $u:\R \to \R$ telle que pour tout $y\in \R$, $y^{17}+\sin(y)+ \exp(y) < u(y)$ ?
5°) La fonction définie sur $[-1000,-999]$ par $x \mapsto \frac{1}{x}$ possède-t-elle un maximum?
Foys, faut quand même pas trop forcer, à part ceux qui n'ont jamais rien compris ..........
Cordialement,
Rescassol
des générations d'élèves se sont contentées, en secondaire, de définition comme celles dont on parle ici, et certains n'ont jamais vu la définition que tu donnes (relativement récente par rapport à l'usage des fonctions), et pourtant ont été de grands mathématiciens (*). Pour ma part, je me suis contenté de l'idée d'associer à chaque antécédent une image unique, mêlée à l'idée de variation de l'un quand l'autre varie. Mais je ne suis pas un grand mathématicien, j'ai seulement été un prof, qui voulait que ses élèves comprennent.
Ta définition ne dit pas quand on va utiliser la notion de fonction, ni pourquoi elle sert si souvent. C'est une définition pour ceux qui ont besoin de définir de façon précise, et même, alors, il y a des divergences sur les mots et les définitions (il y a plusieurs fils d'eng.. à ce propos).
Cordialement.
(*) faut-il citer presque tout le monde entre Euler et Grothendieck, y compris les fondateurs de Bourbaki ?
Pourquoi tant de gens quittent le lycée à 18/20 en maths et entament leurs études supérieures à 5/20?
Parmi les gens qui ont besoin de définir de façon précise se trouvent les élèves. En effet on leur demande sans arrêt d'apporter des réponses à des questions (interros de maths) où il n'y a qu'une seule réponse possible aux reformulations près. Comment justifier que ladite réponse est bien la bonne?
Sans définition précise de ce qu'est une fonction, le traité de Bourbaki aurait été impossible à écrire.
Ne serait-ce que parce que lorsqu'on prouve, on prouve à base de définitions précises.
La définition ensembliste de fonction fait deux lignes.
Ses variantes (envisageant un concept de procédé) sont des usines à gaz intenables au moins sur le plan philosophique.
La seule solution acceptable est de dire qu'un procédé est un programme informatique (qui est un concept largement plus complexe que celui de graphe fonctionnel) et même avec ça on est en présence de phénomènes problématiques (provenant de ce que si toute fonction est un programme alors il existe une surjection de $\N$ dans $\{0,1\}^{\N}$, induisant le paradoxe du Russel: voir plus bas).
Par exemple:
Je garde la définition que j'ai donnée plus haut. Si $M,N$ sont des ensembles, une fonction $f$ sera dite fonction partielle de $M$ dans $N$ si pour tout couple $(p,q)$ appartenant à $f$, $p$ appartient à $M$ et $q$ appartient à $N$.
On appelle (dans la suite du message) domaine de $f$ (et on désignera par $dom(f)$) l'ensemble des $u$ tels qu'il existe $v$ tel que $(u,v)\in f$.
Au vu de cette définition, $f$ est une fonction partielle de $M$ dans $N$ lorsque son domaine est contenu dans $M$ et lorque pour tout $x\in dom(f)$, on a $f(x)\in N$.
Dans toute la suite on désignera par $B$ l'ensemble des "binaires" (suites finies de $0$ et de $1$).
1°) On suppose qu'il y a une "machine" qui prend deux binaires en entrée (un "programme" et son "argument").
et qui en renvoie un unique autre de façon déterministe (ou rien du tout). (*)
On désigne par $M$ l'ensemble des triplets $(p,a,r)$ de binaires tels que lorsque $p$ et $a$ sont fournis à la machine, $r$ est renvoyé en réponse.
Si $p\in B$, on désigne par $f_p$ l'ensemble des $(a,r)\in B$ tels que $(p,a,r)\in M$. L'hypothèse (*) dit exactement que pour tout $p\in B$, $f_p$ est une fonction partielle de $B$ dans $B$, la fonction définie par le code source $p$.
Si on convient d'appeler procédés toutes les fonctions de la forme $f_p$ pour au moins un $p\in B$, alors il existe au moins une fonction qui n'est pas un procédé.
