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Homographies et petits groupes de Galois

Envoyé par claude quitté 
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 janvier 2017, 13:54
@flip flop
J'ai tiré. Un certain nombre de choses à dire mais plus tard (c'est pas bon de rester trop longtemps au Mcdo).
Besoin d'un coup de main pour $\chi_4(-4)$ ? Je l'ai fait mais au brouillon (à recopier au propre). En attendant, je peux t'envoyer la détermination du symbole de Legendre $\left(2\over p\right)$ (deuxième loi complémentaire de réciprocité), en faisant débarquer les acteurs de manière compréhensible. Des analogies avec $\chi_4(-4) = 1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 janvier 2017, 17:10
avatar
Oui oui, tu peux tout envoyer :)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 janvier 2017, 17:56
@flip-flop
$\chi_4(-4) = 1$, c'est pas prêt (je veux pas t'envoyer du trop sale). En attendant, je t'attache un scan : c'est parce que je connaissais la loi 2-complémentaire que $\chi_4(-4) = 1$ est venu tout seul (c'est plus simple).

Remarques sur ton envoi plus tard. J'ai vu que tu t'étais aligné sur Koblitz pour la convention. Or Koblitz est une exception. Je ne change surtout pas mes affaires ! Dans une somme (de sommes de Jacobi), je préfère trouver le plus possible de termes nuls (et pas $-1$).
J'ai vu également que tu étais resté avec $n^2$ et pas $D$ comme suggéré. Dommage car à la fin, on passe ``à côté d'un truc''. Mais bon, tout cela est positif : je vois que le métier rentre si je peux me permettre. Bravo.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Loi2Complementaire.pdf (489.6 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 janvier 2017, 19:20
@flip flop Remarques sur ton envoi (faut que je recommence le scan, arg)
Page 1 :
trois cardinaux (au lieu de cardinals, et j'ai pas envoyé de MP à Chaurien)
elles sont distinctes (avec un e)
$p$ est un premier impair (sans e). Est ce que tu veux parler de $q$ (qui n'est pas premier) ?
\theta au lieu de theta
On effectue, le changement de variables (avec un s)
virer virgule après effectue

Note : évidemment, cela paraît un tantinet calculatoire. Je n'ai pas tout vérifié car j'avais déjà fait mon propre calcul avec ``mes'' conventions et ``mes'' techniques.

Note : avec $D$ au lieu de $n^2$, on trouverait (je vire le $\chi_4(-4)$ qui vaut 1)
$$
N' = q-1 + \overline \chi_4(D) J(\chi_2) + \chi_4(D) \overline J(\chi_2, \chi_4)
$$
que l'on est incapable de retrouver à partir de $n^2$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
12 janvier 2017, 21:35
@flip flop
Le scan $\chi_4(-4) = 1$ promis. Cela pourrait être mieux écrit mais j'ai eu la flemme de recommencer.
Toujours en panne d'internet ?
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - KoblitzExoII-2-3p61.pdf (508.5 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 09:03
avatar
Salut Claude,

C'est bon pour internet thumbs down, j'ai fais le calcul $\chi_4(-1)$ et $\chi_4(4)$ dans le cas $q=1 \pmod 8$, j'ai compris deux ou trois trucs élémentaires en passant smiling smiley

Je regarde tes pdfs, merci.



On souhaites évaluer $\chi_4(-1)$ lorsque $q=1 \pmod 8$. Comme nous l'avons dis le groupe $\mathbb{F}_q^*$ est cyclique d'ordre $q-1$, on en déduit qu'il existe un unique sous-groupe $U$ d'ordre $8$ cyclique dans $\mathbb{F}_q^*$, ses éléments d'ordre $4$ sont les carrés des générateurs. Remarquons que $-1$ est un carré dans $\mathbb{F}_q^*$, $\theta^2=-1$ mais il est facile de constater que $\theta$ est d'ordre $4$ et donc c'est le carré d'un générateur de $U$.
Finalement, $-1$ est une puissance $4$, $\chi_4(-1)=1$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/01/2017 09:08 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 09:26
@flip flop
Ok pour internet. Et effectivement, pour $q \equiv 1 \bmod 8$, autant le faire directement comme dans ton post, inutile de passer par la (petite) somme de Gauss $\tau = \omega + \omega^{-1}$. Mais il va bien ``falloir que tu y passes'' pour $q \equiv 5 \bmod 8$. Ne te laisse pas faire en ce qui concerne le ``il va bien falloir que tu y passes''.

