1/3 n'est pas décimal, nouveau programme
Bonjour,
Dans le nouveau programme de seconde, on doit prouver que 1/3 n'est pas décimal. Beaucoup de manuel propose la preuve suivante :
Raisonnement par l'absurde, on suppose 1/3 décimal.
Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3.
Comme la somme des chiffres de 10^n est 1 et que 1 n'est pas un multiple de 3, alors 10^n n'est pas un multiple de 3.
Contradiction.
1/3 n'est pas décimal.
Ce qui m'interroge : les élèves de collège connaissent-ils la propriété : "un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3" ?
Merci.
Dans le nouveau programme de seconde, on doit prouver que 1/3 n'est pas décimal. Beaucoup de manuel propose la preuve suivante :
Raisonnement par l'absurde, on suppose 1/3 décimal.
Donc 1/3 est de la forme a/10^n avec a entier positif. Donc 3a=10^n avec a entier positif. Donc 10^n est un multiple de 3.
Comme la somme des chiffres de 10^n est 1 et que 1 n'est pas un multiple de 3, alors 10^n n'est pas un multiple de 3.
Contradiction.
1/3 n'est pas décimal.
Ce qui m'interroge : les élèves de collège connaissent-ils la propriété : "un nombre entier est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3" ?
Merci.
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Réponses
Théoriquement oui, c'est au programme de 6ème.
Donc, oui.
Sinon pour montrer que 1/3 n'est pas décimal, poser la division devrait convaincre n'importe qui. B-)
les collégiens ont appris un jour ces critères de divisibilité car c'est effectivement au programme mais une fois le contrôle passé sur ce thème ils ont tout oublié:-D (encore une fois, merci la calculatrice..)
Mais ici je crois qu'il vaut mieux leur faire trouver le reste de la division euclidienne de 10^n par 3.
ils sont censés la connaitre, nuance...
et comment trouver en démontrant le reste de la division euclidienne de 10^n par 3? Dans ce cas mieux vaut introduire les "modulo" (comme j'ai vu avec horreur dans un exercice de scratch de troisième!) mais alors il faut faire le programme de l'option maths de terminale S actuelle.:)o
-Plus important: les élèves n'ont pas l'intuition des nombres et des opérations puisque la pratique de la division euclidienne est interdite ($10^n=3\times 3333...33+1$ est intuitif pour quelqu'un qui sait ce qu'est une division euclidienne).
Rappelons que l'une des motivations de la pédagogie contemporaine était de tuer le discours mathématique précis et formel (jugé passéiste, vieillot, fasciste etc) pour mieux cultiver l'intuition des élèves.
122 par 3?
899 par 57?
4121 par 621?
1006 par 8?
900931 par 42?
On pourrait faire un test national (avec nombres entiers tirés uniformément au hasard dans un intervalle donné).
Quand j'étais à l'école primaire les gens de ma classe d'âge y arrivaient (pas grâce à leurs super pouvoirs ou leur sens de l'effort surhumain, c'est juste que les instits nous exercaient à le faire).
Je ne connais non plus vraiment d'élèves de CM2 mais ma fille, en CM1, fait régulièrement des divisions euclidiennes (et avec un diviseur à plusieurs chiffres).
Bon, à mon époque, je suis persuadé que même-moi, ça a dû m'arriver de me planter sur une ou deux divisions...
On va se retrouver avec une majorité d'élèves qui pourront montrer que 1/3 n'est pas décimal, mais qui seront incapables d'en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près:-D
M.
1=0,9999999... Le nombre 1 admet donc un développement décimal infini. Donc ce n'est pas parce que l'on trouve un développement décimal infini d'un nombre que celui-ci est décimal.
Après je me demande si les élèves de seconde savent toujours poser une division étant donné qu'ils ne le font plus depuis la primaire, non ?
$B \implies (A \implies \neg
le fait que $3$ ne divise pas $10^n$ est un théorème intuitionniste. La preuve via le critère de divisibilité est faisable en COQ.
Un raisonnement par l'absurde fait intervenir quelque chose comme $B \implies (\neg A \implies \neg
"Un repère orthonormé du plan est défini par trois points (O, I, J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O."
ou encore
« Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique et définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel."
les bras m'en tombent. Comme disait Weil des épigones de Bourbaki.
M.
On a parlé de développement décimal (c’est plutôt la suite des chiffres dans ma sémantique, ainsi celui de 1/3 est plutôt la suite dont le premier terme est 0 et constante égale à 3 à partir du rang 1).