En effet considérons l'ensemble $h$ des couples $(x,y)\in B^2$ tels que l'une des trois situations suivantes est réalisée:
(i) $x$ n'appartient pas à $dom(f_x)$ et $y=0$ (suite de bits constituée du seul chiffre $0$).
(ii) $x$ appartient à $dom(f_x)$, $f_x(x) \neq 0$ et $y=0$.
(iii) $x$ appartient à $dom(f_x)$, $f_x(x)=0$ et $y=1$.
Alors $h$ est une fonction de domaine $B$ (pour tout $x\in B$, l'un des trous cas ci-desus et un seul est réalisé et il y a un seul $y$ possible pour le couple $(x,y)$ appartenant à $h$). S'il existait $u\in B$ tel que $h(x)=f_u(x)$ pour tout $x$, on aurait également $f_u(u)=1$ si et seulement si $f_u(u)=0$ ce qui est impossible.
On ne définit pas non plus aux élèves ce que sont formellement $\N$, $\Z$, $\Q$, $\R$ etc. et ça ne pose pas de problème non plus !
Il y a plein de problèmes avec l'agencement des programmes, mais celle-ci n'en n'est pas un.
Cependant, certains profs proposent quand même des fonctions sans proposer de formules.
La fonction qui pour tout entier supérieur à deux associe le plus petit facteur premier qui intervient dans la décomposition en facteurs premiers.
La fonctions qui à un nombre positif associe son chiffre des unités dans son écriture décimale.
Je ne connais pas bien la sémantique : ces deux exemples sont-ils des fonctions "calculables" ?
dire "Parmi les gens qui ont besoin de définir de façon précise se trouvent les élèves" est contrefactuel.
On a voulu faire ça il y a 50 ans, et non seulement on n'a pas pu avancer dans la rédaction des programmes (rien que de l'affine en quatrième), mais même les plus fervents bourbakistes se sont inquiétés.
Il ne faut jamais confondre "construire les mathématiques" et "éduquer des élèves en mathématiques".
Ta définition ne dit rien aux élèves (comme pas mal de celles qu'on a voulu écrire parfaites dans les programmes 1970), et si tu veux la faire comprendre avec les usages des fonctions en secondaire, tu finiras par "faire des grands gestes avec les mains".
Cordialement.
"la guerre est une chose trop sérieuse pour la laisser entre les mains des généraux"
"L'apprentissage des maths est une chose trop sérieuse pour la laisser entre les mains des mathématiciens".
S’ils existent, je suis certain que leurs élèves n’y comprennent rien (et ce n’est pas un argument !)...sauf s’ils se sont donnés bonne conscience pour leur refiler un cours correct et si après, à l’oral, ils finissent pas faire des grands gestes et insister sur l’unicité de l’image de chaque élément de l’ensemble de définition.
Je ne les fustige pas, je m’interroge sur leur existence.
Je maintiens qu’on a le droit de ne rien donner comme définition et qu’on peut apporter des approches déclarées explicitement comme intuitives.
Entendons-nous bien : je ne dis pas qu’il ne faut pas le faire, je dis que je suis sceptique sur l’utilité réelle (en dehors de la bonne conscience).
Un autre exemple est la définition d’une rotation : on peut trouver une solution astuce pour ne pas s’embourber dans les histoires d’angles mais...c’est imbitable et peut-être inutile si les élèves n’y comprennent rien (là encore, ce n’est pas un argument pour ne pas le faire).
Au final on fait bien des grands gestes et on parle tôt ou tard des aiguilles d’une montre.
-Un programme informatique ne travaillant que sur des structures discrètes, la notion de fonction calculable de $\R$ dans $\R$ a-t-elle un sens?
-Y a-t-il une fonction calculable $u$ satisfaisant les relations:
$u$ est dérivable de $\R$ dans $\R$
$u(0)=0$
$\forall x \in \R, u'(x)=\exp \left (x^2\right )$ ?
-Un "procédé" qui "renvoie" des valeurs seulement approchées est-il vraiment un procédé?