Comprendre des trucs : on en est tous là. En enseignant des choses que j'avais bien pigées, j'ai souvent constaté que je n'avais pas tout pigé, justement. Tu ne peux pas imaginer le nombre de choses que j'ai pigées dans ce fil.

Enfin, il va falloir que je te pose une grave question, très grave même. Et j'espère que nous allons être d'accord sur la réponse. Sinon, on va être obligé de se payer les exercices 10 à 17 de Koblitz concernant l'établissement de la relation de Hasse-Davenport. Mais j'ai pas trop envie et peut-être que toi non plus. En réalité, je suis capable de tricher et d'aller voir la preuve (de Hasse Davenport) chez Ireland & Rosen. Peut-être que chez Koblitz, les exercices 10 à 17 sont corrigés (on a intérêt à avoir de bonnes lunettes vue la taille de la fonte utilisée).
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 10:14
avatar
@Claude :
Dans "KoblitzExoII-2-3p61.pdf"

Je pense que tu utilises le petit truc que j'ai compris hier.

Est- ce que tu es d'accord avec le lemme suivant :

Soit $a \in \mathbb{F}_q ^ *$, alors $a$ est une puissance $d$ d'un élément de $\mathbb{F}_q ^ *$ si et seulement si pour tout caractère (multiplicatif de $\mathbb{F}_q ^ *$) $\chi$ d'ordre $d$, on a : $\chi(a)=1$.

Je comprend bien ton "brouillon". Parfait ! C'est encore un peu confus dans ma tête mais ça prend forme smiling smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 10:28
@flip-flop

Le petit truc c'est probablement : pour $z$ appartenant à une extension de $\mathbb F_q$, on a $z \in \mathbb F_q$ si et seulement si $z^q = z$.

Oui je suis d'accord avec ton lemme. C'est la question 4 de la partie I (Agrégation) : on peut remplacer $\mathbb F_q^*$ par un groupe cyclique (cf la formulation dans mon problème) afin de comprendre que la structure de corps n'a rien à voir avec la choucroute.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 11:17
avatar
Pour le cas $q = 5 \pmod 8$, on a $8$ ne divise pas $q-1$, donc il n'y a pas de sous groupe d'ordre $8$ et $-1$ n'est pas une puissance $4$, donc $\chi_4(-1)$ n'est pas égal à $1$. Mais $-1$ est un carré donc $\chi_4(-1)=\chi_2(\theta) \in \{ -1 ,1\}$.



Pour l'autre petit truc : " Le petit truc c'est probablement : pour $z$ appartenant à une extension de $\mathbb F_q$, on a $z \in \mathbb F_q$ si et seulement si $z^q = z$. "

En fait, c'est ce que je voulais dire dans ma footnote concernant : " pour éviter les problèmes considérons une clôture algébrique de $\mathbb F_q$ et son unique extension de degré $r$ (incluse dans la clôture algébrique) qui est simplement l'ensemble des $\zeta \in \overline{\mathbb F}_q$ vérifiant $\zeta^{q^r} = \zeta$"

Parenthèse, en fait, je dis ça car on entend souvent l'histoire " il existe un unique corps de cardinal $p^r$, à isomorphisme prés" . En fait, je n'aime pas cette formulation, le "à isomorphisme près" me reste en travers de la gorge. Si l'on se fixe, une clôture algébrique, le théorème devient il existe une unique sous-extension de $\overline{\mathbb F}_q | \mathbb F_q$ de degré $r$. Le "à isomorphisme près" devient concret c'est juste le choix de la clôture algébrique.

Tu vois ce que je veux dire ? J'ai trouvé cette approche dans un texte de JF. Burnol ici la section 8.

