Bissectrice d'un angle

La bissectrice est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l'angle ( et le partage en deux angles de même mesure).
Parler de demi-droite, au collège, suffit puisque le point de concours des bissectrices du'un triangle, se situe à l'intersection des demi-droites.

@Dom : ;-)

@Pour les petites têtes de toutes les couleurs :

Définition d'un angle : réunion de deux demi-droites de même sommet, les côtés de l'angle.
Distinction immédiate entre un angle et sa mesure (en degrés), comprise entre 0° et 180°, bornes comprises.
On peut additionner les mesures, pas les angles (1er dessin). Expliquer ce qu'est un abus de langage.
Deux segments de même sommet ou un triple ordonné de points déterminent un angle.

Positionner un losange avec un sommet placé au sommet de l'angle et un sommet sur chaque côté de l'angle.
La demi-droite dont le sommet coïncide avec celui de l'angle et qui passe par le sommet opposé du losange
est la bissectrice intérieure de l'angle. Construction.

Suite : Discussion. Que pourrait-on appeler "bissectrice extérieure ?
ETC.

@Dom et d'autres.

Le terme "Angle" reccouvre plusieurs concepts
que l'on ne distingue pas toujours clairement.
A preuve ses apparitions récurrentes dans le
forum. Tous ont une mesure que l'on tente
d'additionner avec plus ou moins de succès.

Distinguo ;

(1) L'angle g. est un triple ordonné de points : $\angle(ABC)$ .
Sa mesure est donnée par
$$
\mu\angle(ABC) := \arccos\frac{|BA|^2+|BC|^2-|AC^2|}{2|BA||BC|}
$$
Voir Berger, Lang, et d'autres. Sa mesure $\in[0,\pi]$
La configuration cruciale ici est celle de Stewart :
trois points $(BCD)$ alignés dans cet ordre plus un autre point $A$ du plan.
Les distances deux à deux de ces points vérifient la relation de Stewart :
$$
|CD||AB|^2-|BD||AC|^2+|BC||AD|^2-|CD||BD||BC| = 0
$$
Une conséquence immédiate de la nullité du déterminant de Cayley-Menger
$CM_4(A,BCD)$ . Avec cette relation et un logiciel de calcul on montre que
$\mu\angle(ABC) = \mu\angle(ABD)$ ce qui permet de définir la mesure
de l'angle des demi-droites $[BA\infty[$ et $[BC\infty[$ .
Deux avantages de l'angle g. : sa définition fonctionne en toute dimension
et on n'a pas besoin d'orienter le plan.

A SUIVRE.

Ah ! Ces angles qui ne cessent de nous tarabuster depuis soixante ans au moins !
Voir les nombreux fils qui en ont parlé sur ce forum...
J'avoue que je ne comprends pas bien le caractère d'« autre concept » d'angle pour ce que Soland définit ici, car c'est la mesure de l'angle orienté
« définie modulo $2 \pi $ », on ne peut plus classique.
Alors son angle $\angle( \overrightarrow{A_{i-1}A_{i}} , \overrightarrow{A_iA_{i+1}} )$ n'est ni « intérieur » ni « extérieur » à quoi que ce soit, c'est juste la mesure de l'angle orienté de deux vecteurs non nuls, modulo $2 \pi $.
La somme de tous les angles de la ligne polygonale fermée $F:=(A_0,A_1,A_2, ... , A_{n-1},A_0)$ sera pour lui si j'ai bien compris la somme : $\angle( \overrightarrow{A_{0}A_{1}} , \overrightarrow{A_1A_{2}} )$$+\angle( \overrightarrow{A_{1}A_{2}} , \overrightarrow{A_2A_{3}} )+...$$+\angle( \overrightarrow{A_{n-3}A_{n-2}} , \overrightarrow{A_{n-2}A_{n-1}} )$$+\angle( \overrightarrow{A_{n-2}A_{n-1}} , \overrightarrow{A_{n-1}A_{0}} )$$+\angle( \overrightarrow{A_{n-1}A_{0}} , \overrightarrow{A_{0}A_{1}} )$.
Il est bien connu que le grand mérite de cette mesure d'angle orienté c'est de satisfaire à la relation de Chasles. Cette somme est donc $0 $ modulo $2 \pi $, ce qui ne donne aucun renseignement intéressant.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Heuristique :
On imagine une bébête parcourant le contour d'une ligne polygonale fermée et
on additionne les angles de rotation qu'elle effectue. Quand elle retrouve son point
de départ la somme est l'intégrale de ces angles sur un tour complet.
Elle vaut $2\pi$ pour toutes les lignes homéomorphes au cercle, sans utiliser le concept
d'angle rentrant (! Chaurien !)( Dessin de gauche).

Th. La somme des angles extérieurs d'un polygone convexe est $2\pi$ .
Dans tous les cas l'intégrale est un multiple de $2\pi$ .

Calculs, en angles droits.
A gauche : $1+1-1+1.5+0.5+1=4$
A droite : $1.5-1.5-1.5+0.5+1=0$