-La notion d'égalité entre procédés est-elle la même que la notion d'égalité ensembliste entre graphes fonctionnels? (Rice...)
-Les deux affirmations constituant le théorème de Cauchy-Lipschitz sont-elles encore vraies (existence et unicité)?
-Est-ce que toutes les fonctions $\N \to \N$ sont calculables?
-Est-ce que l'ensemble des triplets $(D,f,x)$ où $D$ est une partie de $\N$, $f$ une fonction définie sur $D$ et $x\in D$, a un sens? (Notamment si on impose l'assimilation entre fonction et fonction calculable)?
-Est-ce qu'une partie d'un ensemble possède toujours une fonction caractéristique?
Pour mémoire, la définition dite bourbakiste de fonction fait deux lignes et permet de répondre (à l'aide d'une axiomatique propre) à toutes les questions ci-dessus et sans aucun effort (bon l'équa diff c'est pour quand les gens les ont vues bien sûr).
C'est comme quand Mike Brant chantait en français (il ne parlait pas un mot de cette langue). Le par coeur fait des miracles.
Mais est-ce que c'est ce qu'on veut? (Un jury d'éducation nationale considérerait peut-être que Mike Brant était francophone).
"Étant donnés deux ensembles X et Y , on appelle fonction définie dans X et à valeurs dans Y, toute opération f qui associe à tout élément x de X un élément y de Y, que l'on note f (x)." ("Cours de Mathématiques de Gustave Choquet", éd. Ellipses, 2002)
Cette définition ne doit pas être si mauvaise que ça, sachant que l'on peut difficilement soupçonner Choquet d'être olé olé quant à la rigueur mathématique, et encore moins l'accuser de ne pas connaître le traité de Bourbaki !
Étonnamment, cette définition est reprise telle quelle dans la Dictionnaire de la langue Française "Le Petit Robert" éd. 1990. Je précise l'année d'édition de mon exemplaire car vu l'air du temps, je ne serais guère surpris qu'elle ait disparu d'éditions plus récentes ! :-)
* toutes les fonctions $\N\to N$ qu'on utilise sont calculables.
* toutes les fonctions $f:\R\to \R$ qu'on utilise sont continues par morceaux, et sur chaque morceau, $f$ est calculable au sens où il existe un algorithme tel que pour tout entier $n$ et pour tout nombre décimal $x$, l'algorithme calcule une approximation à $10^{-n}$ près de $f(x)$ (même si $f(x)=\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ par exemple).
* toutes les parties $A$ de $\N$ considérées sont telles que la fonction caractéristique de $A$ est calculable.
Certes, ça restreint un peu le champ des mathématiques, mais le champ accessible est assez large pour recouvrir toutes les applications nécessaires de niveau lycée aux autres sciences (physique, chimie, biologie), et assez large pour concevoir des sujets intéressants de math, que ce soit de bac (même de la série C) ou de concours général.
En tout cas je n'ai pas le souvenir d'avoir vu la vraie définition de fonction avant le bac, sans que ça m'aie gêné. Je suppose qu'un mathématicien connu, maintenant député de l'Essonne, dirait la même chose.
La définition de Choquet est très bien, et même dans le supérieur hors parcours maths.
Dans tes exemples d’algorithmes :
Algorithme 1 : ajouter 1, puis multiplier par 2.
Algorithme 2 : multiplier par 2, puis ajouter 2.
c'est leurs écritures qui sont différentes, mais les algorithmes eux, sont les mêmes.
Ainsi, dans la définition que je propose ("Une fonction f est un ALGORITHME qui, à n'importe quel nombre x, faire correspondre un nombre y s'il existe et dans ce cas, ce nombre y est unique"), deux algorithmes différents définissent deux fonctions différentes.
Non ?
Dans mon exemple, les deux algorithmes sont différents car les suites d'instructions ne sont pas les mêmes.
Autres exemples plus frappants :
1) soit $f(n)=1$ si $n$ est premier, et $f(n)=0$ sinon. On peut calculer la fonction $f$ avec des algorithmes (appelés "tests de primalité").