Mais je pense que tu n'aimes pas l'histoire de clôture algébrique, car on ne peut pas en voir (pas constructif, c'est ça ?)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 11:47
avatar
Sinon pour revenir sur notre histoire :

J'attaque la page 59. Il me reste le lemme 1, ensuite la démonstration du théorème (si j'ai bien compris le gros truc c'est "la relation de Hasse-Davenport" et la mauvaise nouvelle c'est que c'est dans les exercices sad smiley ) et ensuite il va falloir tout reprendre ! Y'a encore du travail !
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 11:52
@flip flop
Mais pour $q \equiv 5 \mod 8$, ce n'est pas terminé, n'est ce pas ? Je ne vois pas la chute $\chi_4(-4) = 1$. Je vois mal ?

Quant à cette histoire de clôture algébrique de $\mathbb F_q$, il faut faire comme tu le sens. Je sais bien que les gens aiment bien croire à un paradis dans lequel on s'installe et toutes les bonnes choses dont on a besoin, on va les chercher là-dedans. OK. Sur le papier.

Mais peut-être que la vraie vie, c'est pas cela ? Qu'il faut faire un jour un choix ? Puis le lendemain, en changer. Ou plutôt essayer de le mettre en accord avec le choix du jour d'avant.

As tu réfléchi à la communication entre personnes ? Par exemple, tu utilises maple et tu développes un joli programme avec UN $\mathbb F_{7^{20}}$. Peut-être que de manière souterraine, maple utilise un certain polynôme irréductible $P(X)$ sur $\mathbb F_{7}$ de degré $20$ ? Peut-être aussi qu'il va y avoir des choix d'un générateur du groupe multiplicatif ? Et la production de résultats (ou l'utilisation de données) propres à ces choix ?

Tu en es tellement fier (de ce programme) que tu me l'envoies. Mais manque de pot, moi je travaille en magma qui utilise un autre modèle de $\mathbb F_{7^{20}}$ via un polynôme irréductible $Q(Y)$ sur $\mathbb F_7$ de degré 20.

Comment mettre en isomorphie $\mathbb F_7[X]/\langle P\rangle$ et $\mathbb F_7[Y]/\langle Q\rangle$ ?

Qu'est ce qui va être plus difficile ? D'installer (?) une clôture algébrique de $\mathbb F_7$ ou de réaliser un isomorphisme comme ci-dessus ?

Et il y a aussi, à l'intérieur d'un même monde, le fait de monter plusieurs $\mathbb F_{p^r}$ qui s'emboîtent les uns dans les autres quand il le faut. C'est pas de la tarte (polynômes de Conway, je crois, mais je n'ai jamais regardé).

En guise de résumé, je suis bien d'accord avec toi : le paradis, c'est super bien. Mais la vraie vie se passe parfois ailleurs.

Faut surtout pas se polariser là-dessus. Car il va y avoir bientôt la question (et réponse) qui tue. I.e. Hasse-Davenport ou pas ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 11:54
@flip flop
Non : on va se passer de Hasse-Davenport. On va essayer.
Mais je n'ai plus le temps. Je poserai cet après-midi la question qui tue.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 14:14
avatar
Très jolie Loi2Complementaire.pdf ... Merci

On peut prendre un peu le temps de faire pareil avec $3$ à la place de $2$ ?

Je trouve que $3$ est carré dans $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p = 1 \pmod {12}$ en passant par une racine primitive $12$-ième de l'unité confused smiley

Edit : j'ai oublié $-1$ aussi ...

