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Contraposée du théorème de Thalès

Envoyé par Arturo 
Contraposée du théorème de Thalès
il y a six semaines
Bonjour,

1) Réciproque :
* rapports égaux
* points alignés
Donc droites parallèles.

2) Contraposée :
* rapports non égaux
* points alignés
Donc droites non parallèles.

Mes collègues m'ont fait remarquer que, dans la contraposée, faire écrire l'alignement des points était inutiles puisque les rapports sont différents.
Or, pour appliquer la contraposée, il me semblait que cela était important.
J'ai un doute.

Par ailleurs, si cela s'évère vraiment inutile, le fait d'écrire l'alignement des points permet aux élèves, me semble-t-il, d'avoir une "méthode à retenir" (celle du 1) et 2)).

Qu'est-ce que vous en pensez ?
Comment faites-vous ?

Merci pour cet échange.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Arturo.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a six semaines
Tu as écrit réciproque à la place de contraposée.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a six semaines
Merci Kioups, je viens de modifier.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a six semaines
Bonjour.

Peux-tu écrire vraiment le théorème tel que tu l'utilises, qu je puisse comprendre quelle est la contraposée ? A priori, pour moi, la configuration de Thalès, c'est deux droites coupées par 3 parallèles, avec le cas particulier où il n'y a pas trois droites, mais on utilise l'intersection des deux premières droites. La conclusion est que des rapports sont égaux. La contraposée est que si les rapports sont inégaux, on n'a pas la configuration. Donc pas nécessairement des sécantes non parallèles.

Cordialement.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a six semaines
C’est vrai.
Pour la contraposée c’est inutile.

L’usage étant de proposer un seul modèle de rédaction pour faciliter les choses.

1) le théorème dit :
Si deux droites sécantes coupent deux droites parallèles, alors avec les points ... on a :
AB/AM=AC/AN

Et, en prime, on a même l’égalité avec BC/MN.
Mais ça, en gros ça se démontre après.
C’est une des raisons pour laquelle on n’en parle pas ni dans la contraposée ni dans la réciproque.

2) la contraposée dit alors :
Si deux droites sécantes coupent deux droites, et si AB/AM$\neq$AC/AN, alors ces droites là ne sont pas parallèles.
On se fout de l’ordre des points (enfin, ils sont sur les droites dont on parle... et pas n’importe où).

3) la réciproque dit :
Si AB/AM=AC/AN et [...]
alors les droites sont parallèles.

Mais attention, on peut trouver des situations (qui sautent aux yeux en général, et on ne se poserait même pas la question, d’ordinaire) ou les droites peuvent en couper deux autres sans que ça ne suffise à avoir du parallélisme.
Ainsi dans le [...] on dit bien parler de l’ordre des points.

Enfin :
On peut avoir AB/AM=BC/MN et le bon alignement des points sans que les droites soient parallèles.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a six semaines
Comme le dit Gérard, les théorèmes usuels dits « directs » et « réciproques » ne le sont pas tellement.
C’est en les écrivant proprement qu’on peut réfléchir.

C’est une vulgaire fraude.
L’usage, le manque de temps, la course au programme... n’arrangent rien.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a six semaines
Je dois reconnaître que je n'ai jamais vu de réciproque ou de contraposée du théorème de Thalès dans mes études, le théorème suffisait, avec les habitudes de démonstrations "par l'absurde" : "si les droites .. sont parallèles, alors ... ce qui est faux. Donc les droites ne sont pas parallèles". On faisait ça dans les classes de troisième et secondes de mon époque, tous les instituteurs savaient faire (concours d'entrée très sélectif aux écoles normales d'instituteurs). Mais c'était une courte partie des programmes de troisième, avec les cas de similitude des triangles, les propriétés métriques des triangles rectangles, la trigo du triangle rectangle, les fonctions affines, les équations de droites, les factorisations par les identités remarquables, j'en passe sans doute.