L'algorithme naïf, qui consiste à essayer tous les entiers de $2$ à $\sqrt{n}$ pour voir s'il y a un diviseur, calcule $f$ de manière inefficace. Il y a d'autres algorithmes bien meilleurs, tels que le test de Miller-Rabin.
2) Pour calculer le reste de la division Euclidienne de deux entiers naturels $a$ et $b$, on peut poser la "potence" comme à l'école primaire. Une autre méthode consiste à utiliser des soustractions successives (calculer $a-b-b-b\cdots$ jusqu'à trouver un entier $<b$). Le premier algorithme est plus efficace que le deuxième.
En effet soit $S=\{s_0,s_1,...,s_d\}$ un ensemble fini de symboles contenant $1$ et $0$ ($1=s_1$ et $0=s_0$ par exemple). Soit $S^*$ l'ensemble des suites finies d'éléments de $S$ (i.e. $a_1a_2a_3...a_n$ avec $a_i\in S$ pour tout $i$).
H1°) On suppose qu'on a :
-deux parties $P_1,P_2\subseteq S^*$ et deux familles $(f_p)_{p \in P_1}$, $(g_q)_{q\in P_2}$ telles que:
-Pour tout $p\in P_1$, $f_p$ est une fonction définie sur une partie $D_{1,p}$ de $S^*$ et à valeurs dans $S^*$
-Pour tout $q\in P_2$, $g_q$ est une fonction définie sur une partie $D_{2,p}$ de $S^* \times S^*$ et à valeurs dans $S^*$.
H2°) On suppose en outre que pour tout $m\in P_2$, il existe $\overline m \in P_1$ tel que $D_{1,\overline m}$ est l'ensemble des $x$ de $S^*$ tels que $(x,x)\in D_{2,m}$,
et tel que pour tout $t \in D_{1,\overline m}$,
$f_{\overline m} (t) = g_m(t,t)$.
Soit $\Delta$ l'ensemble des couples $(x,y)\in S^* \times S^*$ tels que $y \in D_{1,x}$ et $f_x(y)=0$.
Soit $\mathbf 1_{\Delta}$ la fonction caractéristique de $\Delta$ (on a pour tout $c\in S^*$, $\mathbf 1_{\Delta}(c)=1$ si $c\in \Delta$, et $\mathbf 1_{\Delta}(c)=0$ si $c\notin \Delta$).
Questions (pour GG ou d'autres)
1°) Est-ce qu'on peut choisir $P_1,P_2$ et les familles $f,g$ de sorte que "opération à un argument " (de Choquet si tu veux) signifie exactement "fonction de la forme $f_a$" avec $a\in S^*$ (une suite d'instructions s'exprimant dans la langue courante ou bien dans un langage formel, ou de programmation etc) et "opération à deux arguments", fonction de la forme $g_b$ avec $b\in S^*$ ?.
2°) Si oui, est-ce que H2° ci-dessus est vraie? (i.e., si $(x,y) \mapsto h(x,y)$ est une opération à deux arguments, alors $x \mapsto h(x,x)$ est une opération à un argument)?
3°) Est-ce que $\Delta$ ci-dessus est correctement défini mathématiquement?
4°) Est-ce que la fonction caractéristique d'un ensemvble correctement défini mathématiquement est une opération?
Si les réponses à 1°, 2°, ou 3° sont "oui" alors sauf contradiction, la réponse à 4° est NON !!!.
En effet, s'il existe $k\in S^*$ tel que $f_k = \mathbf 1_{\Delta}$ alors $D_{2,k}=S^*\times S^*$ et par suite $D_{1,\overline k} = S^*$.
On a donc $\overline k \in D_{1,\overline k}$, et
$f_{\overline k} \left (\overline k \right) = g_k \left( \overline k,\overline k \right) =\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)$.
-Si $\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)=1$ alors $f_{\overline k} \left (\overline k \right)=1$ donc $\left( \overline k,\overline k \right)\notin \Delta$ donc $\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)=0$.
-Si $\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)=0$ alors $f_{\overline k} \left (\overline k \right)=0$ donc $\left( \overline k,\overline k \right)\in \Delta$ donc $\mathbf 1_{\Delta} \left( \overline k,\overline k \right)=1$.
