Homographies et petits groupes de Galois

@gai requin Vu (et pigé).

J'ai proposé à un moment donné $D = -24$ et/ou $D = -40$.

@Non : ce sont des discriminants négatifs donc pas d'unité autres que $\pm 1$. C'est pour illustrer la théorie du corps de classes pour les bébés. La question est : quelles sont les lois de représentation des premiers par les formes quadratiques de discriminant $D$ pour $D = -24$, $D = -40$ ? Ces lois sont ``parfaites'' en un certain sens.

@gai requin
Non, ce que tu dis est banal. Je parle d'autre chose. Par exemple, du fait que l'extension abélienne :
$$
K = \Q(\sqrt {D}) \quad\subset\quad \Q(\sqrt {D_1}, \cdots, \sqrt {D_k}) \qquad \qquad (\star)
$$
est non ramifiée (les $D_i$ sont les discriminants quadratiques fondamentaux élémentaires qui interviennent dans $D$).

Et de temps en temps (mais rarement), l'extension $(\star)$ est le corps des classes de Hilbert. C'est pas souvent mais il faut en profiter pendant que cela passe.

De temps en temps = le groupe des classes d'idéaux de $K$ est tué par 2.

@gai requin
Je ne comprends pas du tout ce que tu veux dire. C'est trop fatiguant pour moi d'écrire un post alors je vais faire un scan d'une page. Ce qui va me demander du temps car j'aime bien être le plus précis possible (et je ne suis pas sûr de ``l'utilité'' d'un tel scan).

@gai requin
J'ai dû recommencer mon scan 2 fois. Et cela ne tient pas sur une page. Je dois encore tout recommencer. Ce qui serait bien c'est que tu commences à jouer avec la loi de représentation normique (i.e. par la forme neutre) de certains anneaux quadratiques imaginaires. Par exemple $D = -20$ et que tu compares avec ce qui se passe pour $D = -23$. Depuis le départ, tu as considéré des choses dans un certain sens (tu es parti du polynôme $X^3 - X - 1$ par exemple pour $D = -23$) mais là, on ne dispose pas de polynôme, ni du corps des classes. Et on s'intéresse aux lois de représentation des premiers par des formes quadratiques.

Tu dois sentir toi-même la différence entre $-20$ et $-23$. Et un certain miracle se produit pour $D = -20$. Et il se reproduira 65 fois (pour 65 discriminants quadratiques négatifs) et pas plus. Attention les 65 discriminants $D$ qui interviennent vérifient $D \equiv 0 \bmod 4$.

Tu peux t'aider de magma pour ne pas oublier de formes quadratiques (réduites).

Mais peut-être, cela serait encore plus simple, de commencer par les 9 anneaux quadratiques principaux (il n'y en a que 9, la résolution n'a pas été de la tarte : c''est le fameux problème du dixième discriminant in http://www.numdam.org/article/SB_1966-1968__10__367_0.pdf, conjecturé par Gauss et résolu dans les années 1950-1960). Expliciter la loi de représentation normique dans ces 9 cas.

Pendant que l'on y est : expliciter les unités de tous les anneaux quadratiques imaginaires (y compris de ceux qui ne sont pas intégralement clos).

@gai requin
Oui, j'ai bien vu, depuis le départ, que tu voulais compter $N_p(f)$. J'ai vu et j'ai rien dit. Car le plus important c'est de s'amuser. Et tu t'es amusé en trouvant $D = 37, 101, 197$. Des discriminants $> 0$, bon, c'est plus sport. Et d'ailleurs c'est là que je me suis souvenu que j'avais écrit des choses sur Dedekind-Siegel. Le plus dur c'est de retrouver où.

Mais cela veut dire quoi compter ici ? Je suis tout ce qu'il y a de plus sérieux. On en reparlera plus tard. Et je peux te dire que tu as bénéficié d'un truc très très spécial : le degré 3.

On comprendra mieux plus tard, je pense.

Et j'ai surtout monté cette histoire (pas terminée chez moi comme tout le reste) car flip flop était dépité de reprendre ses cours sur euh .. comment cela s'appelle déjà .. et d'être de nouveau bloqué comme il y a $x$ années ($x = ?$). Probablement parce que c'est (elle) une théorie très très difficile, difficile à illustrer (pas d'ironie ici).