Parlons de l’écriture décimale.
Si 1/3 est décimal, alors puisqu’il n’est pas nul, il existe une écriture décimale de 1/3 (composée des chiffres de 0 à 9) telle qu’à partir d’un certain rang ce ne sont que des zéros. Considérons le dernier chiffre non nul. Notons-le $d$.
En posant l’addition $1/3+1/3+1/3$ on en déduit : $3\times d=0$.
La seule possibilité est que $d$ soit le chiffre zéro.
Pas de division.
Remarque : on n’utilise pas la propriété « du produit nul » mais on teste chaque chiffre.
Le même raisonnement montre que $\sqrt{2}$ n’est pas décimal.
C’est faisable en 6e (éventuellement en ne disant pas « racine carrée » si ça fait peur).
Et puis avec presque aucune mauvaise foi, $1.0000000000\ldots$ est un développement décimal infini.
Dans ma sémantique :
Le nombre "un" a pour développement décimal, la suite $u_0=1$ puis pour tout $n$ naturel non nul, $u_n=0$.
Le nombre "un" a plusieurs écritures décimales : 1 ; 1,00 ; 1,0000 ; 1,0000[small]-que des zéros[/small] ; 0,999[small]-que des neuf[/small].
Cette définition est un peu comme ça:
SGANARELLE, se tournant vers la malade.- Donnez-moi votre bras. Voilà un pouls qui marque que votre fille est muette.
GÉRONTE.- Eh ! oui, Monsieur, c’est là son mal : vous l’avez trouvé tout du premier coup.
SGANARELLE.- Ah, ah.
JACQUELINE.- Voyez, comme il a deviné sa maladie.
SGANARELLE.- Nous autres grands médecins, nous connaissons d’abord les choses. Un ignorant aurait été embarrassé, et vous eût été dire : "C’est ceci, c’est cela" : mais moi, je touche au but du premier coup, et je vous apprends que votre fille est muette.
GÉRONTE.- Oui, mais je voudrais bien que vous me pussiez dire d’où cela vient.
SGANARELLE.- Il n’est rien plus aisé Cela vient de ce qu’elle a perdu la parole.
GÉRONTE.- Fort bien : mais la cause, s’il vous plaît, qui fait qu’elle a perdu la parole ?
SGANARELLE.- Tous nos meilleurs auteurs vous diront que c’est l’empêchement de l’action de sa langue.
GÉRONTE.- Mais, encore, vos sentiments sur cet empêchement de l’action de sa langue ?
SGANARELLE.- Aristote là-dessus dit... de fort belles choses.
;-)
M.
nombre décimal qui a le même nombre de décimales que $n$.
(Si $n$ se termine par 1, $3n$ se termine par 3,
Si $n$ se termine par 2, $3n$ se termine par 6, etc.)
Aucune de ces multiplication ne peut donner 1 comme résultat.
Donc...
On n'a pas dit ce qu'était un triangle rectangle isocèle aux élèves avant? Si c'est le cas, à part le fait que l'auteur de la citation aurait plutôt dû dire quelque chose comme "formant les sommets d'un triangle ..." je ne vois pas où est le problème.
Aussi, pour moi, le nombre de décimales de n’importe quel réel n’est pas fini.
Je ne lis pas toujours tous les posts précédents.
Je rends donc à César ce raisonnement,
le plus simple dans ce contexte.
Sur réseau canopé on parle d'écriture décimale à partir de fraction décimale. Autrement dit 3,2 est l'écriture décimale de la fraction décimale 32/10.
Mais peut-on dire que 3,19999... est une autre écriture décimale de 32/10 ?
Evidemment que l'on ne parlera pas volontairement de cela à des élèves de seconde mais rien n'interdit d'avoir un élève curieux qui pose une telle question et rien n'interdit d'y réfléchir.
Celle « bizarre » des nombres décimaux s’appelle parfois écriture décimale impropre.
Le plus souvent c’est plutôt un développement décimal impropre.
C’est une histoire de bijection.
À chaque réel on associe un développement décimal qui est une suite de chiffres (sauf le premier terme qui est la partie entière à l’usage). Mais ce n’est pas bijectif.
A chaque développement décimal on peut associer un réel.
Si on se restreint aux nombres non décimaux (sauf qu’on garde 0), on a une bijection.
Si on regarde les décimaux (non nuls), on a deux développements décimaux possibles.