Dans les deux cas on a une contradiction.
******
On a quand même un théorème mathématique qui dit qu'une définition est au mieux inopérante, au pire fausse!!!!
Rappelons qu'il existe sur ce forum une coterie qui impose par des messages à rallonge et parfois des insultes (bien rédigées, pour éviter la censure) une certaine conception des maths (disons "logiciste") qui les réduit à l'écriture des preuves. Ce qui n'a rien à voir avec l'enseignement des maths, ni même avec la pratique de 99% des mathématiciens professionnels.
Pour ma part, j'abandonne les débats où interviennent ces individus qui ne voient même pas la réalité historique des maths (ils font un absolu de leur façon actuelle de penser les maths), ni la réalité actuelle du fonctionnement des maths. Je retrouve le fonctionnement des inspecteurs généraux de 1970, et de leurs épigones IPR, passant plus de temps à interdire qu'à essayer de faire enseigner vraiment les mathématiques.
Cordialement.
Bah, il suffit de fournir suffisamment de drosophiles à Foys, CC et consort, ça les occupera.
Ça n'empêchera pas les gens qui sont face à la réalité de faire comme bon leur semble.
Cordialement,
Rescassol
Par ailleurs, je lis dans mon "Petit Robert" :
rigueur : 3° Exactitude, précision, logique inflexible.
rigoureux : 3° Exact, précis. - (Personnes) Être rigoureux dans une démonstration. Esprit rigoureux.
Cette idée -outre le fait qu'elle prête le flanc à des paradoxes assez lourds (j'ai posté des détails plus haut, je pense que les gens évitent soigneusement de les lire, préférant alléguer que "Euler faisait comme moi") contredit en fait même l'utilisation des maths en physique- j'aimerais qu'on décrive le "procédé" qui fixe la vitesse angulaire de la terre tournant autour du soleil en fonction de son éloignement par rapport au soleil (ce dernier fait-il des calculs en python ou en scratch?).
La version ensembliste:
-ramène la définition de fonction aux concepts ensemblistes, avec les ensembles comme notions premières.
-fait deux lignes
-recouvre exactement la totalité des utilisations qui sont faites du concept en mathématiques (sauf en info ou le mot fonction est synonyme de programme informatique).
- un ensemble
- notations avec des lettres, ton $f$ c'est quoi?
- "tous ces éléments sont des couples" (Mami avec Papi?)
- "si pour tous $x,y,z,$ si $(x,y)$ et $(x,z)$ appartiennent à $f$, alors $y=z$" (si moi, je ne comprends pas cette phrase... je doute que les élèves comrennent)
Et chaque fois il faut expliquer avec des exemples concrets (c'est-à-dire non abstraits) et différents. Il faut laisser les élèves manipuler ces nouvelles notions, puis introduire le concept d'une fonction... et que après donner la définition.
Evidemment il ne faut pas prendre un mot déjà utilisé en science comme "algorithme" pour désigner autre chose (autre chose que ce que "fonction" désigne en math même avant la définition ensembliste), ce genre d'idiotie me dépasse...
Oui il faut livrer les axiomes qui vont avec mais c'est pas bien long, c'est pas vraiment un argument. D'ailleurs tu as un peu bâcle ta définition dans la partie notation : f(x) c'est l'abréviation de quoi ? ou alors tu rajoutes des axiomes ?
Dans les flèches des tableaux de variations, on peut parler de la notion de continuité (trait de crayon) en disant qu’elle sera explicité en terminale et proprement définie en L1.
Dans des reconnaissances incomplètes de quadrilatères, au hasard quand on reconnaît un parallélogramme par deux côtés opposés parallèles et de même longueur. On voit sur la figure qu’il faut lire les noms des points dans le bon sens, sans ça le quadrilatère est non convexe. On peut le signaler aux élèves et on dit qu’on aura le bon outil avec les vecteurs.
