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Bissectrice d'un angle

Envoyé par Arturo 
Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
Bonsoir,

sur un autre sujet, il est évoqué la notion de bissectrice.

Voici une définition :
"La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de celui-ci et qui le partage en deux angles de même mesure".

1) Je me lance : droite ou demi-droite ?
Intérêts et inconvénients de l'un et de l'autre ?
J'ai souvent vu écrit "demi-droite" mais parfois "droite" : pourquoi il n'y a pas consensus ?

2) Indiqueriez-vous que la bissectrice "passe" par le sommet de l'angle" ?
Je l'ai très peu vu écrit dans les définition que j'ai trouvées et je me demande pourquoi.

Merci pour vos retours.
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
avatar
La bissectrice est la demi-droite qui a pour origine le sommet de l'angle ( et le partage en deux angles de même mesure).
Parler de demi-droite, au collège, suffit puisque le point de concours des bissectrices du'un triangle, se situe à l'intersection des demi-droites.
Dom
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
Première approche : la symétrie axiale.
Pour un segment : deux axes de symétrie, l’un s’appelle la médiatrice du segment.
Pour un angle : en général un seul axe de symétrie, au plus deux, l’un est s’appelle la bissectrice du segment.

Deuxième approche : l’équidistance
Pour la médiatrice, c’est connu
Pour la bissectrice, ça ne marche qu’avec la demi-droite (sinon on obtient une demi droite et une sorte de triangle)

Bon, je n’ai jamais su me décider.
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
Okay.

@Dom : tu pourrais m'en dire plus quand tu dis : "Pour la bissectrice, ça ne marche qu’avec la demi-droite (sinon on obtient une demi droite et une sorte de triangle)", s'il te plait ?
Dom
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
Dans ce fil et plus particulièrement grâce au merveilleux message de Soland, que je salue, on voit les points équidistants des côtés d’un angle.

[www.les-mathematiques.net]

C’est même un fil en plein dans le thème.
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
Merci Dom, j'ai lu le fil entièrement dans le détail.

Le pour et le contre "droite" VS "demi-droite" n'a pas l'air clair.

A priori, considérer les deux est correct donc la définition
"La bissectrice d'un angle est la droite qui passe par le sommet de celui-ci et qui le partage en deux angles de même mesure"
aussi.

Me trompe-je ?
Dom
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
Pour la définition ça ne pose pas de problème.
Même ci « partager » est un mot empirique mais pas mathématique dans ce contexte.
Sans dire qu’il faut le bannir.

Remarque : quand on considère les côtés de l’angle plutôt comme des droites, ça pousse à considérer les bissectrices intérieures et extérieures. La caractérisation avec la distance fonctionne avec des angles de droites.
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
avatar
@Dom : winking smiley

@Pour les petites têtes de toutes les couleurs :

Définition d'un angle : réunion de deux demi-droites de même sommet, les côtés de l'angle.
Distinction immédiate entre un angle et sa mesure (en degrés), comprise entre 0° et 180°, bornes comprises.
On peut additionner les mesures, pas les angles (1er dessin). Expliquer ce qu'est un abus de langage.
Deux segments de même sommet ou un triple ordonné de points déterminent un angle.

Positionner un losange avec un sommet placé au sommet de l'angle et un sommet sur chaque côté de l'angle.
La demi-droite dont le sommet coïncide avec celui de l'angle et qui passe par le sommet opposé du losange
est la bissectrice intérieure de l'angle. Construction.

Suite : Discussion. Que pourrait-on appeler "bissectrice extérieure ?
ETC.


Dom
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
Juste une réserve soland, au sujet des mesures d’angles.
J’en ai déjà parlé.

Les angles d’une étoile par exemple et plus généralement d’une figure concave ont une mesure plutôt supérieure à 180°.
Re: Bissectrice d'un angle
il y a deux mois
avatar
@Dom et d'autres.

Le terme "Angle" reccouvre plusieurs concepts
que l'on ne distingue pas toujours clairement.
A preuve ses apparitions récurrentes dans le
forum. Tous ont une mesure que l'on tente
d'additionner avec plus ou moins de succès.

Distinguo ;

(1) L'angle g. est un triple ordonné de points : $\angle(ABC)$ .
Sa mesure est donnée par
$$
\mu\angle(ABC) := \arccos\frac{|BA|^2+|BC|^2-|AC^2|}{2|BA||BC|}
$$
Voir Berger, Lang, et d'autres. Sa mesure $\in[0,\pi]$
La configuration cruciale ici est celle de Stewart :
trois points $(BCD)$ alignés dans cet ordre plus un autre point $A$ du plan.
Les distances deux à deux de ces points vérifient la relation de Stewart :
$$
|CD||AB|^2-|BD||AC|^2+|BC||AD|^2-|CD||BD||BC| = 0
$$
Une conséquence immédiate de la nullité du déterminant de Cayley-Menger
$CM_4(A,BCD)$ . Avec cette relation et un logiciel de calcul on montre que
$\mu\angle(ABC) = \mu\angle(ABD)$ ce qui permet de définir la mesure
de l'angle des demi-droites $[BA\infty[$ et $[BC\infty[$ .
Deux avantages de l'angle g. : sa définition fonctionne en toute dimension
et on n'a pas besoin d'orienter le plan.

