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Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch

Envoyé par Pablo_de_retour 
Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
avatar
Bonsoir à tous,

Soit $ X $ une variété projective complexe.
Soit $ L \in \mathrm{Pic} (X) $ un fibré en droites ample, et $ M \in \mathrm{Pic} (X) $ un fibré en droites quelconque.
A l'aide de la formule de Hirzebruch-Riemann-Roch, pourquoi la caractéristique d'Euler $ \chi ( X, M \otimes L^k ) $ est un polynôme à indéterminée $ k $ de degré $ n = \mathrm{dim} (X) $ à coefficient dominant $ \dfrac{1}{n!} \int_X c_1 (X)^n $ ?

Merci d'avance.
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
avatar
Qui pourra faire le calcul : $ \chi ( X, M \otimes L^k ) = \mathrm{deg} ( \mathrm{ch} ( M \otimes L^k ) \mathrm{td} ( X ) )_{2n} = \mathrm{deg} ( \mathrm{ch} ( M \otimes L^k ) . \mathrm{td} ( X ) )_{2n} = ... $ ?
Moi, je ne sais pas le faire. Je ne suis pas habitué à ce calcul malheureusement.
Le point $ '.' $ dans $ \mathrm{ch} ( M \otimes L^k ) . \mathrm{td} ( X ) $ est le produit d'intersection dans l'anneau de Chow $ A^{ \bullet } ( X )_{ \mathbb{Q} } $. Vrai ?
Lupulus ? Tu peux venir m'aider un peu s'il te plaît ?

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
Comme j'avais dit sur un autre fil je ne répondrais plus à tes questions. J'interviens juste pour dire que la formule que tu donne pour le coefficient dominant est fausse. La formule correcte est (par exemple) disponible sur wikipedia.
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
avatar
On ne trouve pas ça dans wikipedia Lupulus.
Voici la page wiki : [fr.wikipedia.org] portant sur la Formule de Hirzebruch-Riemaann-Roch.
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
Il faut aller sur la version anglaise qui est plus complète que la version française.
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
avatar
Oui. Merci.
Voici la version anglaise de la page wiki précédente : [en.wikipedia.org]
On dit dans cette page que :
$$ h^0 (X , \mathcal{F} \otimes O_X ( mD ) ) = \mathrm{rank} ( \mathcal{F} ) \dfrac{(D^{n})}{n!} . m^n + O( m^{n-1} ) $$
En revenant à notre caractéristique d'Euler, on a :
Pour $ k > 0 $ suffisamment grand :
$ \chi ( X , M \otimes L^k ) = h^{0} (X , M \otimes O_{X} ( k D ) ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D^{k})}{k!} . k^n + O( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D \dots D ) }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{ c_{1} (L) \dots c_{1} (L) }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
$ = \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $
pour $ D $ un diviseur tel que $ O_X (D) = L $, et :
$ (D^n) = c_1 ( O_X ( D^n ) ) = c_1 ( O_X ( D \dots D ) ) = c_1 (O_X (D)) \dots c_1 ( O_X (D) ) = c_1 ( O_X (D) )^n = c_1 (L)^n $
et $ \mathrm{rank} (M) = 1 $, c'est un fibré en droites.
Non ?
Donc, comme tu l'as bien remarqué Lupulus, le coefficient dominant du polynôme en $ k $ représentant la caractéristique d'Euler est $ \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $ et non $ \int_X \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $, donc, il y'a une erreur dans l'ouvrage de Daniel Huybrechts qui a pour titre : Complex Geometry. Introduction. smiling smiley

Comment établir donc que : $ h^0 (X , M \otimes O_X ( mD ) ) = \mathrm{rank} ( M ) \dfrac{(D^{n})}{n!} . m^n + O( m^{n-1} ) $ ? et comment établir aussi cette fois çi à l'aide du théorème de Hirzbruch-Riemana-Roch que le coefficient dominant du polynôme en $ k $ représentant la caractéristique d'Euler est $ \dfrac{c_{1} (L)^n}{n!} $ ?

Merci infiniment pour votre aide.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
avatar
Lupulus :
Il me semble que Wikipedia s'est trompée lorsqu'elle a écrit :
$$ \chi ( X , M \otimes L^k ) = \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $$
parce que la caractéristique d'Euler est à valeur : un entier relatif. Cependant, le coefficient dominant : $ \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} $ figurant dans $ \chi ( X , M \otimes L^k ) = \dfrac{ c_{1} (L)^n }{n!} . k^n + O ( k^{n-1} ) $ est à valeur dans l'anneau de Chow, ce qui est incompatible. Donc, c'est Wikipedia qui a faux. et toi aussi tu appuies ses affirmations. Donc, tu as faux toi aussi. Non ? smiling smiley
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
Si tu penses que c'est en le provoquant de cette manière que Lupulus va t'aider, c'est que tu n'as toujours rien compris.
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
avatar
grinning smiley
Je ne le provoque pas. Je le taquine un peu c'est tout parce que je le connais bien. et lui aussi il le sait. C'est un de mes meilleurs amis sur le net.
Poirot, toi le moins que l'on puisse dire, tu m'as lancé au moins au moins 15 provocations depuis que j'ai atterri sur le forum. Pourquoi ne te rends tu pas compte de ça ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Formule de Hirzebruch-Riemann-Roch
il y a deux années
Mon dernier message sur le fil.

1) Pas de fautes sur la page wikipedia. C'est correctement expliqué pour quelqu'un qui comprend les définitions de base de géométrie algébrique.

2) J'ai aussi regardé le livre d'Huybrecht et je n'ai pas trouvé la formule que tu as écrite. Je soupçonne que tu n'aies pas correctement recopié les hypothèses car la formule est quand même juste dans un cas (très) particulier.

3) La plupart des égalités dans ton calcul sont triviales mais tu as réussi à introduire une erreur dans le calcul (!). Il faut reprendre les bases.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
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