Je sèche pour l'instant. Je regarde juste le cas $B = \Z[i\rbrack$ et $A = \Z[fi\rbrack \subsetneq B$ d'indice $f \ge 2$. L'idéal conducteur est $fB$ et on a :
$$
A/fB \simeq \Z/f\Z
$$
On veut savoir quand ce quotient exact fait 1 :
$$
{[(B/fB)^\times : (A/fB)^\times] \over [B^\times : A^\times]} = {\#(B/fB)^\times /\varphi(f) \over 2}
$$
Comme je sèche :

> Qi := QuadraticField(-1) ;                 
> Zi<i> := IntegerRing(Qi) ;
> U := func < f | UnitGroup(quo< Zi | f>) > ;
> U(3) ;
Abelian Group isomorphic to Z/8
Defined on 1 generator
Relations:
    8*$.1 = 0
Mapping from: Abelian Group isomorphic to Z/8
Defined on 1 generator
Relations:
    8*$.1 = 0 to Quotient Ring of Principal Prime Ideal of Zi
Generator: 3
> [#U(f) : f in [2..20]] ;                            
[ 2, 8, 8, 16, 16, 48, 32, 72, 32, 120, 64, 144, 96, 128, 128, 256, 144, 360, 128 ]
> [ExactQuotient(#U(f), EulerPhi(f)) : f in [2..20]] ;
[ 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 12, 8, 12, 16, 12, 16, 16, 16, 16, 24, 20, 16 ]
> [ExactQuotient(#U(f), 2*EulerPhi(f)) : f in [2..20]] ;
[ 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 6, 4, 6, 8, 6, 8, 8, 8, 8, 12, 10, 8 ]

Donc pour $f = 2$, le quotient est 1 et $\Z[2i\rbrack$ est pseudo-principal. Et ensuite faut expliquer pourquoi 2 divise le quotient. A suivre !

Dès que l'on met les mains dans le cambouis on se salit.

@gai requin
On a $h_A = q \times h_B$ où $q$ est un nombre entier. Si on veut $h_A = 1$, cela force $q=1$ et $h_B=1$.

@gai requin
Si je peux me permettre : relis http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1426304#msg-1426304.

Et par exemple, dans un cadre plus général des anneaux de nombres, si $A = \Z + fB$, il y a plein de choses à assurer (les énoncés figurent dans le post pointé).

@gai requin
Voilà ce qui m'arrive : j'ai bien sûr la liste des 4 anneaux quadratiques imaginaires ``pseudo-principaux'' (terminologie de mézigue) dans mes affaires mais impossible de me souvenir où je l'avais trouvée. Et donc, je m'y suis collé ; je croyais (autrefois) que c'était immédiat lorsque l'on a Dedekind-Siegel avec soi mais il a fallu que je m'accroche. Mon approche repose sur une formule type indicateur d'Euler du numérateur $N$ (du quotient exact)
$$
N \quad \buildrel {\rm def} \over =\quad [(B/fB)^\times : (A/fB)^\times], \qquad A = \Z + fB, \qquad \hbox {$B$ anneau des entiers d'un corps quadratique}
$$
J'attache un début, la suite viendra plus tard.

Note : en établissant la formule encadrée à la page 1, on apprend des choses mais cela ne contribue pas à ``Baby Class Field Theory''. Je n'avais pas prévu que ..etc.. Les choses de la vie. Je suis quand même bien content que grosso-modo le groupe des unités d'un anneau quadratique imaginaire soit réduit à $\{\pm 1\}$ à l'exception de $\Z[i\rbrack$ et $\Z[j]$. Et dire que ``j'ai voulu te suivre dans le cas réel !''

@gai requin
C'est juste une anecdote qui est liée aux anneaux quadratiques réels qui ont été (provisoirement) mis de côté. Anecdote car ce n'était pas prévu. Pour essayer de te suivre, j'ai donc écrit des petits outils permettant de déterminer l'indice $[B^\times : A^\times]$ quand $B$ est l'anneau des entiers d'un corps quadratique réel et $A \subset B$ l'unique sous-anneau d'indice $f \in \N^*$ i.e. $A = \Z + fB$.