Cordialement.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a six semaines
Rien que pour la réciproque,

« Parallèles » => « AB/AM=AC/AN=BC/MN »

Devrait être

« AB/AM=AC/AN=BC/MN » => « Parallèles »

Et déjà, là, on voit le sabotage. Personne ne vérifie les trois rapports... et même dans les sujets on ne pourrait pas appliquer ce théorème. Le passage « si on a deux égalités alors on a les autres » est escamoté, parfois totalement non évoqué.

Je le répète, je ne jette pas la pierre aux profs du secondaire.
L’usage et le « pfff de toute manière.... » ont raison des scrupules.


remarque : c’est beaucoup plus propre avec Pythagore.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Désolé de revenir aussi tard sur le sujet : c'est un peu la course en ce moment.

Pour la contraposée : même si écrire l'alignement des points est inutile, cela permet aux élèves de ne retenir qu'un modèle de rédaction (en lien avec celle pour la réciproque).
Donc les deux (avec indication de l'alignement des points et sans indication de l'alignement des points) sont corrects ou vous avez une préférence pour l'une d'entre elles ?
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
La question est toujours... dans la question posée...

Le sens direct dit que :
si on a deux alignements,
et
si on a des parallèles,
alors on a des rapports égaux.

Quelle peut bien être la contraposée de cette proposition ?

Si l'on demande aux élèves de démontrer que l'on n'a pas de parallèles, de quoi a-t-on besoin ?
Si l'on demande aux élèves de démontrer que l'on n'a pas deux alignements, de quoi a-t-on besoin ?

Mais bien sûr, étrangement, on ne pose jamais la deuxième question...

Et, au cas où ce ne serait pas clair, je ne suis pas d'accord avec ce qu'a écrit Dom plus haut.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Eric.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
C'est bizarre, Arturo,

tu poses sans arrêt des questions sur des précisions de mots, et là, tu restes complètement dans le flou sur un proposition à contraposer, tu te refuses à répondre à la question "Peux-tu écrire vraiment le théorème tel que tu l'utilises ?". Tu es quand même un peu léger !! Serais-tu assez niais pour croire qu'il n'y a qu'une seule écriture de ce que tu appelles "théorème de Thalès" ?
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Dans toute cette pagaille pédagogique (mais pas que (?)), je prends le partie de ne préconiser qu’un seul modèle.
En effet, c’est de la récitation sans comprendre.

Par contre, attention, si l’élève choisit une rédaction non préconisée, et si elle est juste, le prof doit le savoir et doit valider ce qui est juste même si ce n’est pas « son modèle ».
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Je reprends ce que j'ai déjà écrit et je complète ... (et je continue à jeter un voile pudique sur la position relative des points... comme si ça va de soi...)

Le sens direct dit que :
si on a deux alignements,
et
si on a des parallèles,
alors on a des rapports égaux.

Quelle peut bien être la contraposée de cette proposition ?

Si les rapports ne sont pas égaux alors
il n'y a pas de parallèles
ou
il n'y a pas deux alignements.

Il faut un poil d'imagination (mais un petit poil) et une seconde de réflexion pour concevoir une figure avec rapports différents et parallèles (et bien sûr il va manquer un alignement).
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
avatar
Citation
Eric
Il faut un poil d'imagination (mais un petit poil) et une seconde de réflexion pour concevoir une figure avec rapports différents et parallèles (et bien sûr il va manquer un alignement).

Comme ici (image clickable, tiré du cahier d’exercices de Sésamath de troisième) :


Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Non, car sur cet exemple, on a égalité des rapports et absence de parallèles. Ce qui est visé est la position relative des points.

Et d'ailleurs, je pense que Arturo ou ses collègues ne pensent même pas aux alignements (qui je suis prêt à parier leur semblent évident), mais en fait à la position relative des points sur les alignements.

Effectivement, si on a les alignements et que les rapports ne sont pas égaux, alors il n'y a pas de parallèles et on a envie de dire qu'il est inutile de parler de position relative des points. Et Dom d'ajouter qu'on ne le fait que pour avoir une rédaction uniforme. Sauf que le problème me semble un poil plus intéressant qu'un bête conformisme.

