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Fraction rationnelle

Envoyé par Tyoussef 
Fraction rationnelle
il y a deux années
Bonjour ou bonsoir ( voir l'heure )

Voilà , c'est une idée qui m'est passé par la tête .

Peut-on trouver deux ou trois fractions tel que :

$$ \frac{P(x)}{Q(x)}= \pm \frac{P'(x)}{P"(x)} \pm \frac{Q'(x)}{Q"(x)} $$

$P'$ et $P"$ , des polynômes de même degré .
$Q'$ et $Q"$ , des polynômes de même degré

Ce que je veux dire , c'est transformer une fraction rationnelle en deux (ou plus) fractions rationnelles de même degré.


Amicalement

Tyoussef



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tyoussef.
ev
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
avatar
Tes fractions de droite se simplifient pas mal.

Énoncé à revoir ?

e.v.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
$@ e.v$
Oui, veuillez-le revoir maintenant
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
Bonjour.

Tes $\pm$ ne servant à rien (on peut intégrer les - dans les polynômes), je fais comme si c'était des $+$.

En décomposant en éléments simples dans chaque fraction, puis simplifiant éventuellement, le second membre donnera une constante (éventuellement nulle) et des éléments simples de première et seconde espèce. Ce qui ne sera pas le cas du premier membre si deg(P)> deg(Q).
Donc ce n'est pas toujours possible.

Sinon, si $deg P = deg(Q)$, il y a des solutions évidentes, ne serait-ce que P"=Q"=Q et P'=Q'=P/2. mais à quoi bon ?
Enfin, si $deg P < deg(Q)$, on peut reprendre cette décomposition et rajouter à P' un polynôme de même degré que P"=Q" et le soustraire à Q' :
$\frac 2{x^2+1}=\frac 1{x^2+1}+\frac 1{x^2+1}=\frac {1+x^2}{x^2+1}+\frac {1-x^2}{x^2+1}$

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par gerard0.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
Quelle serait l'utilité d'une telle décomposition ???
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
$@gerard0 $
C'est juste une idée, peut-être elle sera utile pour calculer les constantes sur la décomposition, je ne sais pas encore.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
Quand il y a une solution, il y en a une infinité !!
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
avatar
Souvent, il n'y a pas de solution. Si dans la fraction initiale, numérateur et dénominateur n'ont pas le même degré, alors il n'y a pas de solution.

Et quand ils ont le même degré alors c'est évident qu'il y a déjà la solution : P/Q = P/Q +0/1 ... et plein d'autres aussi triviales ou non.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
Iourrran,

j'avais pensé comme toi, mais c'est faux ! Lis mon message ci-dessus. Avec même un exemple, où P et Q sont de degrés différents.

Cordialement.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
Non, je cherche des trucs comme ça $$

\frac{ax^2+b}{cx^3+d} =\pm \frac{a'x^3+b'}{c'x^3+d'} \pm \frac{a'x^2+b'}{c'x^2+d'}
$$ ou $$

\frac{ax^3+b}{cx^2+d} =\pm \frac{a'x^3+b'}{c'x^3+d'} \pm \frac{a'x^2+b'}{c'x^2+d'}$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
avatar
@Tyoussef : Quand x devient très très très très grand, la propriété doit rester vrai. Et donc ça te donne certaines équations sur les termes de plus haut degré. Et, comme dit par Gérard0, quand le numérateur est de degré supérieur au dénominateur, il n'y a pas de solution.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
Tyoussef,

si tu cherches des "trucs comme ça", tu commences par essayer toi-même, et tu vois tout de suite.
Quoique je me demande si tu es capable de chercher, quand je vois que tu continues à marquer bêtement les $\pm$ après que je t'aie fait remarquer qu'ils ne servent à rien (niveau classe de quatrième !!!).

Tu as cru avoir une idée "géniale", c'est une idée sans intérêt, n'insiste pas, tu ne ferais que témoigner du fait que tu ne comprends pas ce qu'on te dit.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
$@lourrran$
confused smiley Donc, on ne peut pas recomposer une décomposition de sorte à avoir des fractions rationnelles de même degré. Ce jeu, sera utile dans les intégrales et le calcul de primitives.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
avatar
Pas compris, désolé, pas grave.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
$@gerard0$
Question : quelle serait l'utilité d'une telle décomposition ???
Reponse : [www.les-mathematiques.net]
Amicalement.

[Ne pas recopier le même message. Un lien suffit. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
$@lourrran$
Il n'y a pas mieux qu'un petit exemple pour comprendre.
On a : $$

\frac{x+1}{x+2} = 1-\frac{1}{x+2} ,

$$ à gauche l'intégrale est difficile, mais dans la droite non. (On m'a déjà dit que j'ai les idées foule dans le forum grinning smiley )
Amicalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
avatar
Tyoussef écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------

Elle est énorme celle-là...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
avatar
L'objectif est de calculer des intégrales ?

Prenons la fraction $\quad \dfrac{x^2+1}{x+2} .$
Cette fraction peut s'écrire sous la forme $$x + \frac{1-2x}{x+2} ,$$ et voilà, on a remplacé notre fonction difficile à intégrer par la somme de 2 fonctions plus faciles à intégrer.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
avatar
Et $x-2+\frac{5}{x+2}$ est encore mieux, mais ce fil aurait-il la prétention d’avoir inventé l’eau chaude?
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
$@Amathoué $

Oui très bien , je disais que l'exemple qui va faire comprendre un peu la situation .
Les étapes quand , tu as calculé ?

( pour ton premier message , on a modifier le message , ce que tu vois , c'est message modifier )

$ @ lourrran $

Oui , très jolie
Il me faut la méthode de calcule , pour que ce problème $CV$vers une limite $l$ grinning smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Tyoussef.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
Tyoussef,

je t'ai demandé à un moment l'utilité; tu as répondu "ça peut servir " ???? Tu te moques du monde. Et maintenant, tu donnes comme exemple une bâte décomposition en éléments simples, ce que tout le monde connaît.
Autrement dit, "ça peut servir" à compliquer la situation avant de faire la décomposition en éléments simples (ceux qu'on sait intégrer facilement).
C'est d'un niais !!!

Pire, dans l'exemple que je donnais, on avait déjà un élément simple !!!!

Au lieu de vouloir te mousser en venant ici dire "j'ai eu une idée", tu aurais dû réfléchir sérieusement à cette idée, comparer avec les méthodes classiques, voir que les fractions de même degré au numérateur et au dénominateur ne s'intègrent pas immédiatement (sauf les constantes), etc.
Maintenant, tout le monde sait que tes idées sont inabouties, inutiles et irréfléchies !! Belle contre publicité !

Cordialement.
Re: Fraction rationnelle
il y a deux années
$@gerard0$

D'abord je ne me moques pas du monde , cinq années sur ce forum , je n'ai jamais , dis au même faire croire a quelqu'un , je me moques de lui .Tu sais, je me ne bats pas avec une personne même si il m'insulte ( cela veux dire que suis une personne faible peut-être , on sais jamais ).

Je vous respect beaucoup , vous être sûrement plus âgée que me moi , chez nous ,on respect tout personnes plus âge que nous , Et on fait ce qu'ils nous disent .

Amicalement
Tyoussef
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