Pour $5$ à la place de $2$, il faudrait trouver, une extension cyclotomique telle que $\sqrt{5} \in \Q[\zeta]$. Peut-être une racine primitive de degré $10$ confused smiley



Modifié 3 fois. Dernière modification le 13/01/2017 14:34 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 15:04
@flip flop
Sur notre terre, les nombres premiers sont normalisés par le fait qu'ils sont positifs. Il est assez rare que l'on parle du nombre premier $-3$ ; c'est possible, mais inhabituel ; on parle plutôt du nombre premier $3$. Bref, entre $3$ et $-3$, on choisit $3$.
Mais sur Mars, ils ne s'alignent pas sur cette convention : ils ont choisi de normaliser les nombres premiers impairs par la congruence $\bullet \equiv 1 \bmod 4$. Ainsi, la suite de leurs nombres premiers est :
$$
2, \quad -3, \quad 5, \quad -7, \quad, -11, \quad 13, \cdots
$$
De sorte que, chez eux, la loi générale (premiers impairs) de réciprocité quadratique s'énonce ainsi : $p$ est un carré modulo $q$ si et seulement si $q$ est un carré modulo $p$. C'est bien commode, non ? Nous, on est obligé d'introduire $p^* = (-1)^{p-1 \over 2} p$ qui vérifie toujours $p^* \equiv 1 \bmod 4$.

Pour en revenir à la loi de réciprocité pour $3$, ben les martiens ne veulent pas l'établir ! Ils disent qu'il faut d'abord s'occuper de $-3$. Et pour $p \ne 2,3$, le résultat est :
$$
-3 \hbox { carré modulo $p$ } \quad \iff \quad p \equiv 1 \bmod 3
$$
Et ils disent que cela peut-être fait par les petits en considérant le polynôme $X^2 + X + 1$ de discriminant $-3$. Je crois, dans un corps $\mathbb F_p$, qu'il est conseillé, lorsque $-3$ est un carré, de nommer $j$ une de ses racines ...

Et ensuite $3 = (-1) \times (-3)$. Comme quoi, il faut quand même y passer (au modulo 12).

Autre chose. Si un petit te demande : monsieur flip-flop, dans $\mathbb Z[i\rbrack$, cela veut dire quoi, sur $a,b \in \mathbb Z$, que $1+i \mid a+ib$ ? Que $a + ib \equiv 1 \bmod (1+i)^3$ ? Tu l'envoies ch.er ?

Question qui tue, plus tard.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 16:17
avatar
Monsieur Flip-flop, avec les petits, commence toujours par dire : Je ne sais pas, mais on peut réfléchir ensemble ...
et j'enchaîne toujours avec, "bon c'est quoi les définitions ? "

$1+i | a+ib$, donc il existe $c+id$ vérifiant ... blabla ... $a$ et $b$ de même parité ici.

Pour la deuxième, je trouve $a = 1 \pmod 2$ et $b=0 \pmod 2$ sauf boulette.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/01/2017 17:07 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 17:13
@flip flop
Yes (dernier post).

Au fait, dans ton avant dernier post, il faut bien comprendre, pour $p \ne 2,3$, que $3$ carré modulo $p$ si et seulement si $p \equiv \pm 1 \bmod 12$, n'est ce pas ?

Est ce que tu te souviens, qu'il y a quelques jours, tu t'étais proclamé de niveau $0$ en arithmétique, ou quelque chose comme cela ?
Je peux pas m'empêcher de t'attacher un petit quelque chose ; je sais c'est modeste, mais j'ai pas mieux. Tu y verras pourquoi $\Q(\sqrt {p^*}) \subset \Q(\root p\of 1)$.
Et même quelque chose de bien mieux que cela, de ``nature arithmétique''. Petite somme de Gauss quadratique, quand tu me tiens.

Trop tôt, je pense pour la question qui tue, qui pourrait tuer. Je vais essayer de te sensibiliser en te disant ``8 pour le prix d'un". Il faut, juste pour l'instant, que tu contemples cela, rien de plus :

> Qi<i> := QuadraticField(-1) ;                    
> U4 := {-1,+1, -i,+i} ;
> pi := 2 + 3*i ;
> Pi := {u*z : u in U4, z in {pi, Conjugate(pi)}} ;
> Pi ;
{ 2*i + 3, 3*i + 2, -2*i + 3, 2*i - 3, -3*i - 2, -2*i - 3, -3*i + 2, 3*i - 2 }
> {Norm(z) : z in Pi} ;
{ 13 }