"On" ne commence pas par calculer deux rapports sans aucune rédaction, pour constater qu'ils sont égaux ou différents et ensuite rédiger les alignements et un éventuel parallélisme. "On" commence par rédiger les alignements, constater que la position relative des points sur ces alignements est correcte (puisque les mesures algébriques ont disparue), et seulement arrivé là, écrire des rapports pour se demander s'ils sont égaux à un sens. Écrire des rapports sans préciser au préalable les alignements et les positions relève de l'absurde. Bien sûr, jamais sanctionner sur une copie, surtout une copie d'examen. Père Ubu est au pouvoir.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Non, Gérard0, je ne suis pas assez niais mais j'ai cru à une question rhétorique.

La "contraposée" du théorème de Thalès n'est rien d'autres que celle que l'on apprend en 3ème et ce, depuis plusieurs années.

Contraposée :
Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les droites A, N et C
et si AM / AB différents de AN / AC
Alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Pour information,
* la réciproque :
Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les droites A, N et C
et si AM / AB = AN / AC,
Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

* le théorème :
Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A
et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
ALORS AM / AB = AN / AC = MN / BC.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Arturo.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Question que je me pose aussi : pourquoi ne pas parler de l'alignement des points dans le théorème plutôt que de passer par l'idée des droites ?
En effet, l'alignement des points est un "point" important dans la réciproque (la contraposée) donc, pour "faciliter" l'apprentissage des élèves dans cette notion, on peut aussi faire référence à l'alignement des points dans le théorème il me semble.

Cf. une copie du théorème dans un manuel de 3ème.
La rédaction n'est pas représentative des autres manuels.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Arturo.


Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
En effet, Éric, une rédaction type est :

Les points A, B, C d’une part et A, M, N d’autre part sont alignés dans cet ordre.
Calculs ou autres permettant de savoir si les deux quotients sont égaux


Et à partir de là,
égalité => parallèles (grâce à la réciproque)
non égalité => non parallèles (grâce à la contraposée)

Remarque : tous les cas bizarres sont certainement à étudier mais parfois les profs courent après le temps.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Éric :
Il y a une précision à apporter quand tu dis « il y a des rapports égaux ».
En effet, s’il y en a trois, alors la contraposée et la réciproques devraient en contenir trois aussi.

C’est l’autre « problème » de ces termes « théorème, réciproque et contraposée » dans ce cas d’espèce mal fichu.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Non, car le théorème de Thalès donne deux rapports égaux et une application de ce théorème (cela figurait dans tous les bouquins de 3èmes jusque dans les années 60, je n'ai pas vérifié pour la période maths modernes) donne le troisième rapport, qui n'est donc qu'un corollaire du théorème de Thalès.
Si le théorème était (en partie) démontré dans les ouvrages scolaires actuels (guère plus que ce qui était fait il y a 60 ans), son énoncé ne serait pas un "problème" comme tu le dis.

Le vrai problème entre sens dit direct et sens dit réciproque est cette histoire de position relative des points, prix à payer pour la disparition des valeurs algébriques.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Ok.
On est d’accord, c’est ce que je disais là : [www.les-mathematiques.net]
Je suis d’accord aussi avec la suite de ton message.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Arturo,

j'espère qu'on n'enseigne pas vraiment ce que tu as écrit :
Citation
texte le 8/4 à 18h
Contraposée :
Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les droites A, N et C
et si AM / AB différents de AN / AC
Alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
(c'est moi qui ai mis en gras).

En tout cas, ce n'est en rien une contraposée du théorème que tu cites :
"Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A
et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
ALORS AM / AB = AN / AC = MN / BC.