Ceci n’est pas la faute du nombre dix.
Dans toutes bases on a des « décimaux » (généralisés).
Par exemple, en base deux :
0,11111111.... est le nombre 1.
En base trois, 0,222222..... est le nombre 1.
@bulledesavon, s'il sagit de ma remarque sur le raisonnement par l'absurde (dont je reconnais qu'elle est HS, au pire consulter la rubrique logique du site ou wikipédia à l'entrée "logiqie intuitionniste"), c'est parce qu'on a découvert au XXe siècle que les deux règles "(1)si X est fausse alors (non X)" et "(2) si (non X) est fausse alors X" ne sont pas les mêmes. C'est la seconde qui porte le nom de raisonnement par l'absurde. C'est la première (contraposition) qui est mise a contribution dans le fil pour montrer que 10/3 n'est pas décimal. Il existe un ensemble de règles de raisonnement appelé "logique intuitionniste" qui admet la première mais pas la seconde (la négation n'y est plus involutive: on ne peut plus assimiler "non non X" à X). C'est hallucinant de prime abord mais l'intention de départ était de prendre acte d'un certain manque d'information lors d'un raisonnement (on annonce "Trump sera président des US une deuxième fois ou ne le sera pas", sans savoir laquelle des deux alternatives a lieu; la LI rejette typiquement les énoncés comme "Y ou (non Y)" sauf si l'une des deux affirmations est prouvée).
Autrement dit, la majorité des expressions « raisonnement par l’absurde » sont utilisées de manière erronée.
J’y vois un problème avec le langage courant « c’est absurde ».
On m’avait dit naïvement, en DEUG 1ère année (actuelle L1) : « on suppose le contraire (la négation) et on en déduit une contradiction ».
Je n’avais pas de cours de logique mais juste les tables de vérités du non/ou/et/implique.
Tout ça pour dire que personne ne m’avait raconté, à l’époque, que La Logique était une discipline à part entière et que cela continue encore aujourd'hui.
Édit : j’ai oublié l’essentiel
On avait comme admis : pour tout A, non(non(A))=A
Et je crois aussi, mais peut-être implicitement, « pour tout A, A est vraie ou A est fausse ».
Je mets des guillemets car je ne me souviens pas l’avoir vu écrit.
Fin de la digression.
ne t'inquiète pas de cela, la très grande majorité des mathématiciens et utilisateurs des mathématiques ne se sert que de la logique classique, avec non(non A)=A et appelle démonstration par l'absurde ce qui n'en est pas une pour les logiciens. Mais le nom n'a pas d'importance, ce qui compte est de raisonner juste. Dans les domaines où la logique intuitionniste est nécessaire (certaines parties de l'info, si j'ai bien compris, et évidemment en logique), on fera les distingos nécessaires.
Cordialement.
Au plaisir.
Dom
Si A implique B, alors la négation de B implique la négation de A.
On a donc une relation d'implication.
Ex: si je sais, alors je réponds. Donc si je ne réponds pas, c'est que je ne sais pas.
Cela n'empêche pas que je réponde sans savoir. La preuve.B-)
Raisonnement par l'absurde:
Pour montrer Non B on suppose B vraie et on arrive à une absurdité qui oblige alors à rejeter l'hypothèse Non B. En fait, on utilise la contraposée pour montrer non A.
Ex: $ \sqrt 2 $ est irrationnel.
Mais est-ce que Non (Non
Sous prétexte de partager l'immense plaisir que j'ai pris à écouter Claude Lobry il y a un mois, je vais faire semblant de m'y connaitre (je suis justement aller lui poser la question à la pause).
Les constructivistes ne nient pas le bien fondé du raisonnement par l'absurde, ils nient la légitimité des preuves d'existence se fondant sur le raisonnement par l'absurde.
Autrement dit on peut envisager une autre possibilité que $\exists f$ et $\not\exists f$. Ici, la question n'est pas une question d'existence, et donc le raisonnement par l'absurde n'est pas illégitime (selon les constructivistes).
EDIT : je me rends compte que je n'ai aucune idée d'une éventuelle différence entre intuitionniste et constructiviste.
NB COQ est intuitionniste. Aucun raisonnement par l'absurde n'est utilisé.