On sait (Pell-Fermat) que $B^\times$ et $A^\times$ sont isomorphes à $\{\pm 1\} \times \Z$. Ce qui veut dire pour $B$ par exemple qu'il existe un unique élément $u \in B^\times$, avec $u > 1$ tel que $B^\times = \pm u^\Z$. Le groupe quotient $B^\times / A^\times$ est cyclique et il s'agit donc de déterminer le plus petit exposant $n \ge 1$ tel que $u^n \in A$.

Je prends l'exemple le plus simple avec le nombre d'or lié à l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt 5)$ :
$$
\phi = {1 + \sqrt 5 \over 2}, \qquad \phi^2 = \phi + 1, \qquad B = \Z[\phi]
$$
Ajout Je dis que c'est le plus simple car $\phi$ est l'unité fondamentale (et $\phi$ est de norme $-1$).

Je considère la suite de Fibonacci :
$$
F_0 = 0, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \qquad \cdots, \qquad F_{n+2} = F_n + F_{n+1}
$$
Et je la définis même pour $n \le 0$ de sorte que l'on ait $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ pour tout $n \in \Z$:
$$
F_{-1} = 1, \quad F_{-2} = -1, \quad F_{-3} = 2 \qquad \cdots
$$
On a alors :
$$
\phi^n = F_{n-1} + F_n\ \phi \qquad \forall \quad n \in \Z
$$
On se donne $f \ge 1$ et on cherche donc le plus petit $n_0 \ge 1$ tels que $\phi^{n_0} \in \Z[f\phi]$, ce qui signifie $F_{n_0} \equiv 0 \bmod f$.
Et ce $n_0$, c'est l'indice convoité $[\Z[\phi]^\times : \Z[f\phi]^\times]$.

D'ailleurs, en passant, cela implique que :
$$
\{ n \in \Z \mid F_n \equiv 0 \mod f \} \qquad \hbox {est un sous-groupe non trivial de $\Z$}
$$
Et bien, c'est cela qui n'était pas prévu. Je ne le savais pas a priori.

Et la détermination de $[\Z[\phi]^\times : \Z[f\phi]^\times]$ en fonction de $f$. Et bien je ne sais pas. Disons que je ne m'en suis pas du tout occupé.

> [Indice(f) : f in [1..10^2]] ;
[ 1, 3, 4, 6, 5, 12, 8, 6, 12, 15, 10, 12, 7, 24, 20, 12, 9, 12, 18, 30, 8,
30, 24, 12, 25, 21, 36, 24, 14, 60, 30, 24, 20, 9, 40, 12, 19, 18, 28, 30, 20,
24, 44, 30, 60, 24, 16, 12, 56, 75, 36, 42, 27, 36, 10, 24, 36, 42, 58, 60,
15, 30, 24, 48, 35, 60, 68, 18, 24, 120, 70, 12, 37, 57, 100, 18, 40, 84, 78,
60, 108, 60, 84, 24, 45, 132, 28, 30, 11, 60, 56, 24, 60, 48, 90, 24, 49, 168, 60, 150 ] 

@gai requin
Oui et j'ai oublié de le dire. J'ai ajouté cette information. Et c'est bien pour cela que j'ai décrété que c'était l'exemple le plus simple (pour moi) car il n'y a pas à se faire ch.er à la chercher. Bien sûr, tu savais que, pour tout $f \ge 1$, $\{n\in \Z \mid F_n \equiv 0 \bmod f\}$ était un sous-groupe (non trivial de $\Z$).

@gai requin
Oui. Et même mieux, car le groupe des classes en question est isomorphe à $(\Z/2\Z)^\bullet$.

Peut-être, du côté de la représentation des premiers par les formes de discriminant $D$, traiter un exemple, par exemple $D = -40$. Obtenir :
$$
p \equiv \hbox {certaines valeurs modulo un modulus} \qquad\iff\qquad
\hbox {$p$ est représenté par la forme quadratique untel}
\qquad\qquad (\star)
$$
Certes, c'est vague.

J'avais traité $-52$ dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1263771,1417938#msg-1417938 mais ce n'était pas réussi car laborieux. Peut-être que pour $D = -40$, faut expérimenter pour proposer quelque chose de type $(\star)$ sans en vouloir obtenir tout de suite une preuve. Ce ne sont pas des preuves dont on a besoin ici mais d'avoir quelque chose à prouver.