dont la contraposée est
"Pour 5 points A, B, M, C, N deux à deux distincts,
S'il est faux que AM / AB = AN / AC = MN / BC,
ALORS il est faux que :
les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Tu peux essayer de le retraduire comme tu veux, ça ne donnera jamais ton théorème, même réécrit correctement. Ton théorème est en fait une conséquence de cette contraposée.
Tu es sûr que c'est au programme avec ce nom (contraposée) ? Si c'est vrai, les concepteurs du programme sont devenus fous. Si c'est seulement dans un bouquin, le bouquin est à jeter.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Je viens de lire les programmes, il y a seulement "Théorème de Thalès et réciproque". Pas de contraposée.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Le document suivant (pages 34,35,36) propose une façon intéressante d'énoncer le théorème de Thalès:
[docs.irem.univ-paris-diderot.fr]
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Le mot contraposée n'est pas au programme en collège (d'ailleurs, la logique n'est pas au programme en collège et c'était même en toutes lettres dans un programme récent). Mais certains profs (dont je fais partie) préfèrent nommer les choses. Et donc, certains profs choisissent d'utiliser le mot contraposée en cours, même (et surtout) si c'est hors programme.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Gérard,
pourquoi dis-tu "les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les droites A, N et C" que ceci ne convient pas ?

Je suis d'accord avec le reste et je comprends toutes tes remarques.
Je le dis d'ailleurs aux élèves, les termes "réciproques" et "contraposée" sont des abus de langage.

Dom : moi, je suis preneur d'une rédaction claire (et rigoureuse), que ce soit du théorème, de sa "réciproque" et de sa "contraposée" et je veux bien passer du temps à expliquer les choses si elle sont justes et tiennent debout mathématiquement.

MAIS je n'ai jamais vu une une rédaction d'une réciproque du théorème de Thalès ou de sa contraposée qui corresponde à la définition même d'une réciproque" (au sens si A => B, alors réciproque B => A)) ou d'une contraposée (Non B => Non A).
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
@ Arturo Ce ne ne sont pas les droites A, N, C, mais les points A, N ,C.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
@Eric, merci.
Tellement c'était "évident" que l'erreur ne m'avait pas sauté aux yeux.
Je fais partie, comme toi, de ces gens qui, comme tu le dis, préfère nommer les choses.
"Réciproque" et "contraposée" ne sont utilisées, pour moi que pour le théorème de Pythagore et Thalès.

@Gérard : tu es taquin quand même, tu m'avais compris. :)

@Stefann : merci pour ce document.
Je me suis déjà posé la question en effet : qu'est-ce que le "contexte", qu'est-ce qui est supposé.
Dans le théorème de Pythagore, le contexte est "triangle".
L'hypothèse sur ce triangle est "rectangle".
Pourtant, on cite "Si un triangle est rectangle, ..." : on fait du "deux en un".
Il paraît, je pense, important de dissocier les deux.
On pourrait imaginer :
* "Dans n'importe quel triangle, SI celui-ci est rectangle, ALORS..."
ou, avec des lettres
* "Dans n'importe quel triangle ABC, SI celui-ci est rectangle en A, alors BC² = BA² + AC²".



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
J'utilise "théorème dit réciproque du théorème de Thalès". Pas de contraposition là dedans !!!
[www.youtube.com]
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Arturo,
1) je t'ai dit que j'avais compris (" ... ton théorème, même réécrit correctement"). J'ai mis en gras ce qui posait problème, même sans être taquin, le fait que tu le lises en fonction de ce que tu voulais écrire et pas en fonction de ce qui est écrit est un peu inquiétant.
2) "Je fais partie, comme toi, de ces gens qui, comme tu le dis, préfère nommer les choses". Alors nomme-les correctement. Si ce n'est pas une contraposée, ne l'appelle pas "contraposée". Toi qui demandes toujours à ce que les mots aient un sens précis (et unique), tu devrais y être sensible.
3) Dire aux élèves que c'est un abus de langage est rajouter une couche de confusion à une erreur ... Pour quoi donner des noms faux pour ensuite dire qu'ils sont faux ?
4) Il vaudrait mieux apprendre aux élèves à raisonner. "Dans cette situation, si les droites sont parallèles, alors ... mais c'est faux, donc les droites ne sont pas parallèles. Libérer la mémoire au profit de l'intelligence.

Cordialement.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Okay, je vois.

