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Introduction du nombre e en TS

Envoyé par MoinsUnPuissanceN 
Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
Bonjour à tous,
j'envisage pour mes élèves de TS de l'an prochain d'introduire le nombre $e$ en guise d'introduction à la fonction exponentielle.
J'aimerais le faire via la limite de $\ \Big( 1 + \dfrac{1}{n} \Big) ^ n $.

J'ai trouvé une fois un exercice de niveau TS qui calculait cette limite via les suites adjacentes mais impossible de remettre la main dessus, quelqu'un aurait une source ?
Merci d'avance !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
Soit $n\in \N$; soient $a_n:=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ et $b_n:=a_n+\frac{1}{n!}$. Alors $n\mapsto a_n$ est évidemment croissante. On a également pour tout $n\geq 0$, $$b_{n+1}-b_n=a_{n+1}-a_n+\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{n!}= \frac{1}{n!}\left ( \frac{2}{n+1}-1\right)$$
Ce nombre est négatif dès que $n\geq 1$ et donc $n\mapsto b_n$ est une suite décroissante à partir de $1$. La différence des deux suites tend vers $0$ et on peut appeler $e$ leur limite commune.
Dom
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
La méthode s’appelle « méthode d’Euler ».

On trouvait cela jadis sans les documents d’accompagnement des programmes de TS.
Ce fut aussi la première partie de plusieurs sujets de concours, CAPES notamment.

Google doit bien trouver ça...
aRc
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
Si jamais Google ne t'a pas donné la réponse, ce sont les suites $u_n=(1+\frac{1}{n})^n$ et $v_n=(1-\frac{1}{n})^{-n}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
On trouve des choses ici : [megamaths.raidghost.com]
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
Dans les deux derniers numéros de Quadrature il y a des articles très détaillés obtenant les propriétés usuelles de la fonction exponentielle via l'expression $$e^x = \lim_{n \to +\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n,$$ il y a peut-être de quoi s'inspirer.
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
Voilà peut-être une méthode à proposer en TS, qui ne nécessite que l'inégalité de Bernoulli (celle-ci peut être un attendu du programme, puisqu'elle est utile dans les limites de suites géométriques) et de la formule du binôme de Newton (là, c'est limite).

Pour tout $n \geqslant 1$, on note $u_n = \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$.

1. $(u_n)$ est croissante.

En effet, pour tout $n \geqslant 1$
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \frac{n+1}{n} = \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$$
et l'inégalité de Bernoulli implique que
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = 1.$$

2. $(u_n)$ est bornée.

Croissante, elle est déjà minorée par son premier terme, et donc, pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant 2$.

Via la formule du binôme de Newton
$$u_n = 1 + \sum_{k=1}^n {n \choose k} \frac{1}{n^k} \leqslant 1 + 2 \sum_{k=1}^n 2^{-k} = 3 - 2^{1-n} < 3.$$

3. Conclusion.

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge vers une limite notée $e$ vérifiant $2 \leqslant e \leqslant 3$.
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
Soit le polynôme $p_n(x) = \big(1+\frac{x}{n}\big)^n$.

Sur $]-n,+\infty[$, on étudie $q_{n}(x) = \frac{p_{n+1}(x)}{p_{n}(x)}$.

On a : $p_n'(x) = \frac{1}{1+\frac{x}{n}} \cdot p_n(x)$.
On trouve donc : $q_{n}'(x) =
q_n(x) \cdot
\big[
\frac{1}{1+\frac{x}{n+1}} -
\frac{1}{1+\frac{x}{n}}
\big]
=
q_{n}(x)
\cdot
\frac{1}{1+\frac{x}{n+1}} \cdot
\frac{1}{1+\frac{x}{n}} \cdot
\frac{x}{n(n+1)}
$.

La dérivée $q_n'(x)$ est du signe de $x$, donc $q_n$ atteint son minimum en $x=$ : $q_n(x) \ge q_n(0) = 1$.

Ainsi : $p_n(x) \le p_{n+1}(x)$.

Sinon, effectivement : $p_n(x)
\cdot
p_n(-x) =
\big(1-\frac{x^2}{n^2}\big)^n \le 1$, donc $p_n(1) \le \frac{1}{p_n(-1)} \le \frac{1}{p_2(-1)}$.

On peut conclure par convergence monotone majorée.

Je trouve que c'est un peu plus difficile de montrer que $p_n(1)$ et $\frac{1}{p_n(-1)}$ sont adjacentes, car il faut l'inégalité de Bernoulli $
p_n(x)
\cdot
p_n(-x) =
\big(1-\frac{x^2}{n^2}\big)^n
\ge
1 - \frac{x^2}{n}$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par marsup.
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
avatar
Si on connait le logarithme une façon de montrer que cette suite est croissante:

Pour tout $n\geq 1$, entier,
\begin{align}u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\\
\ln\left(u_{n+1}\right)-\ln\left(u_n\right)&=\int_n^{n+1} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right)\,dx\end{align}

Et si on considère sur $[1;\infty[$ la fonction $\displaystyle \psi(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}$

On a que: $\displaystyle \psi(1)=\ln\left(2\right)-\frac{1}{2}>0^*,\psi^\prime(x)=-\frac{1}{x(1+x^2)},\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=0$,

Donc, $\psi$ est décroissante et pour tout $x\geq 1$, $\psi(x)>0$ donc $\displaystyle \int_n^{n+1} \left(\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right)\,dx>0$ et donc pour tout $n\geq 1$,
$\ln(u_{n+1})>\ln(u_{n}),u_{n+1}>u_{n}$ la suite $(u_n)$ est croissante.


*C'est vrai que ce résultat pour le moment je l'obtiens à l'aide d'une calculatrice.

PS:
J'ai obtenu la fonction $\psi$ en dérivant la fonction $\displaystyle \xi(x)=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
avatar
La seule façon d'expliquer pourquoi on parle de e c'est de donner cette formule :
\begin{align}1=\int_1^e\frac{1}{x}\,dx\end{align}

avec un dessin de préférence.
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
avatar
Il est facile de démontrer connaissant la fonction logarithme et quelques unes de ses propriétés que si la suite $(u_n)$ est définie pour tout $n\geq 1$ par $u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ on a que la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $\ln(u_n)$ converge vers $1$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
La « seule » façon ? Évidemment non !

Dans l'esprit de ce qu'a proposé noix de totos, il y avait la première épreuve du CAPES 2004.
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
Pour FinDePartie :

Si tu définis $\ln(2)$ par $\ln(2) = \int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$, alors on voit tout de suite que $\frac{1}{2} \le \ln(2) \le1$.

En effet, pour $1\le x\le x$, on a $\frac{1}{2} \le \frac{1}{x} \le 1$.
Re: Introduction du nombre e en TS
il y a deux années
avatar
Citation

La « seule » façon ? Évidemment non !

Citation
j'ai écrit
La seule façon d'expliquer pourquoi on parle de e

C'est Euler qui a mis au clair les logarithmes et l'exponentielle d'où le e.

Il a aussi prouvé $e^{i*a} = cos(a) + i*sin(a) $ avec des séries...
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