(* 10/06/2019 ce code compile avec COQ 8.7*) Definition divise (a b:nat):= exists n:nat, b = a * n. Notation "a | b" := (divise a b) (at level 51). Lemma asso_somme: forall (p q r:nat), (p + q) + r = p + (q + r). Proof. induction p. intros. simpl. reflexivity. intros. simpl. apply eq_S. apply IHp. Qed. Lemma commute: forall x y:nat, x+y = y+x. Proof. induction x. intros. simpl. apply plus_n_O. intros. rewrite <- plus_n_Sm. simpl. apply eq_S. apply IHx. Qed. Lemma distrib: forall p q r:nat, (p+q)*r = (p*r) + (q*r). induction p. intros. simpl. reflexivity. intros. simpl. rewrite IHp. simpl. rewrite asso_somme. reflexivity. Qed. Lemma asso_prod: forall x y z:nat, (x * y) * z = x * (y * z). Proof. induction x. intros. simpl. reflexivity. intros. simpl. rewrite <-IHx. apply distrib. Qed. Lemma addition_reguliere: forall x y z:nat, (x+y) = (x+z) -> y = z. Proof. induction x. intro. intro. simpl. intro. assumption. intro. intro. simpl. intro. apply IHx. apply eq_add_S. assumption. Qed. Lemma somme_nulle: forall x y:nat, x+y = 0 -> (x = 0 /\ y = 0). intros. destruct x. destruct y. split. reflexivity. reflexivity. simpl in H. absurd (S y = 0). discriminate. assumption. simpl in H. absurd (S (x+y) = 0). discriminate. assumption. Qed. Lemma divise_difference: forall n m k:nat, k | m -> k | m + n -> k | n. Proof. assert ( forall n m k a:nat, (k*a+m = k*n -> exists b:nat, m = k*b)) as L. induction n. intros. rewrite <-mult_n_O in H. assert (k*a = 0 /\ m = 0). apply somme_nulle. assumption. exists 0. rewrite <- mult_n_O. apply H0. intros. destruct a. rewrite <- mult_n_O in H. simpl in H. exists (S n). assumption. rewrite <- mult_n_Sm in H. rewrite <- mult_n_Sm in H. simpl in H. apply IHn with (a:=a). apply addition_reguliere with (x:=k). apply eq_trans with (y := (k + k*a) + m). apply eq_sym. apply asso_somme. rewrite commute with (x:=k) (y:= k*a). rewrite <- commute with (x:=k*n) (y:=k). assumption. intros. destruct H as (a,Ha). destruct H0 as (p,Hp). rewrite Ha in Hp. apply L with (a:=a) (n:=p). assumption. Qed. Lemma neuf: forall (n:nat), 3*(3*n) + n = 10 * n. Proof. intros. assert (forall n:nat,1*n = n) as L. intros. simpl. rewrite <- plus_n_O. reflexivity. rewrite <- asso_prod. apply eq_trans with (y:=3 * 3 * n + 1 * n). rewrite L. reflexivity. rewrite <- distrib. simpl. reflexivity. Qed. Lemma power10: forall n:nat, 3 * (3 * (Nat.pow 10 n)) + (Nat.pow 10 n) = Nat.pow 10 (S n). Proof. intros. apply neuf. Qed. Lemma division_par_3_10pn: forall n:nat, (3 | Nat.pow 10 (S n)) -> (3 | Nat.pow 10 n). Proof. intro. rewrite <- power10. apply divise_difference. exists (3* Nat.pow 10 n). reflexivity. Qed. Lemma trois_un: ~(3 | 1). Proof. assert (forall n:nat, exists m:nat, 3 * (S n) = S (S m)) as L. induction n. exists 1. reflexivity. destruct IHn as (k,Hk). exists (3 + k). rewrite <-mult_n_Sm. rewrite Hk. rewrite commute with (x:= S (S k)) (y := 3). reflexivity. intro. destruct H as (d,Hd). apply eq_sym in Hd. destruct d. absurd (3 * 0 = 1). discriminate. assumption. destruct L with (n:=d). rewrite H in Hd. absurd ((S x) = 0). discriminate. apply eq_add_S. assumption. Qed. Theorem trois_ne_divise_pas_les_puissances_entieres_de_dix: forall n:nat, ~(3 | Nat.pow 10 n). Proof. induction n. simpl. apply trois_un. intro. apply IHn. apply division_par_3_10pn. assumption. Qed.Prenons les suites des chiffres après la virgule de $\pi$ en base $10$: $(d_n)_{n\in \N}$, et en base $2$:
$(b_k)_{k\in \N}$. Par exemple les 30 premiers termes de $(b_k)_{k\in \N}$ sont (cf par exemple https://www.brouty.fr/Maths/pi2.html)
$$0010010000 1111110110 1010100010\ldots$$
$(d_n)_{n\in \N}=1415926...$ est plus connue.