Mais que faire avec la "réciproque" du théorème de Thalès qui n'en est pas non plus une ?
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
C'est bien la réciproque d'un théorème, lui aussi appelé Théorème de Thalès, mais qui n'est pas celui qui est nommé comme ça au collège. Tu n'y peux rien.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
C'est le nom traditionnel, et c'est un vrai théorème réciproque (et non pas "la" réciproque du théorème de Thalès). Donc tu suis les instructions officielles. Si j'avais à enseigner ça, je présenterais le théorème de Thalès, puis, un peu plus tard, un théorème réciproque de Thalès, ce qui ne mange pas de pain (réciproque au sens "qui va dans l'autre sens", pas au sens logique). Et je ne perdrais pas de temps à parler de "réciproque" en logique - ni de contraposée.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Gérard : quelle différence fais-tu entre "le théorème réciproque de Thalès" et "la réciproque du théorème de Thalès" ?
Comment énonces-tu chacun d'eux en collège ?
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Un théorème peut se mettre sous la forme A==>B. La réciproque du théorème (mot de logique basique) est B==>A.
Un théorème réciproque (phrase de français courant, dite dans le domaine des maths) est un théorème qui "marche dans l'autre sens"; exemple : le théorème réciproque de Thalès.
Tu perds un temps fous à croire qu'un mot n'a qu'un seul sens, indépendamment de la façon dont on l'emploie. Tu dois avoir des problèmes tous les jours dans ta vie pratique (chez le boulanger, c'est une flûte ou un pain parisien ? Une chocolatine ou un pain au chocolat ?).

Cordialement.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
avatar
@Arturo : voici une vidéo pour enseigner la notion de réciproque à des élèves de quatrièmes.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Un extrait de cette vidéo : "Pour fabriquer des diagonales, il suffit juste que mes deux segments se croisent". Heureux d'apprendre que tous les quadrilatères sont convexes ...
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Houlala, la vidéo est très fautive.

Je ne critique pas la vulgarisation, entendons-nous bien et parler de propriété vraie ou de propriété fausse ne me dérange pas non plus. Et il y a d’autres petits détails qui m’embêtent (comme relevé par Éric).

Mais surtout :
Il dit « la propriété de départ n’admet pas de réciproque » au lieu de dire, par exemple, « la réciproque de la propriété de départ est fausse ».
Dès le départ d’ailleurs on le sent venir car il dit « est-ce que cette propriété admet une réciproque ? ».

C’est bizarre quand même.
Mettre dans la tête des gens (jeunes évidemment...) que des propriétés de la forme A=>B peuvent ne pas avoir de réciproque, c’est presque irresponsable.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Gérard, je ne vois pas bien la différence entre la réciproque d'un théorème (B => A) et le théorème réciproque (un théorème qui "marche dans l'autre sens").
Tu pourrais me donner, s'il te plaît, un exemple concret ?

P.S. : je ne vais pas chez le boulanger, cela m'évite les problèmes. :)
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Désolé, mais si tu ne vois pas, je ne peux rien faire pour toi. Et comme on part justement d'un exemple précis, si tu ne vois pas le rapport, inutile de continuer, ça veut dire que tu ne comprends pas ce qu'on t'écrit.

Tant pis !
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
avatar
Je vous trouve un peu dur avec Monka. Plusieurs fois il insisté sur l’existence ou non de la propriété réciproque et effectivement parfois le mot propriété a été zappé mais pas de quoi fouetter un chat pour une vidéo destinée à des quatrièmes.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Mais voyons biely, je ne critique pas de simples vulgarisations.

Il dit que « s’il pleut alors le sol est mouillé » n’a pas de réciproque.

Il dit que « si ABCD est un rectangle alors ABCD a des diagonales de même longueur » n’a pas de réciproque.

C’est évidemment faux !

Je me demande s’il le sait d’ailleurs...

Et que ce soit dit à des 4e, je trouve ça étrange (enfin a n’importe qui d’ailleurs).
Ma question : s’il sait que c’est faux, pourquoi le faire exprès ?