A SUIVRE.
Suite de "Bissectrice d'un angle"
il y a deux mois
avatar
(2) L'angle r.
Il est défini comme un couple ordonné de demi-droites $[Sa$ et $[Sb$ de même sommet.
Sa mesure, définie modulo $2\pi$ , est l'angle de la rotation qui trsf. $[Sa$ en $[Sb$ .
Pour ce faire le plan doit être orienté.

Cet autre concept d'angle permet de bientraiter la somme des angles d'une ligne
polygonale fermée $F:=(A_0,A_1,A_2, ... , A_0)$ :
On considère les vecteurs $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ et la somme des angles de rotation
$
\angle( \overrightarrow{A_{i-1}A_{i}} , \overrightarrow{A_iA_{i+1}} )
$
On appelle cette somme "Somme des mesures des angles extérieurs de $F$"
et le tour est joué.
Il suffit ensuite, si vraiment nécessaire, de remplacer "Angle extérieur" par
$"\pi -$ Angle intérieur"

Pas de preuves dans ce texte...
Re: Suite de "Bissectrice d'un angle"
il y a deux mois
avatar
Ah ! Ces angles qui ne cessent de nous tarabuster depuis soixante ans au moins !
Voir les nombreux fils qui en ont parlé sur ce forum...
J'avoue que je ne comprends pas bien le caractère d'« autre concept » d'angle pour ce que Soland définit ici, car c'est la mesure de l'angle orienté
« définie modulo $2 \pi $ », on ne peut plus classique.
Alors son angle $\angle( \overrightarrow{A_{i-1}A_{i}} , \overrightarrow{A_iA_{i+1}} )$ n'est ni « intérieur » ni « extérieur » à quoi que ce soit, c'est juste la mesure de l'angle orienté de deux vecteurs non nuls, modulo $2 \pi $.
La somme de tous les angles de la ligne polygonale fermée $F:=(A_0,A_1,A_2, ... , A_{n-1},A_0)$ sera pour lui si j'ai bien compris la somme : $\angle( \overrightarrow{A_{0}A_{1}} , \overrightarrow{A_1A_{2}} )$$+\angle( \overrightarrow{A_{1}A_{2}} , \overrightarrow{A_2A_{3}} )+...$$+\angle( \overrightarrow{A_{n-3}A_{n-2}} , \overrightarrow{A_{n-2}A_{n-1}} )$$+\angle( \overrightarrow{A_{n-2}A_{n-1}} , \overrightarrow{A_{n-1}A_{0}} )$$+\angle( \overrightarrow{A_{n-1}A_{0}} , \overrightarrow{A_{0}A_{1}} )$.
Il est bien connu que le grand mérite de cette mesure d'angle orienté c'est de satisfaire à la relation de Chasles. Cette somme est donc $0 $ modulo $2 \pi $, ce qui ne donne aucun renseignement intéressant.
Bonne journée.
Fr. Ch.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Suite de "Bissectrice d'un angle"
il y a deux mois
avatar
Depuis longtemps je fais de la publicité pour l'angle vulgaire, celui du rapporteur, qui me semble aussi intéressant que l'angle orienté. De même que l'avènement de la mesure algébrique d'un bipoint ne tue pas la notion de distance. La mesure de l'angle, appelée parfois « écart angulaire ». est un nombre réel compris entre $0$ et $\pi$ pour un angle saillant et entre $\pi$ et $2 \pi$ pour un angle rentrant.

Dans un autre fil, j'avais étourdiment refusé cette notion d'angle rentrant, à quoi il me fut répondu fort justement que ces angles rentrants interviennent dans la question des angles d'une ligne polygonale fermée simple.

La somme des angles intérieurs, saillants ou rentrants, d'une ligne polygonale fermée simple à $n$ sommets, $n \ge 3$, est $(n-2) \pi$. Et la somme des angles extérieurs est $(n+2) \pi$. Mais il ne me semble pas évident de rédiger une démonstration qui ne soit pas une monstration à la chinoise, affichant la figure et disant « voyez ! ».

On peut peut-être commencer par un polygone convexe, où les angles intérieurs sont saillants.

Amateurs d'angles, au travail !

Bonne journée.
Fr. Ch.
Re: Suite de "Bissectrice d'un angle"
il y a deux mois
avatar
Heuristique :
On imagine une bébête parcourant le contour d'une ligne polygonale fermée et
on additionne les angles de rotation qu'elle effectue. Quand elle retrouve son point
de départ la somme est l'intégrale de ces angles sur un tour complet.
Elle vaut $2\pi$ pour toutes les lignes homéomorphes au cercle, sans utiliser le concept
d'angle rentrant (! Chaurien !)( Dessin de gauche).

Th. La somme des angles extérieurs d'un polygone convexe est $2\pi$ .
Dans tous les cas l'intégrale est un multiple de $2\pi$ .

Calculs, en angles droits.
A gauche : $1+1-1+1.5+0.5+1=4$
A droite : $1.5-1.5-1.5+0.5+1=0$


Re: Suite de "Bissectrice d'un angle"
il y a deux mois
avatar
@C.Nadault
cf. Heureka.
Heuristique est un terme métamathématique.

Cogitations préliminaires avant de balancer un pavé Bourbakien.
Discours sur la plausibilité d'une conjecture,
aussi nécessaire qu'une preuve formelle.
La bébête qui tourne est un animal typique du zoo heuristique.
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