AJOUT Je détache la version ici qui contient une coquille. Cf nouvelle version in [www.les-mathematiques.net]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/01/2017 14:10 par claude quitté.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 17:14
J'attends avec impatience la question qui tue.
Quoique...grinning smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 17:23
@flip flop
Tu as complété entre temps le coup de $a+ib \equiv 1 \bmod (1+i)^3$ en disant <<je trouve $a=1 (\bmod2)$ et $b=0(\bmod2)$ sauf boulette>>. Verdict :

> Zi<i> := IntegerRing(Qi) ;                                                         
> // Mister flip flop says : a+ib = 1 mod (1+i)^3 <===> a = 1 mod 2  and  b = 0 mod 2
> a := 1 ; b := 2 ;
> IsDivisibleBy(a+i*b - 1, (1+i)^3) ;                                                
false
> // A magma bug ? Or perharps a flip flop bug ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 17:37
@flip flop
La question qui tue. Contexte : $n$ un entier $\ge 1$, $q$ une puissance d'un premier tel que $\gcd(q,2n) = 1$ et $q \equiv 1 \bmod 4$. Et $E_n$ la courbe elliptique :
$$
E_n : \qquad y^2 = x^3 - n^2x = x(x-n)(x+n)
$$
Je note $\chi_2$ l'unique caractère quadratique sur $\mathbb F_q^*$ (qui existe car $q \equiv 1 \bmod 4$).
On suppose disposer d'un $\alpha \in \mathbb Z[i\rbrack$ tel que :
$$
q = \alpha \overline \alpha, \qquad \alpha \equiv \chi_2(n) \bmod (1+i)^3
$$
Est ce que tu es d'accord avec le fait que
$$
\#E_n(\mathbb F_q) = q+1 - (\alpha + \overline \alpha)
$$
Si oui, c'est vacances. Sauf que j'ai besoin d'un argument solide.
Et j'en pense quoi, moi ? Depuis 2 jours, cela dépend de l'heure dans la journée.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 17:58
Une toute petite contribution :
Dans l'anneau des entiers de Gauss,
$$ a+ib=1 \bmod (1+i)^3\Leftrightarrow b=0\bmod 2 \text{ et } a=b+1\bmod 4.$$
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 18:10
avatar
Merci Gai requin thumbs down ... Moi même pas peur, je fais du pivot sur des anneaux non intègre thumbs up
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 18:20
winking smiley
Mais bon là j'ai tennis donc je te laisse la question qui tue. cool smiley
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 18:37
avatar
Alors on a :

$$ N = q+ 1 + \chi_2(n) \times ( \mathcal{J}(\chi_2,\chi_4)+ \overline{\mathcal{J}(\chi_2,\chi_4)})$$

D'autre part, $\mathcal{J}(\chi_2,\chi_4)$ est un entier de Gauss ... il me reste le lemme 1. que je n'ai pas encore compris. Mais c'est presque la congruence que tu proposes.

$\mathcal{J}(\chi_2,\chi_4)=a+ib$, avec $a^2+b^2=q$ et la congruence ... il faut voir que ça détermine $\mathcal{J}(\chi_2,\chi_4)$ (à conjugaison complexe près) ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 18:43
@vous deux
Ok pour gai requin.
Mais pourquoi je vous cause de $a + i b \equiv 1 \bmod (1+i)^3$ ? Ben, allez donc voir comment est énoncé le théorème de Gauss par Ribet dans le théorème 1, à la page 7, section 6 in [math.berkeley.edu]. Et en ce qui concerne ``where $r_p$ is chosen as above'', il a fallu que je fasse un petit effort. En lisant attentivement en bas de la page 9 par exemple. Of course $r+is$ Ribet versus $a + ib$ ici. Sauf que Ribet ne parle pas de $\mathbb Z[i\rbrack$. Et toujours chez moi ce ``est ce que je comprends bien ce qui est écrit ?'' Pourquoi s'occupe-t-il des signes de $r,s$ puisqu'il va réaliser un <<adjust the sign of $r$>> et que $s$ ne semble pas intervenir''
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 18:44
avatar
Si je reprend

{2*i + 3, 3*i + 2, -2*i + 3, 2*i - 3, -3*i - 2, -2*i - 3, -3*i + 2, 3*i - 2 }

Avec $p = 13$ et $n=1$ ... on trouve $\alpha := 2*i + 3$ ou $\alpha := -2*i + 3$ ...