-- Schnoebelen, Philippe
Tu peux rajouter des symboles de fonction $\gamma,\delta$ à ZF vanille et les axiomes
$\forall x,y,Couple(\gamma(x,y),x,y)$
et
$\forall x(Fonction(x) \to (\forall y,(\exists z, \gamma(y,z)\in x) \to \gamma(y,\eta(x,y)) \in x)$ (la théorie obtenue est une extension conservative de ZF)
(où "$Couple(r,s,t)$" est un énoncé écrit sur le langage $=,\in$ exprimant le fait que $r$ est un couple $(s,t)$ et $Fonction(u)$ est un énoncé écrit sur le langage $=,\in$ exprimant le fait que $u$ est une fonction).
Après, pour tous $p,q$, si le contexte ne crée pas d'ambiguïté, "$(p,q)$" abrège $\gamma(p,q)$ et "$p(q)$" abrège $\eta(p,q)$.
La fonction dont on parle (qui est un cas particulier d'ensemble). En maths l'emploi des lettres pour désigner des choes est à peu près inévitable (et on sait que c'est un problème pour les élèves, à peu près tous les profs s'en plaignent mais il est incontournable. La capacité de faire des maths au delà de la restitution de monnaie passe par la faculté à nommer les choses et à comprendre les énoncés où les choses sont nommées par des lettres).
Dans le langage policé de 2019 on dirait plutôt "grand parent 1" et "grand parent 2"
Un couple est un ensemble de la forme $\{\{x\},\{x,y\}\}$ où x,y sont des ensembles.On abrège ça par $(x,y)$. Il s'avère que pour tous $p,q,r,s$, si $(p,q)=(r,s)$, alors $p=r$ et $q=s$. C'est cette propriété des couples qui est importante et qui fait qu'un couple est en fait une liste à deux éléments (deux telles listes sont égales si elles ont les mêmes éléments).
Ca veut dire que pour tout $x$, s'il existe un $y$ tel que $(x,y)$ appartient à $f$, alors cet $y$ est unique.
Quand on identifie $\R^2$ avec un plan muni d'un repère orthonormé, une fonction est donc un dessin qui coupe au plus une fois chaque droite verticale. Il se trouve (en tout cas je sais que c'était le cas dans les années 2000) que ceci était dit en classe de lycée, mais en substituant au mot fonction l'expression "graphe de fonction" (jusque là tout va bien), mais (et c'est là que ça sent très fort le gaz) l'institution partait dans un délire ontologique pour insister sur le fait qu'en sus des graphes fonctionnels, il y avait prétendument un vrai truc qui se serait appelé "une fonction" et qui n'était pas un graphe.
Une catastrophe!
Après tu n'es pas tes élèves. Moi quand j'étais étudiant le prof avait donné cette définition et ça m'a beaucoup apporté.
Le caractère abstrait de quelque chose est subjectif. En effet Il renvoie forcément aux aptitudes du sujet qui s'exprime.
In fine c'est un adjectif pompeux pour désigner ce qu'on ne comprend pas.
Moi, quand j'étais étudiante, je savais ce que c'est une fonction, je savais démontrer, le langage mathématiques n'était pas du chinois pour moi (j'ai eu des supers profs au collège/lycée). Du coup je comprenais le CM et les explications du professeur.
est-ce que tu peux arrêter de polluer ce fil avec tes arguments pour logiciens alors qu'il parle de la façon d'amener aux mathématiques des collégiens. Tu as l'autre fil, celui que tu as provoqué, pour parler de "pures" mathématiques et discuter avec tes copains.
Ici, on parle sérieusement de ce qui se passe avec les élèves.
Je ne sais pas répondre à cette devinette. Pour moi, un ensemble de définition est livré avec la fonction. Ce que tu proposes, ce sont deux procédés, les quantificateurs étant restés dans ta poche.
Je tente ma chance à tout hasard : Les deux ensembles de définitions sont tous les deux égaux à $\varnothing$ et de ce fait la réponse à la deuxième question est non.
J'ai juste ?
J'ai des chances de devenir prof ?
e.v.
Encore plus à l'ancienne : les nombres négatifs n'existent pas.
Et pourquoi est-ce que $x$ ne serait pas un nombre complexe irréel ou un quaternion de passage ?
e.v.