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groupes distingués

Envoyé par Morgatte 
groupes distingués
il y a trois années
Bonjour,

J'ai lu (il me semble que c'était dans le livre d'AD) que pour deux groupes G et G' et un morphisme $\varphi \in Hom(G,G')$, si $e' \in G'$ alors $Ker (\varphi)$ est un sous-groupe distingué dans G. La cause étant que e' étant forcément distingué dans G', son antécédent $Ker (\varphi)$ dans G l'est par conséquent.

Du coup je pensais que ceci était un cas particulier du cas plus général tel que :
Si
$H' \lhd G'$
$H \leq G$
$\varphi \in Hom(G,G')$

alors

$H \lhd G$

Mais je viens de lire dans le livre "Eléments de théorie des groupes" de "Josette Calais" ceci :
Dans un groupe G, on a $H \lhd G$ si et seulement s'il existe un groupe G' et un morphisme $\varphi \in Hom(G,G')$ tel que $H = Ker (\varphi)$.

Du coup, corrigez-moi, mais H' ne peut pas être un sous-groupe distingué quelconque, il est forcément le neutre de G' et H est forcément le noyau de G. Ce que je pensais être un cas particulier est en fait l'unique cas possible, non ?
Re: groupes distingués
il y a trois années
Tu sembles confondre beaucoup de choses. Dans ton énoncé conjectural, $\varphi$ ne joue aucun rôle vis-à-vis de $H$, et finalement tu déduis de l'hypothèse que $H$ est un sous-groupe de $G$ qu'il est un sous-groupe distingué de $G$ !

En tout cas, la propriété à laquelle tu sembles référer est "l'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un morphisme de groupes est un sous-groupe distingué". La démonstration est immédiate en utilisant les définitions.

Pour la propriété donnée par Calais, il s'agit dans un sens de ce que j'ai dit au-dessus, puisque le noyau d'un morphisme de groupes est l'image réciproque du sous-groupe trivial par ce morphisme de groupes, et dans l'autre sens, il s'agit du fait que si $H$ est distingué, alors il s'agit du noyau du morphisme de passage au quotient $G \to G/H$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Poirot.
Re: groupes distingués
il y a trois années
> ... Dans ton énoncé conjectural, $\varphi$ ne joue aucun rôle vis-à-vis de $H$...

Pardon, oui j'ai omis de préciser que H était l'antécédent de H' forcément.

Mais je n'ai pas vraiment saisis votre remarque... est-ce que l'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un morphisme de groupes n'est-elle pas elle-même forcément un sous-groupe distingué ?
Re: groupes distingués
il y a trois années
Oui, je l'ai dit dans mon message, en disant que la démonstration était immédiate.
Re: groupes distingués
il y a trois années
Ok.

Est-ce que la démonstration immédiate (mais pas pour moi) était celle-ci ?

Pour

$H' \lhd G'$
$H \leq G$
$\varphi \in Hom(G,G')$
$\varphi(H) = H'$

alors

$H' \lhd G' \Rightarrow g'H'g^{-1 \prime} = H'$
$\varphi^{-1}(g'H'g^{-1 \prime}) = \varphi^{-1}(H')$
$\varphi^{-1}(g')\varphi^{-1}(H')\varphi^{-1}(g^{-1 \prime}) = \varphi^{-1}(H')$
$gHg^{-1} = H$
$H \lhd G$

Est-ce correcte ?
AD
Re: groupes distingués
il y a trois années
avatar
Bonsoir Morgatte
Ben non, ce n'est pas correct.
Quel sens donnes-tu à "$\varphi^{-1}(g')$" ?
Hormis le fait que tu n'as pas dit ce qu'était $g'$, mais que l'on devine être un élément de $G'$,
$\varphi$ est une application $G\to G'$, a priori non bijective, donc $\varphi^{-1}(g')$ n'a pas de sens.
Cependant $\varphi$ induit une application entre parties $\varphi^{-1}:\mathfrak P(G') \to \mathfrak P(G)$ définie par $\varphi^{-1}(X)=\{g\in G\mid \varphi(g) \in X\}$, pour tout $X\in \mathfrak P(G') $.
C'est pour cela que l'on peut écrire $\varphi^{-1}(H')$, où $H'$ est une partie (c'est même un sous-groupe) de $G'$. On pourrait imaginer que $\varphi^{-1}(g')$ soit un abus d'écriture pour $\varphi^{-1}(\{g'\})$, mais c'est alors une partie de $G$ qui en général contient plusieurs éléments de $G$ ou même peut être $\varnothing$ si $g'\notin \mathrm{im\,}\varphi$.
Dans tous les cas ce n'est pas ce que tu espères !

Pour rédiger, il faut mettre des quantificateurs, sinon ton discours est imprécis.
Tu veux montrer que si $H'\lhd G'$ alors $H=\varphi^{-1}(H')\lhd G$.
Là, cela a un sens, $\varphi^{-1}(H')$ est une partie de $G$ et dans ton cours on t'a montré que c'est un sous-groupe de $G$ (sinon montre le en exercice).
Alors tu commences : pour tout $g\in G$, montrons que $gHg^{-1} = H$.
Prenons l'image par $\varphi$ du membre de gauche : $\varphi(gHg^{-1})=\varphi(g)\varphi(H)\varphi(g)^{-1}$.
Par définition de $H$, $\varphi(H)=H'$ et d'autre part, $\varphi(g)\in G'$. Donc puisque $H'$ est distingué dans $G'$, on obtient $\varphi(gHg^{-1})=\varphi(g)H'\varphi(g)^{-1} = H'$.
En prenant alors l'image par $\varphi^{-1}$ (application $\mathfrak P(G') \to \mathfrak P(G)$) on obtient que $gHg^{-1}=\varphi^{-1}(H')=H$.
Ce que tu voulais démontrer.

Alain
Re: groupes distingués
il y a trois années
Bonjour,

Oui, j'avais bien conscience que l'application de $G\to G'$ n'était pas forcément bijective et j'avais plus dans l'idée de voir $\varphi^{-1}(g')$ comme la manière de nommer l'antécédent de g ou les antécédents de g si j'ai bien compris pourquoi utiliser la notion de partie, mais c'est quand même loin de ce que je suis capable d'utiliser.

Quand Poirot parle de démonstration immédiate, je reste songeur smiling smiley
Re: groupes distingués
il y a trois années
AD a beaucoup détaillé, mais la démonstration ne fait au final que trois ou quatre lignes. C'est le genre de petites propriétés qui découlent directement des définitions, on ne fait qu'utiliser celles-ci.

Schématiquement : on prend $g \in G$, on veut montrer que $gH'g^{-1}=H'$, c'est-à-dire que $\{gxg^{-1}, x \in G \text{ tel que } \varphi(x) \in H\} = H'$. Or si $\varphi(x) \in H$, on a aussi $\varphi(gxg^{-1}) = \varphi(g)\varphi(x)\varphi(g)^{-1} \in H$ puisque $H$ est distingué dans $G'$, ce qui prouve que $gH'g^{-1} \subset H'$. Ceci étant vrai pour n'importe quel $g \in G$, on en déduit en prenant $h=g^{-1}$ que $H'=h(gH'g^{-1})h^{-1} \subset hH'h^{-1}$. Ceci étant à nouveau vrai pour n'importe quel $h \in G$, on a bien montré que $H'=gH'g^{-1}$ pour tout $g \in G$.

Au passage ta notation de $G'$ est plutôt malvenue (mais tu ne pouvais sûrement pas le savoir) car souvent $G'$ désigne un sous-groupe particulier du groupe $G$ (son sous-groupe dérivé).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par Poirot.
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