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Groupes monogènes, groupes cycliques

Envoyé par Jaujac 
Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a six années
Bonjour,
J'étudie les leçons de l'agrégation interne de math et pour la leçon 101 : Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples , le jury dans son rapport conseille de donner des exemples autres que dans Z (sous groupes de (K[X],+), de (R,+), etc.). Quel est l’intérêt de ces autres exemples dans cette leçon et quels exemples pertinents donner ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six années et a été effectuée par AD.
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a six années
Bonsoir,
Si le groupe $(G,+)$ est monogène ou cyclique et $a$ un générateur, l'application $f\ :\ n\to na$ est un morphisme surjectif de $\Z$ sur $G$. Il en résulte qu'un tel groupe est isomorphe à $Z$ ou à $\Z/n\Z$ pour un certain $n\in \N$.
Il y a donc essentiellement deux types de tels groupes, $\Z$ si $f$ est injective et $\Z/\ker f$ si $f$ n'est pas injective.
Par exemple, les sous-groupes discrets de $(\R,+)$ sont monogènes infinis, ceux de $K[X]$ dépendent de $K$. le cas $K$ fini est intéressant à étudier. Exemple : $(\Z/2\Z)[X]$.

Amicalement,
zephir
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a six années
avatar
Ah ! $(\K[X],+)$ donne un exemple de groupe infini sans sous-groupe cyclique infini (ou un groupe infini d'exposant fini).

Pour la peine, voici un secret bien gardé : le sous-groupe engendré par $10$ dans $(\Z/b\Z)^*$ gouverne le développement décimal de $a/b$ (si $\mathrm{pgcd}(a,b)=\mathrm{pgcd}(10,b)=1$). C'est essentiellement écrit ici.
bmf
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Bonjour,
Je cherche un bon développement pour cette leçon pour l'interne. Je ne vois que les sous-groupes de (R,+) mais c'est limite hors sujet (quel livre utiliser pour ce développement d'ailleurs ? J'ai repéré une jolie démonstration très simple sur internet mais pas de référence).
Merci d'avance et bon courage aux admissibles,
Benjamin.
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Bonjour, par exemple le résultat classique suivant :

Soit $\mathbb{K}$ un corps. Alors tout sous-groupe fini de $\mathbb{K}^{*}$ est cyclique
(ou le cas particulier de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$).

Cordialement,
bmf
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Merci, tu as une référence pour la démonstration ?
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Bonjour, c’est archi-classique.
On peut le trouver dans Oraux X-ENS(Francinou-Gianella), dans le livre de G.Skandalis (pour l’agreg interne). Mais un peu partout en fait... Cela constituait quelques questions d’une des épreuves (très) récentes de l’ENS,qui avait pour thème la fonction de Dirichlet.
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Bonjour à tous,

Je travaille justement la preuve dans le FGN.
On est d'accord que la question 1 est inutile car incluse dans la question 2 ?


MrJ
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Formellement, le résultat de la question 1 est inclus dans le résultat de la question 2. Après, si l’énonce est posé comme ça, c’est peut-être parce que la solution proposée pour la question 2 utilise le résultat de la question 1.
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
avatar
bmf
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Bonjour,
Merci pour les informations. Je sais bien que c’est un résultat archi classique id est. Le sens de ma question était aussi de trouver une référence pour une belle démonstration (de préférence complète et sans erreurs) que je puisse exposer à l’oral. Je n’ai pas les livres dont tu parles même si je les ai déjà utilisés. Ce théorème ne se retrouve pas dans toutes les références en algèbre (Bouvier Richard en fait une démonstration partielle, je ne le trouve pas dans le Perrin, ni dans algèbre de Serge Lang par exemple).
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
avatar
@bmf il y a cette preuve classique [fr.wikiversity.org] utilisant l'indicatrice d'Euler.

Il y en a aussi une autre avec l'exposant d'un groupe abélien fini à chercher...
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Bonjour,
Les FGN sont disponible en version numérique le jour J.

Il y a aussi l'étude de la structure de $(\Z/n\Z)^{\times} $ dans le Arithmétique et cryptologie de G. Bailly-Maître (chapitre 6).

L'étude de l'exposant d'un groupe abélien fini est faite dans le Gourdon (ex 10 du chapitre 1) elle permet d'arriver à la conclusion souhaitée.

Il y a aussi une preuve dans Le Frido, encore faut-il être à l'aise avec. (Théorème 6.155)

Je n'ai pas tous les livres sous la main mais je pense qu'on peut trouver ces résultats dans d'autres livres disponibles le jour J. Notamment les Rombaldi.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
bmf
Re: Groupes monogènes, groupes cycliques
il y a cinq semaines
Salut,
Effectivement, le Rombaldi en donne une démonstration page 16. Il en donne d'ailleurs deux démonstrations.
Merci pour les références précises, je vais regarder le Frido et le Gourdon. Je n'ai pas le Bailly-Maître même si j'aime bien le recul qu'il prend sur les notions qu'il aborde (en vidéo winking smiley.
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