Finalement : si je prend la courbe
$$
y^2 =x^3-x
$$

Sur $\mathbb{F}_{13^7}$, il y a $13^7+1-((2i+3)^7+(-2i+3)^7)=62757416$ points grinning smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/01/2017 18:45 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 19:02
@flip-flop
OUI. $\mathrm {OUI}^{20}$.

> E := EllipticCurve([-1, 0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x over Rational Field
> p := 13 ;
> Ep := ChangeRing(E, GF(p)) ;
> #Ep(GF(p^7)) ;
62757416

Faut verrouiller le binz (de ma question qui tue). Car si j'ai raison pour $(q, \alpha)$, tu remarqueras que ce que l'on demande à $(q,\alpha)$ c'est encore vrai pour $(q^r, \alpha^r)$. Donc on aura la formule $\#E_n(\mathbb F_{q^r})$ analogue à celle de $\#E_n(\mathbb F_{q})$. Donc obtention de la fonction zeta de $E_n$. Et on aura fait l'économie de Hasse-Davenport.

Do you see what I mean un peu ?

Et gai requin qui se barre au tennis. Elle est belle la vie. Tu crois pas qu'il exagère un tantinet ?
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 19:17
Pour voir si je comprends quelque chose en prenant le train en marche.
Si on suppose que
$$q = \alpha \overline \alpha, \qquad \alpha \equiv \chi_2(n) \bmod (1+i)^3,$$
on aimerait aussi que
$$\alpha^r \equiv \alpha \bmod (1+i)^3\text{ pour tout }r\geq 1.$$

???
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 19:17
avatar
D'accord, en fait la relation de Hasse-Davenport c'est un théorème qui dit que si :

$E_{q}$ est de cardinal $q+1-(\alpha+\overline{\alpha})$ alors $E_{q^r}$ est de cardinal $q^r+1-(\alpha^r+\overline{\alpha}^r)$, c'est ça ?

Ici comme ta caractérisation se propage (puissance $r$, car $\chi_2(1)=1$) ... on a pas besoin de ce théorème, et la vie est plus simple ...
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 19:26
avatar
@Gai requin :

je pense que c'est $\chi_2(n)$ :
$$\alpha^r \equiv \chi_2(n) \bmod (1+i)^3\text{ pour tout }r\geq 1$$
Mais ici $n=1$ et donc $\chi_2(1) =1$ grinning smiley

Edit : ce que tu as marqué c'est pareil smiling smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 13/01/2017 19:28 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 19:35
Et du coup, c'est facile dans le cas $n=1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 20:31
@vous deux
Si j'ai utilisé la terminologie ``la question qui tue'', c'est que c'est moi qu'elle tue en premier. Car j'ai cru qu'on allait pouvoir traiter $y^2 = x^3 - Dx$ puis j'en ai un peu rabattu en considérant $y^2 = x^3 - n^2x$. Et puis maintenant, petit joueur que je suis, j'en suis à $n = 1$.

Bien verrouiller $n = 1$. Après on verra.
Cela me tue car mes notes au brouillon sont tellement floues que je ne vois plus par quel miracle, on pourrait avoir $\alpha^r \equiv \chi_2(n) \bmod (1+i)^3$. Et je vous jure que j'étais à jeun quand j'ai écrit ces notes.

Bref, re : $n=1$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 20:44
Si $n=1$ et $r\geq 1$, $q^r=\alpha^r\overline{\alpha^r}$ et, comme $\alpha=1\bmod (1+i)^3$, $\alpha^r=1\bmod (1+i)^3$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
13 janvier 2017, 20:53
@vous deux, again.