Remarque : je ne sais pas s’il on peut rédiger un commentaire, s’il faut « s’inscrire » etc.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
avatar
Dom
Monka est agrégé et jamais il a dit sur cette vidéo que ’’si il pleut alors le sol est mouillé’’ n’a pas de réciproque. Je pense qu’il dirait que la réciproque est fausse et non qu’elle n’existe pas. Le problème est dans la définition du mot propriété. Il parle bien (et il l’écrit même) de l’existence ou non de la propriété réciproque même si effectivement le mot propriété est parfois oublié. C’est loin d’être aussi facile que cela d’expliquer proprement. Il ’’inverse’’ les ’’si’’ et ’’alors’’ donc il considère bien que la réciproque existe toujours mais il précise bien à 2:46 ’’si la propriété réciproque existe’’.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Hum...
Bon, d’abord, agrégé ou pas agrégé, l’erreur est humaine.

Alors pour lui, tu crois que « propriété » signifie « chose vraie » ?
Du coup parlerait-il de « propriété fausse » ?
Le terme « réciproque » n’en a que faire que ce soit vrai ou faux.

Enfin, dans la tête d’un élève, comment on ne maîtrise rien, tout est flou, et je suis certain qu’on entend « certains ”si... alors... ” n’ont pas de réciproque ».

C’est fâcheux.

Remarque : quand je disais « il pleut... » c’était une métaphore et juste en dessous j’ai vite la « propriété » utilisée dans le texte. Il ne laisse jamais penser qu’une réciproque existe toujours.

Édit : quant à la facilité d’expliquer cette notion... si, si, c’est assez simple. Son exemple me va bien d’ailleurs.
Tout le monde fait ça : écrire en couleur l’hypothèse et en une autre couleur la conclusion, puis « l’échange », etc.
L’échange brut pose d’ailleurs parfois problème mais ça c'est autre chose.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Dom.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
avatar
Dom
Oui, je pense que pour lui ’’propriété’’ signifie "chose vraie’’ et pour le coup je ne suis pas sûr que mettre dans la tête d’un collégien qu’une propriété peut être vraie ou fausse soit une bonne idée car cela risque de mettre le bazar et le doute quand dans leurs cours ou manuels il est écrit ’’propriété: blablabla’’.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Vers 2’30 :

1) « La propriété réciproque, si elle existe, attention, [...] »

2) « Vérifions si cette propriété est vraie »

Dans ces deux phrases 1) et 2), ce n’est donc pas le même sens du mot « propriété ».

3) « Vérifions si la propriété de départ admet effectivement une réciproque. »

Hum... c’est au mieux confus tout ça.
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Est ce que l'on a la réciproque ?
Non, on n'a pas la réciproque, elle est fausse.

Que faudrait-il pour avoir la réciproque, rajouter se coupent en leur milieu.
Alors la réciproque est vraie. On a la réciproque.

De mon temps cela passait super bien
il me semble.
Alors qui complique, qui simplifie?

.
Dom
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Pour moi, quel que soit A et quel que soit B,

B=>A s’appelle la réciproque de A=>B.

Et je me fous de ce qui est vrai ou de ce qui est faux.
Je ne crois pas que l’on puisse faire plus simple.

Et à enseigner ce n’est pas plus simple ou moins simple. Là n’est pas la question.
Là, on discute de l’idée que certains assertions n’auraient pas de réciproques, ha si, pardon, des réciproques fausses... bref.

La phrase d’ailleurs est amusante : « on n’a pas la réciproque, elle est fausse ».
C’est qui ce « elle » qui est fausse mais qu’on n’a pas ? grinning smiley
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
avatar
Je dirais plutôt qu’il faut faire la différence entre l’écriture d’une propriété « si A alors B » et sa véracité et souvent, quand on écrit Propriété Machin, on sous-entend qu’elle est vraie. Et pourtant, en pédagogie, on parle souvent de théorème-élève (anglicisme tout moche) pour parler d’une propriété fausse comme écrire $\frac{3+5}{8+5}=\frac{3}{8}$.
On est libre d’écrire des trucs faux en maths (par exemple quand on raisonne par l’absurde) ou même d’écrire n’importe quoi (au risque de ne pas être compris).
Et en plus, le mot de propriété est polysémique, ça n’arrange pas les choses (propriété mathématique, propriété d’un objet mathématique).

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Contraposée du théorème de Thalès
il y a cinq semaines
Plutôt que propriété, pourquoi ne pas parler de proposition ?
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