Rayon spectral et convergence

viko · April 2019

Bonjour
Je cherche à montrer que la suite des puissances d'une matrice complexe converge vers la matrice nulle si et seulement si son rayon spectral est strictement inférieur à $1$.

Pour le sens direct pas de soucis, pour le sens retour la décomposition de Dunford permet de répondre assez rapidement peut-on faire sans ? (et en n'utilisant que des outils au programme de MP)

Maxtimax · April 2019

Une trigonalisation donne une preuve assez élémentaire, mais il faut plus d'analyse.
(Note : aux concours tu as le droit aux résultats hors-programme du genre Dunford, il faut juste être sûr.e de pouvoir les redémontrer à l'oral pour les y utiliser)

viko · April 2019

D'accord je vais étudier plus précisément ton indication !

Et je n'étais pas au courant que les résultats proche du programme mais qui n'y figurent pas officiellement peuvent être utilisés sans preuve ! est-ce écrit quelque part ? où c'est officieux ?

john_john · April 2019

Il y a une astuce pour traiter le cas d'une matrice triangulaire supérieure $T=(t_{i,j})$, ce qui suffit évidemment : on construit une matrice tirangulaire $T'=(t'_{i,j})$ à coefficients réels positifs tels que $|t_{i,j}|\leqslant t'_{i,j}$ pour tout $(i,j)$ (propriété qui se transmet aux puissances respectives de ces deux matrices) et tels que les $t'_{i,i}$ soient deux à deux distincts, ce qui rend $T'$ diagonalisable. Ensuite, âne qui trotte...

Cordialement, j88j

Maxtimax · April 2019

Je rajoute qu'une récurrence n'a jamais fait de mal à personne...

Je ne sais pas, c'est ce que mes profs me disaient :-D leur explication était qu'à l'écrit si tu as mis le correcteur ou la correctrice en confiance avec ce que tu as fait jusque là, iel te fera confiance aussi pour ce résultat, et que de toute façon il n'y a pas moyen de t'en vouloir. À l'oral, puisque le jury peut te demander la preuve c'est encore plus compréhensible. Peut-être qu'il y a des correcteurs ou des correctrices qui traînent sur le forum qui pourront infirmer ou confirmer

side · April 2019

supp

Rayon spectral et convergence

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