Je crois que je comprends ce que j'ai écrit sur mes notes. Il y a PLUSIEURS $\chi_2$ !! Le premier est sur $\mathbb F_q$ et il nous faut l'unique caractère quadratique sur $\mathbb F_{q^r}$. Ce dernier mouline sur ce corps et il ne faut surtout pas le nommer $\chi_2$. Notons le $\chi_{2,r}$ comme Koblitz (tu fais moins le malin, CQ) :
$$
\chi_2 : \mathbb F_q \to \{\pm 1\}, \qquad \qquad
\chi_{2,r} : \mathbb F_{q^r} \to \{\pm 1\}, \qquad \qquad
\chi_{2,r} = \chi_2 \circ N_{\mathbb F_{q^r}/\mathbb F_q}
$$
Il faudra montrer l'égalité de droite (elle est écrite chez Koblitz).

Que vaut $\chi_{2,r}(n)$ ?
$$
\chi_{2,r}(n) = (\chi_2 \circ N_{\mathbb F_{q^r}/\mathbb F_q})(n) = \chi_2 \big( N_{\mathbb F_{q^r}/\mathbb F_q}(n) \big) =
\chi_2(n^r) = \chi_2(n)^r
$$
Et donc :
$$
\alpha \equiv \chi_2(n) \bmod (1+i)^3 \quad \Rightarrow \quad
\alpha^r \equiv \chi_2(n)^r = \chi_{2,r}(n) \bmod (1+i)^3
$$
Et donc ``ça le fait''.

Ne pas me croire sur parole.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 janvier 2017, 07:31
@vous deux
J'ai repris la preuve du lemme 1 p. 59 de Koblitz qui contient 2 coquilles et qui est tellement serrée qu'elle en est incompréhensible. J'ai mis des références à mon épreuve Agrégation car gai requin n'a pas Koblitz (n'avait pas Koblitz ?).
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - KoblitzLemma1Page59.pdf (963.1 KB)
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 janvier 2017, 07:44
avatar
Salut Claude,

Je fais un autre exemple numérique.

$p=17$, $n^2=64$, $n=8$ et $5^2 =25=8 \pmod{17}$.

On cherche à écrire en somme de carrés :

$17 = a^2+b^2$, soit $8$ combinaisons pour l'entier de Gauss correspondant mais la seconde condition nous dit que l'on peut prendre $\alpha := 1+4i$

Je considère dans $\mathbb{F}_{17^{15}}$

$$y^2=x^3-64x$$

On a : $\chi_2(8) = 1$ car $5^2=8 \pmod {17}$.

Donc $N := 17^{15}+1-(1+4i)^{15}-(1-4i)^{15}=2862423049790217488$

Edit : j'ai oublié $1$.

 E := EllipticCurve([-1, 0]) ;
 E ;
p := 17 ;
Ep := ChangeRing(E, GF(p)) ;
#Ep(GF(p^15)) ;



Modifié 4 fois. Dernière modification le 14/01/2017 08:07 par flipflop.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 janvier 2017, 07:54
@flip flop
Tu as pris $n=8$ ; je ne comprends pas ton $n= 8 = 5^2$. Parce qu'ici à Poitiers, $5^2$, cela fait 25. Et à Grenoble ?
Mets un s à carré dans ``somme de carrés'' car si Chaurien passe par là, t'es joli garçon.
Corrige $N = 17^{15} + 1 - ((1+4i)^{15} + (1-4i)^{15})$ : il y a 2 corrections à apporter, le $+1$ et les parenthèses.

> n := 8 ;
> E := EllipticCurve([-n^2, 0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 64*x over Rational Field
> p := 17 ;
> Ep := ChangeRing(E, GF(p)) ;
> #Ep(GF(p^15)) ;
2862423049790217488
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 janvier 2017, 07:59
$8=25 \bmod 17$.
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 janvier 2017, 08:02
avatar
Boulot, grosse journée aujourd'hui thumbs up

C'est quand même un dénombrement sorti tout droit du cosmos, vous trouvez pas grinning smiley

A ce soir
Re: Homographies et petits groupes de Galois
14 janvier 2017, 08:06
@flip flop
8 combinaisons avec un s.

@gai requin : tu as reçu ``le truc'' ?
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