Considérons les questions suivantes:
I.1°) Est-ce que l'un des deux chiffres $0$ ou $1$ apparaît une infinité de fois dans la suite $(b_k)_{k\in \N}$ ?
I.2°) Peut-on choisir un des deux chiffres $0$ ou $1$, et prouver que ce chiffre apparaît une infinité de fois dans ladite suite?
(en gros: donner explicitement un exemple de ce qui est annoncé dans la question I.1°)
Et leur analogue pour la base 10.
II.1°) Est-ce que l'un des chiffres de $0$ à $9$ apparaît une infinité de fois dans la suite $(d_k)_{k\in \N}$ ?
II.2°) Peut-on choisir un des dix chiffres de $0$ à $9$, et prouver que ce chiffre apparaît une infinité de fois dans ladite suite?
(en gros: donner explicitement un exemple de ce qui est annoncé dans la question II.1°)
La réponse à la question I.1°) est évidemment oui. Car (par exemple) si ce n'est pas vrai, alors l'ensemble $E_0$ des $n$ tels que $b_n=0$ et l'ensemble $E_1$ des $m\in \N$ tels que $b_m=1$ sont finis. Et alors $\N=E_0\cup E_1$ est fini, ce qui est faux. Donc on a une contradiction et la réponse à I.1°) est affirmative. II.1°) se traite exactement de la même façon.
Quid des autres questions?
Pour I.2°) en fait $0$ et $1$ apparaissent tous deux une infinité de fois parce que $\pi$ est irrationnel (il s'écrirait $a/2^b$ avec $a,b$ entiers sinon. Pour le cas de $0$, songer que $0.001=0.00011111111111\ldots$ -avec une infinité de "$1$" en base $2$).
Bref I.2°) se résout mais en faisant appel à un résultat non trivial (l'irrationnalité de $\pi$)
Quant à II.2°) Cette question est incomparablement plus difficile que les autres. En fait sauf erreur il s'agit d'un problème ouvert qu'on ne sait pas aborder.
Qu'est-ce qu'un raisonnement par l'absurde? C'est un raisonnement qui a la forme suivante: on a une affirmation $\bf A$ que l'on veut montrer, on commence par supposer que $\bf A$ est fausse (i.e. on suppose $\neg \mathbf A$) et on aboutit à une contradiction.
Les raisonnements servant à répondre aux questions I.2°) et II.2°) sont des raisonnements par l'absurde.
Qu'est-ce qu'un raisonnement par contraposition? Encore une forme de raisonnement, cette fois on a deux affirmations $\mathbf A,\mathbf B$ et on souhaite montrer que la négation de $\bf B$ entraîne la négation de $\bf A$ (i.e.l'implication $\neg \mathbf B \Rightarrow \neg \mathbf A$). La contraposition consiste pour cela à supposer $\bf A$ et à en déduire $\bf B$ (autrement dit à prouver $\mathbf A \Rightarrow \mathbf B$)
Le but est souvent d'établir qu'en fait $\mathbf A$ est fausse en s'appuyant sur un $\mathbf B$ dont il est connu (ou au moins facilement prouvable) qu'il est faux. Un exemple de ça est quand vous montrez que $100$ n'est pas un multiple de $3$ ($\neg \bf A$). Vous supposez qu'il l'est $(\bf A)$et au bout du compte arrivez à "$1$ est un multplie de $3$" $(\bf
Le raisonnement par contraposition est compatible avec les exigences de l'intuitionnisme.
Ce qu'a montré la découverte de l'intuitionnisme est qu'il existait une dissymétrie entre $A$ et $\neg \neg A$ et que la logique classique masquait la différence potentiellement énorme entre montrer qu'une chose existe (sans quoi il y aurait une contradiction) et exhiber vraiment cette chose (si vous laissez votre vtt dans la rue pour aller à l'épicerie et que vous découvrez à votre retour l'antivol scié et le vélo disparu, vous allez conclure "il existe un coupable", savoir qui est une autre histoire).
La différence entre contraposition et raisonnement par l'absurde disparaît d'ailleurs en logique classique, surtout si les connecteurs sont définis à partir d'autres ($X\Rightarrow Y$ et $\neg X \vee Y$ ne sont pas équivalents en logique intuitionniste).